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第2課時 確定圓的條件及三角形外接圓
3.1 圓
了解不在同一條直線上的三個點確定一個圓，會過不在同一直線上的三個點作圓.
了解三角形的外接圓、三角形的外心及圓的內(nèi)接三角形的概念.
會過不在同一條直線上的三個點作圓.
有一個圓盤摔碎了，只留下如圖所示的一塊，現(xiàn)在車間工人要將這個破損的圓盤修復為原來的模樣，你有辦法復原嗎？
課題引入：
知識點
1
探索一
經(jīng)過一個已知點A能作多少個圓
A
經(jīng)過一個已知點能作無數(shù)個圓.
確定圓的條件
A
B
探索二
經(jīng)過兩個已知點A，B能作多少個圓
經(jīng)過兩個已知點能作無數(shù)個圓.
·
·
·
·
經(jīng)過兩個已知點A，B所作的圓的圓心在怎樣的一條直線上
在線段AB的垂直平分線上.
經(jīng)過不在同一條直線上的三個點A，B，C一定能確定一個圓嗎？如果能，怎樣找出這個圓的圓心？
探索三
A
B
C
【分析】如圖，A，B，C三個點不在同一條直線上，要經(jīng)過這三個點作圓，就需要確定一個點O作為圓心，使它到A，B，C三點的距離相等.
因此，圓心O既要在線段AB的垂直平分
線上，又要在線段BC（或AC）的垂直平分線上.
A
B
C
作法：(1) 連結AB，BC；
(2) 分別作線段AB，BC的垂直平分線l1和l2，l1與l2相交于點O；
(3) 以點O為圓心， OA為半徑作圓.
⊙O就是經(jīng)過A，B，C三點的圓.
l1
l2
·
O
·
因為兩條垂直平分線的交點只有一個，
所以只有一個圓心，即只能作出一個滿足條件的圓.
經(jīng)過不在同一條直線上的三個點A，B，C一定能確定一個圓嗎？如果能，怎樣找出這個圓的圓心？
探索三
A
B
C
由作圖可知，DE∥FG，即DE與FG無交點，
因此，找不到一個點到A，B，C三點的距離相等，
所以過同一條直線上的三個點無法作圓.
不在同一條直線上的三個點確定一個圓.
D
E
F
G
若A，B，C三點在同一直線上呢？
現(xiàn)在你知道怎樣將一個如圖所示的破損的圓盤復原了嗎？
1.找到圓弧所在圓的圓心：
①在圓弧上任取三點A，B，C，連結AB， BC.
②分別作出兩條線段的垂直平分線，其交點即為圓心.
2.找到圓的半徑，并畫出這個圓.
B
A
C
例1
已知△ABC，用直尺和圓規(guī)作出過點A、B、C的圓.
A
B
C
O
解：如圖所示.
1.分別作線段AB，BC的垂直
平分線，相交于點O.
2.以點O為圓心， OA為半徑
作⊙O.
⊙O就是所作的圓.
三角形的外接圓與外心
2
如圖，⊙O是△ABC的外接圓，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點O是△ABC的外心.
△ABC的外心是哪三條線的交點？
△ABC的外心是△ABC三條邊的垂直平分線的交點.
A
B
C
O
知識點
三角形的外接圓及相關概念
經(jīng)過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.
概念提練：
分別畫一個銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，再畫出它們的外接圓，它們各自的外心位置有什么不同？
特別提醒
(1) 銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；直角三角形的外心在三角形斜邊中點；鈍角三角形的外心在三角形外部.
(2) 任何一個三角形都只有一個外接圓，一個圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形.
(3) 三角形的外心到三個頂點的距離相等，等于其外接圓的半徑.
在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距離為6cm，求△ABC的外接圓半徑．
例2
·
O
A
B
C
已知Rt△ABC的兩直角邊為a和b，且a、b是方程
x2－3x+1=0 的兩根，求Rt△ABC的外接圓面積.
例3
A
B
C
1.如圖，點A，B，C，D均在直線l上，點P在直線l外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為(　　)
A．3 　B．4 　C．5 　D．6
2.已知⊙O是△ABC的外接圓，則點O是△ABC的(　　)
A．三條高線的交點
B．三條邊的垂直平分線的交點
C．三條中線的交點
D．三個內(nèi)角的平分線的交點
課堂練習
3.九個相同的等邊三角形如圖所示，已知點O是一個三角形的外心，則這個三角形是(　　)
A．△ABC
B．△ABE
C．△ABD
D．△ACE
圓
確定圓的條件
三角形與圓
不在同一直線上的三個點確定一個圓
三角形的外接圓
三角形的外心
圓的內(nèi)接三角形
確定圓的條件及三角形外接圓

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