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24.2.2 直線和圓的位置關系
第1課時 直線和圓的位置關系
第二十四章 圓
點和圓的位置關系有幾種？
d < r
d = r
d > r
用數量關系如何來判斷呢？
(設 OP = d )
知識回顧
(1) 點在圓內
(2) 點在圓上
(3) 點在圓外
r
d
r
r
P
P
P
O
O
O
d
d
問題1 如果我們把太陽看成一個圓，地平線看成一條直線，那你能根據直線和圓的公共點個數想象一下，直線和圓有幾種位置關系嗎？
用定義判斷直線與圓的位置關系
問題2 請同學在紙上畫一條直線 l，把圓塊的邊緣看作圓，在紙上移動圓塊，你能發現直線和圓的公共點個數的變化情況嗎？公共點個數最少時有幾個？最多時有幾個？
l
0
2
●
●
●
圖形
公共點個數
直線與圓的 位置關系
公共點名稱
直線名稱
2 個
交點
割線
1 個
切點
切線
0 個
相離
相切
相交
位置關系
公共點個數
填一填
直線和圓有唯一的公共點（即直線和圓相切）時，這條直線叫做圓的切線（如圖中的直線 l），這個唯一的公共點叫做切點（如圖中的點 A）.
A
l
O
知識要點
直線與圓最多有兩個公共點. （ ）
② 若直線與圓相交，則直線上的點都在圓上. （ ）
③ 若 A 是☉O 上一點，則直線 AB 與☉O 相切. （ ）
④ 若 C 為☉O 外一點，則過點 C 的直線與☉O 相交或相離. （ ）
⑤ 直線 a 和☉O 有公共點，則直線 a 與☉O 相交.（ ）
√
×
×
×
×
判一判
問題1 剛才同學們用圓塊移近直線的過程中，除了發現公共點的個數發生了變化外，還有什么量也在改變？它與圓的半徑有什么樣的數量關系呢？
相關知識：
點到直線的距離是指從直線外一點 (A) 到直線 (l ) 的垂線段 (OA) 的長度.
l
A
O
用數量關系判斷直線與圓的位置關系
圓心到直線的距離在
發生變化；
首先距離大于半徑，
而后距離等于半徑，
最后距離小于半徑.
怎樣用圓心到直線的距離 d 來判定直線 l 與⊙O 的位置關系呢？
O
思考：
d
l
直線和圓相交
d < r
直線和圓相切
d = r
直線和圓相離
d > r
r
d
∟
r
d
∟
r
d
數形結合：
位置關系
數量關系
用圓心 O 到直線的距離 d 與圓的半徑 r 的大小來判定：
O
O
O
直線與圓的位置關系
的性質與判定的區別：
位置關系 數量關系.
公共點個數
要點歸納
1. 已知圓的半徑為 6 cm，設直線和圓心的距離為 d.
(3) 若 d = 8 cm，則直線與圓______，直線與圓有____個公共點.
(2) 若 d = 6 cm，則直線與圓______，直線與圓有____個公共點；
(1) 若 d = 4 cm，則直線與圓　　　，直線與圓有____個公共點；
相交
相切
相離
2
1
0
練一練
(3) 若 AB 和⊙O 相交，則 .
2. 已知⊙O 的半徑為 5 cm，圓心 O 與直線 AB 的距離為 d，根據條件填寫 d 的范圍：
(1) 若 AB 和⊙O 相離，則 ；
(2) 若 AB 和⊙O 相切，則 ；
d ＞5 cm
d = 5 cm
0 cm≤d＜5 cm
例1 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 為圓心，r 為半徑的圓與直線 AB 有怎樣的位置關系？為什么？
(1) r = 2 cm；(2) r = 2.4 cm； (3) r = 3 cm．
B
C
A
4
3
分析：要判定 AB 與⊙C 的位置關系，只要知道圓心 C 到 AB 的距離 d 與 r 的大小關系.已知 r，只需求出 C 到 AB 的距離 d.
D
典例精析
解：過 C 作 CD⊥AB，垂足為 D.
在△ABC 中，
根據三角形的面積公式有
即圓心 C 到 AB 的距離 d = 2.4 cm.
(1) 當 r = 2 cm 時，
有 d > r，
因此⊙C 和 AB 相離；
B
C
A
4
3
D
d
注：斜邊上的高等于兩直角邊長的乘積除以斜邊長.
(2) 當 r = 2.4 cm 時，有 d = r，
因此⊙C 和 AB 相切；
B
C
A
4
3
D
d
(3) 當 r = 3 cm 時，有 d < r，
因此⊙C 和 AB 相交.
B
C
A
4
3
D
d
變式題：
1. Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 為圓心畫圓，當半徑 r 為何值時，圓 C 與線段 AB 沒有公共點？
當 0 cm＜r＜2.4 cm 或 r＞4 cm 時，
⊙C 與線段 AB 沒有公共點.
A
B
C
D
4
5
3
3
2. Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 為圓心畫圓，當半徑 r 為何值時，圓 C 與線段 AB 有一個公共點？當半徑 r 為何值時，圓 C 與線段 AB 有兩個公共點？
當 r = 2.4 cm 或 3 cm＜r≤4 cm 時，⊙C 與線段 AB 有一個公共點；
當 2.4 cm＜r≤3 cm 時，⊙C 與線段AB 有兩公共點.
A
B
C
D
4
5
3
3
.O
.
O
.O
.O
.O
1. 看圖判斷直線 l 與☉O 的位置關系：
相離
相交
相切
相交

相交
l
l
l
l
l
2. 直線和圓相交，圓的半徑為 r，且圓心到直線的距離
為 5，則有 ( )
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
3. ☉O 的最大弦長為 8，若圓心 O 到直線 l 的距離為
d = 5， 則直線 l 與☉O ( )
A. 相交 B.相切
C. 相離 D.以上三種情況都有可能
B
C
4. ☉O 的半徑為 5，直線 l 上的一點到圓心 O 的距離是 5，則直線 l 與☉O 的位置關系是（ ）
A. 相交或相切 B. 相交或相離
C. 相切或相離 D. 以上三種情況都有可能
A
5. 在平面直角坐標系中，圓心 O' 的坐標為(－3，4)，以半徑 r 在坐標平面內作圓．
(1) 當 r____時，⊙O' 與坐標軸有 1 個公共點；
(2) 當 r 滿足_________時，⊙O' 與坐標軸有 2 個公共點；
(3) 當 r_________時，⊙O' 與坐標軸有 3 個公共點；
(4) 當 r____________時，⊙O' 與坐標軸有 4 個公共點．
= 3
3＜r＜4
= 4 或 5
＞4 且 r≠5
6. 設⊙O 的半徑為 2，圓心 O 到直線 l 的距離 OP = m，且 m 使得關于 x 的方程 2x2 2 x + m 1＝0 有實數根，試判斷直線 l 與⊙O 的位置關系．
所以直線與圓相切或相交．
解：因為關于 x 的方程 2x2 2 x + m 1＝0 有實數根，
解得 m≤2.
又因為⊙O 的半徑為 2，
所以 Δ = (2 )2－4×2(m－1)≥0.
拓展提升：已知⊙O 的半徑 r = 7 cm，直線 l1∥l2，且 l1 與⊙O 相切，圓心 O 到 l2 的距離為 9 cm. 求 l1與 l2 的距離.
O
l1
l2
A
B
l2
（1）當 l2 與 l1 在圓的同側時，
m = 9 - 7 = 2 (cm)；
（2）當 l2 與 l1 在圓的異側時，
m = 9 + 7 = 16 (cm).
解：設 l2 與 l1 的距離為 m，則
C
直線與圓的位置關系
定義
性質
判定
相離
相切
相交
公共點的個數
d 與 r 的數量關系
定義法
性質法
特別提醒：若圖中沒有 d 要先作出該垂線段
相離:0 個;相切:1 個;相交:2 個
相離：d > r 相切：d = r
相交：d < r
0個：相離；1個：相切；2個：相交
d > r：相離；d = r：相切；d < r：相交

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