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(共21張PPT)
3.3垂徑定理（2）
定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如圖∵ CD是直徑,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
條件
①CD為直徑
②CD⊥AB
⑤CD平分弧ADB
③CD平分弦AB
④CD平分弧AB
結論
垂徑定理的逆命題是什么？
條件
結論1
結論2
逆命題1：平分弦的直徑垂直于弦。
逆命題2：平分弧的直徑垂直于弧所對的弦。
垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.
在⊙O內任取一點M,請你折出一條弦AB，使AB經過點M，并且AM=BM.
你能說說這樣找的理由？
巧手來做一做
●O
●M
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．
條件
結論1
結論2
逆命題1：平分弦的直徑垂直于弦．
逆命題2：平分弧的直徑垂直于弧所對的弦．
垂徑定理的逆命題是什么？
過點C作直徑CD．
右圖是軸對稱圖形嗎？
如果是，其對稱軸是什么？
你能發現圖中有哪些等量關系？
說說你的想法和理由．
平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦．
AB是O的一條弧，且AC=BC.
探索規律
CD⊥AB
AM=BM
AD=BD
CD是直徑
AC=BC
C
D
O
M
A
B
┗
⌒
⌒
只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結論.
① CD是直徑,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
如圖, 對于一個圓和一條直線來說,如果在下列五個條件中:
（3）
（1）
（2）
（4）
（5）
（1）
（4）
（5）
（1）
（4）
（3）
（2）
（5）
（1）
（5）
（3）
（4）
（2）
（2）
（3）
●O
A
B
C
D
M└
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧
逆定理
定理1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.
定理2：平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦.
垂徑定理
已知：⊙O的直徑CD交弦AB（不是直徑）于點E，且AE=BE．
求證：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
證明：連結OA，OB，則OA=OB
∴△AOB是等腰三角形
∵AE=BE
∴CD⊥AB
（等腰三角形三線合一）
∴ AD=BD，AC=BC
定理1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧．
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
平分弧的直徑垂直于弧所對的弦.
已知：如圖，⊙O的直徑交弦AB(不是直徑)于點P，AC=BC
求證：CD⊥AB
⌒
⌒
證明：連結OA，OB，則AO=BO
∴△AOB是等腰三角形
∵AC=BC
⌒
⌒
∴∠AOC=∠BOC
∴CD⊥AB
定理2
新知講解
例3 趙州橋的跨徑（橋拱圓弧所對的弦的長）為 37.02 m,拱高(橋拱圓弧的中點到弦的距離)為7.23m, 求趙州橋的橋拱圓弧的半徑(精確到0.01m).

OD=OC-DC=（R-7.23）(m).
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2,
解得R≈27.31.
答:趙州橋的橋拱圓弧的半徑約為27.31m.
AB=37.02m,CD=7.23m,
解：如圖，用AB表示橋拱圓弧，設AB所在的圓的圓心為O，半徑為R，C為AB的中點，連結OC，交AB于點D，就有OC垂直平分AB，
所以CD就是拱高.由題意，得
課堂練習
1.判斷：
⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧. （ ）
⑵平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧. （ ）
⑶經過弦的中點的直徑一定垂直于弦. （ ）
⑷圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行.（ ）
⑸弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧.（ ）
√



√
10
3．如圖，⊙O的半徑為5，C是弧AB的中點，且BC＝4
那么BA＝　 　cm．
4.某一公路隧道的形狀如圖所示，半圓拱的圓心距離地面2m，半徑為1.5m.一輛高3m，寬2.3m的集裝箱卡車能順利通過這個隧道嗎 如果要使高度不超過4m，寬為2.3m的大貨車也能順利通過這個隧道，且不改變圓心到地面的距離，半圓拱的半徑至少為多少米
O
B
A
解 如圖，OB＝1.5，OA＝1.15，
∵ AB2=OB2-OA2，
∴ AB≈0.96m.
∵ 0.96+2＝2.96＜3,
∴高為3m，寬為2.3m的集裝箱
車不能順利通過.
由題意,若OA＝1.15,AB＝4-2＝2,
又∵AB2=OB2-OA2，
∴OB≈2.31m.
∴要使高度不超過4m，寬為2.3m的大貨車能順利通過,半圓拱半徑
至少為2.31m.
變式：某一公路隧道的形狀如圖所示，上部分拋物線拱的頂點距離地面4m.一輛高3m，寬2.3m的集裝箱卡車能順利通過這個隧道嗎 如果要使高度不超過4m，寬為2.3m的大貨車也能順利通過這個隧道，且不改變下，上部分拋物線拱的頂點距離地面至少為多少米
5.如圖所示為某運動會所用的圣火盆的示意圖，其中圣火盆高120cm,盆體深20cm,立柱高110cm,CD=60cm.
（1）若曲線ACDB是一段圓弧，試求盆口的口徑AB的長．
（2）若曲線ACDB是拋物線的一部分，試求盆口的口徑AB的長．
課堂小結
垂徑定理的逆定理
定理1：平分弦(不是直徑)的直徑_____________，并且____________________．
定理2：平分弧的直徑_____________弧所對的弦．
垂直于弦
平分弦所對的弧
垂直平分
注意：①直徑(過圓心的直線)，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所對的優弧，⑤平分弦所對的劣弧，以其中的兩個為條件，一定能得出其他三個結論．
圓
圓的軸對稱性
垂徑定理的逆定理
定理1
定理2
平分弦（不是直徑）的直徑__________，并且_______弦所對的弧
平分弧的直徑_______
弧所對的弦
垂直于弦
平分
垂直平分
課堂小結

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