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24.1 圓的有關性質
第二十四章 圓
24.1.3 弧、弦、圓心角
熊寶寶要過生日了！要把蛋糕平均分成四塊，你會分嗎？
情境引入
A
B
O
圓心角的定義
·
O
B
A
觀察在⊙O 中，這些角有什么共同特點？
頂點在圓心上
定義：頂點在圓心的角，叫圓心角，如∠AOB .
判斷下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由.
不是
不是
不是
是
練一練
任意給圓心角，對應出現三個量：
圓心角
弧
弦
想一想：圓心角、弧、弦之間有什么關系？
O
A
B
圓心角 ∠AOB 所對的弦為 AB.
圓心角 ∠AOB 所對的弧為 .
觀察：1. 將圓繞圓心旋轉 180° 后，得到的圖形與原圖形重合嗎？由此你得到什么結論呢？
圓心角、弧、弦之間的關系
合作探究
重合，
圓是中心對稱圖形
.
O
A
B
180°
2. 把圓繞圓心旋轉任意一個角度呢？仍與原來的圓重合嗎？
O
α
重合.圓是旋轉對稱圖形，具有旋轉不變性
·
問題1 在⊙O 中，如果圓心角∠AOB =∠COD，那么 與 ，弦 AB 與弦 CD 有怎樣的數量關系？
在同圓中探究
C
·
O
A
B
D
因為將圓繞圓心旋轉任一角度都能
與自身重合，所以可將 ⊙O 繞圓心
旋轉，使點 A 與點 C 重合.
由于∠AOB =∠COD，
因此，點 B 與點 D 重合.
從而 ，AB = CD.
問題2 如圖，在等圓中，如果圓心角∠AOB ＝∠CO′D，你發(fā)現的等量關系是否依然成立？
在等圓中探究
O′
·
O
A
B
·
C
D
通過平移和旋轉將兩個等圓變成同一個圓，我們發(fā)現：如果∠AOB =∠CO′D，那么 ，弦 AB = 弦 CD.
歸納
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
①∠AOB = ∠COD
③ AB = CD
要點歸納
弧、弦與圓心角的關系定理
A
B
O
D
C
②
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等．
弧、弦與圓心角關系定理的推論
類比探究可得
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等．
關系結構圖
溫馨提示：一條弦對應兩條弧，由弦相等得到弧相等時需要區(qū)分優(yōu)弧和劣弧.
在同圓或等圓中
想一想：定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？
不可以，如圖.
A
B
O
D
C
(3) 圓心角相等，所對的弦相等. （ ）
(2) 等弧所對的弦相等. （ ）
(1) 等弦所對的弧相等. （ ）
×
×
√
判斷正誤：
辨一辨
圓心角、弧、弦關系定理及推論的運用
典例精析
解：
∵
·
A
O
B
C
D
E
例1 如圖，AB 是⊙O 的直徑，
∠COD = 35°，求∠AOE 的度數．
∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°.
∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°.
∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形.
又∵∠ACB = 60°，
∴△ABC 是等邊三角形，AB = BC = CA.
∴∠AOB =∠BOC =∠AOC.
A
B
C
O
方法總結：弧、圓心角、弦之間等量關系的靈活轉化是解決圓相關問題的重要法寶.
例2 如圖，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°，
求證：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
證明：∵ = ，
例3 如圖，已知 AB、CD 是⊙O 的兩條弦， .
求證：AB = CD.
.
C
A
B
D
O
證明：
變式1 如圖，在⊙O 中，AD = BC．求證：DC = AB．
∴ DC = AB．
證明：∵ AD = BC，
變式2 如上圖，在⊙O 中，DC = AB．求證：AD = BC.
證明：∵ DC = AB，
∴ AD = BC.
1. 如果兩個圓心角相等，那么 ( )
A．這兩個圓心角所對的弦相等
B．這兩個圓心角所對的弧相等
C．這兩個圓心角所對的弦和弧分別相等
D．以上說法都不對
2. 弦長等于半徑的弦所對的圓心角等于 °.
D
60
3. 如圖，AB、CD 是⊙O 的兩條弦．
（1）如果 AB = CD，那么_________，__________ __；
（2）如果 ，那么_________， ；
（3）如果∠AOB =∠COD，
那么_________，________；
·
C
A
B
D
O
AB = CD
AB = CD
AB = CD
(
(
∠AOB =∠COD
∠AOB =∠COD
AB = CD
(
(
AB = CD
(
(
·
C
A
B
D
E
F
O
（4）如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，那么 OE 與 OF 相等嗎？為什么？
解：OE = OF.
理由如下：
∵ OE⊥AB，OF⊥CD，
∵ AB = CD，
∴ AE = CF.
∵ OA = OC，
∴ Rt△AOE≌Rt△COF (HL).
∴ OE = OF.
∴
4. 已知：如圖，A、B、C、D 在⊙O 上，AB = CD．
求證：∠AOC =∠BOD．
∴∠AOB =∠COD.
∴∠AOB－∠BOC =∠COD－∠BOC，
即∠AOC =∠BOD．
證明：∵ AB = CD，
5. 如圖，AB 為⊙O 的直徑，C、D 是⊙O 上的兩點，且 BD∥OC．求證： ．
證明：∵ OB = OD，
∴∠D =∠B.
∵ BD∥OC，
∴∠D =∠COD，∠AOC =∠B.
∴∠AOC =∠COD.
A
B
C
D
E
O
能力提升：
6. 如圖，在☉O 中，∠COD = 2∠AOB，那么 = 2
成立嗎？CD = 2AB 呢？如果成立，請說明理由；如
果不成立，那它們之間的關系又是什么？
解： = 2 成立，CD = 2AB 不成立.
理由如下：取 的中點 E，連接 OE，
CE，DE，那么∠AOB =∠COE =∠DOE.
所以 = = ， = 2 ，AB = CE = DE.
在△CDE 中，CE + DE > CD，故 CD ＜ 2AB.
弧、弦、圓心角的關系定理及推論
在同圓或等圓中
應用提醒
①要注意前提條件；
②要靈活轉化.
圓心角
概念：頂點在圓心的角

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