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(共27張PPT)
第二十三章 旋 轉
小結與復習
一、旋轉的特征
1．旋轉過程中，圖形上______________________
按 旋轉 ．
2．任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是
_______，對應點到旋轉中心的距離都______．
3．旋轉前后對應線段、對應角分別_____，圖形的大
小、形狀_______．
每一點都繞旋轉中心
同一旋轉方向
同樣大小的角度
旋轉角
相等
相等
不變
1．中心對稱
把一個圖形繞著某一個點旋轉____，如果它能與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形成中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．
180°
二、中心對稱
2. 中心對稱的特征
中心對稱的特征：在成中心對稱的兩個圖形中，對應點所連線段都經過 ，并且被對稱中心_______．
3. 中心對稱圖形
把一個圖形繞某個點旋轉 180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心．
對稱中心
平分
4．關于原點對稱的點的坐標
兩點關于原點對稱時，它們的對應坐標互為 ，即點 P(x，y) 關于原點的對稱點為 P′( ， )．
相反數
－x
－y
考點一 旋轉的概念及性質
例1 (1)如圖 a，將△AOB 繞點 O 按逆時針方向旋轉 60°后得到△COD，若∠AOB = 15°，則∠AOD 的度數
是 ( )
A. 15° B. 60° C. 45° D. 75°
A
B
O
D
C
圖 a
C
【解析】關鍵是找出旋轉角∠BOD = 60°.
(2) 如圖 b，4×4 的正方形網格中，△MNP 繞某點旋轉一定的角度，得到△M1N1P1，其旋轉中心是( )
A. 點 A B. 點 B C. 點 C D. 點 D
N1
M1
N
M
P1
D
P
A
B
圖 b
C
B
【解析】作線段 NN1 與 PP1 的
垂直平分線，交點便是旋轉中心.
1. 如圖，在 4×4 的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為 1，將三角形 AOB 繞點 O 逆時針旋轉 90° 得到三角形 COD，則旋轉過程中形成的
陰影部分的面積為
針對訓練
_______．
例2 如圖，正方形 ABCD 中，△ADE 經順時針旋轉后與△ABF 重合．
(1) 旋轉中心是 ，旋轉了 度；
(2) 如果 CF = 8，CE = 4，求 AC 的長．
點 A
90
解：∵△ADE 繞點 A 順時針旋轉 90°后與△ABF 重合，
∴ BF = DE，S△ABF = S△ADE.
而 CF = CB + BF = 8，
∴ BC + DE = 8.
∵ CE = CD－DE = BC－DE = 4，
∴ BC = 6.
2. 如圖，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 8，BC = 15，將△ABC 繞點 B 順時針旋轉 60°，得到△EBD，連接 DC 交 AB 于點 F，則△ACF 與△BDF的周長之和為_____.
55
解析：根據旋轉的性質得到 BD = BC = 15，從而得到△BCD 為等邊三角形，故 CD = 15；在 Rt△ACB 中，利用勾股定理得到 AB = 17，于是得到結論.
針對訓練
(1) 畫旋轉后的圖形，要善于抓住圖形特點，作出特殊點的對應點；
(2) 旋轉作圖時要明確三個方面：旋轉中心、旋轉角度及旋轉方向 (順時針或逆時針)．
方法總結
考點二 旋轉變換
例3 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，點 D，E 分別在 AB，AC 上，CE = BC，連接 CD，將線段 CD 繞點 C 按順時針方向旋轉 90° 后得 CF，連接 EF．
（1）補充完成圖形；
（2）若 EF∥CD，求證：∠BDC = 90°．
解析：(1) 根據題意，找準旋轉中心，旋轉方向及旋轉角度，補全圖形即可；
解：(1) 補全圖形，如圖所示.
F
(2) 由旋轉的性質，得 DC = FC，∠DCF = 90°，
∴∠DCE +∠ECF = 90°.
∵∠ACB = 90°，
∴∠DCE +∠BCD = 90°. ∴∠ECF =∠BCD.
∴△BDC≌△EFC (SAS). ∴∠BDC =∠EFC.
∵ EF∥DC，
∴∠EFC +∠DCF = 180°. ∴∠EFC = 90°.
∴∠BDC = 90°.
F
(2) 由旋轉的性質得∠DCF 為直角，由 EF 與 CD 平行，得到∠EFC 為直角，利用 SAS 得到△BDC 與△EFC 全等，利用全等三角形對應角相等即可得證．
針對訓練
4.如圖，在等腰 Rt△ABC 中，點 O 是 AB的中點，AC = 4，將一塊邊長足夠大的三角板的直角頂點放在 O 點處，將三角板繞點 O 旋轉，始終保持三角板的直角邊與 AC 相交，交點為 D，另一條直角邊與 BC 相交，交點為 E，則等腰 Rt△ABC
的邊被三角板覆蓋部分的兩條線段
CD 與 CE 的長度之和等于 .
A
B
C
D
E
O
4
例4 如圖，在邊長為 1 的正方形組成的網格中，每個正方形的頂點稱為格點.已知△AOB 的頂點均在格點上，建立如圖所示的平面直角坐標系，點 A、B 的坐標分別是 A(3，2) 、B(1，3).
x
y
O
A
B
(1) 將△AOB 繞點 O 逆時針旋轉 90°
后得到△A1OB1，畫出旋轉后的圖形；
(2) 畫出△AOB 關于原點 O 對稱的圖
形△A2OB2，并寫出點A2，B2 的坐標.
x
y
O
A
B
A1
B1
A2
B2
解析：(1) 因為旋轉角 90°，故用直角三角板及圓規可快速確定對應點的位置；(2) 先根據關于原點對稱的點的坐標確定對稱頂點的坐標，再依次連接得到所要畫的圖形.
易錯提示：旋轉作圖不要搞錯方向.
解：(1) 如圖所示.
(2) 如圖所示，
點 A2 的坐標為(－3，－2)，
B2 的坐標為(－1，－3).
5. 如圖，在正方形網格中，△ABC 的頂點都在格點(小正方形的頂點)上，將△ABC 繞點 A 按逆時針方向旋轉 90° 得到△AB1C1. 請你作出△AB1C1.
解析：作∠CAC1＝90°，且 AC1＝AC，得到 C 的對應點 C1，由同樣的方法得到其余各點的對應點．
解：如圖所示.
針對訓練
考點三 中心對稱
例4 下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱
圖形的是(　　)
　　　A　　　　　 B　　　　　 C　　　　 　D
D
【解析】圖A 、圖B 都是軸對稱圖形，圖C 是中心對稱
圖形，圖D 既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形.
中心對稱圖形和軸對稱圖形的主要區別在于一個是繞一點旋轉，另一個是沿一條直線對折.這是易錯點，也是辨別它們不同的關鍵.
方法總結
6.下列說法不正確的是（ ）
A. 任何一個具有對稱中心的四邊形都是平行四邊形
B. 平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
C. 線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形都是中心對稱圖形
D. 正三角形、矩形、菱形、正方形都是軸對稱圖形，且對稱軸都不止一條.
B
針對訓練
例6 如圖，從前一個農民有一塊平行四邊形的土地，地里有一個圓形池塘.農民立下遺囑：要把這塊土地平分給他的兩個兒子，中間池塘也平分.農民的兩個兒子不知怎么做，你能想個辦法嗎？
解析 先找到平行四邊形對角線的交點 A 和池塘的圓心 B，過 A、B 兩點作一條直線可以了.
A
B
7. 軸對稱圖形的對稱軸將圖形面積二等分，中心對稱圖形過對稱中心的直線將圖形面積二等分.請用學過的知識將下圖所示的圖形面積分成相等的兩部分.
針對訓練
（1） （2） （3）
解：如圖所示.
例7 若點 A (2m－1，2n + 3) 與 B (2－m，2－n) 關于原點 O 對稱，則 m =_____， n =_____．
－1
－5
解析：關于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標分別互為相反數，可以直接根據此性質列方程(組)求解.
8. 已知點 P (－1－2a，2a－4) 關于原點的對稱點在第一象限，則整數 a 的值為 (　　)
A．1
B．0
C．0 或 1
D．0 或 1 或 2
針對訓練
C
例8 如圖所示的圖案是一個軸對稱圖形(不考慮顏色)，直線 m 是它的一條對稱軸. 已知圖中圓的半徑為 r，你能借助軸對稱的方法求出
圖中綠色部分的面積嗎？
說說你的做法.
m
考點四 圖形變換的簡單應用
解：以直線 m 為對稱軸，把 m 左邊綠色部分對稱到 m 的右邊，那么左邊綠色部分恰好填補了右邊的白色部分，所以圖中的綠色部分面積等于半個圓的面積，也就是 .
m
本章知識結構圖
旋轉及其性質
平移及其性質
軸對稱及其性質
中心對稱圖形
中心對稱
關于原點對稱的點的坐標
圖案設計

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