資源簡介

(共28張PPT)
24.2.2 直線和圓的位置關系
第2課時 切線的判定與性質
第二十四章 圓
知識回顧
圖形
公共點個數
直線與圓的 位置關系
公共點名稱
直線名稱
2 個
交點
割線
1 個
切點
切線
0 個
相離
相切
相交
位置關系
公共點個數
情境引入
轉動雨傘時飛出的雨滴，用砂輪磨刀時擦出的火花，都是沿著什么方向飛出的？
都是沿切線方向飛出的.
生活中?？吹角芯€的實例，如何判斷一條直線是否為切線呢？學完這節課，你就都會明白.
A
B
C
問題：已知圓 O 上一點 A，怎樣根據圓的切線定義過點 A 作圓 O 的切線？
觀察：
（1） 圓心 O 到直線 AB 的距離和圓的
半徑有什么數量關系
（2）二者位置有什么關系？為什么？
切線的判定定理
O
經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
OA 為⊙O 的半徑
BC⊥OA 于A
BC 為⊙O 的切線
A
B
C
切線的判定定理
應用格式
O
要點歸納
在此定理中，“經過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線.
下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請說明為什么？
(1) 不是，因為沒有垂直.
(2) (3) 不是，因為沒有經過半徑的外端點 A.
判一判
注意
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：
1. 定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線；
2. 數量關系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即 d = r)時，直線與圓相切；
3. 判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
l
A
l
O
l
r
d
要點歸納
O
O
例1 如圖，線段 AB 是☉O 的直徑，直線 AC 與 AB 交于點 A，∠ABC = 45°，且 AB = AC.
求證：AC 是☉O 的切線.
分析：直線 AC 經過半徑的一端，因此只要證 OA 垂直于 AC 即可.
證明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°，
∴∠ACB =∠ABC = 45°.
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°，
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直徑，
∴ AC 是☉O 的切線.
A
O
C
B
例2 已知直線 AB 經過 ⊙O 上的點 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求證：直線 AB 是 ⊙O 的切線.
O
B
A
C
證明：連接 OC.
∵ OA ＝ OB，CA ＝ CB，
∴ OC 是等腰△OAB 底邊 AB 上的中線.　
∴ OC⊥AB.
∵ OC 是 ⊙O 的半徑，
∴ AB 是 ⊙O 的切線.
分析：由于 AB 過⊙O 上的點 C，所以連接 OC，只要
證明 AB⊥OC 即可.
當已知直線過圓上的一點時，連接圓心和該點得到圓的半徑，然后證明直線與這條半徑垂直，即可得出已知直線為圓的切線.
方法總結
例3 如圖，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分線交 BC 于 D，以 D 為圓心，DB 長為半徑作⊙D．
求證：AC 是⊙O 的切線．
B
C
D
A
E
證明：如圖，過 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB = r.
∴ AC 是⊙O 的切線.
當未提及直線與圓有公共點時，過圓心作直線的垂線段，證明垂線段等于半徑，即可得出已知直線為圓的切線.
方法總結
(1) 有交點，連半徑，證垂直；
證切線時輔助線的添加方法
要點歸納
(2) 無交點，作垂直，證半徑.
例3
例2
思考：如圖，如果直線 l 是⊙O 的切線，點 A 為切點，那么 OA 與 l 垂直嗎？
A
l
O
∵直線 l 是⊙O 的切線，A 是切點，
∴直線 l⊥OA.
切線的性質定理
切線的性質
圓的切線垂直于經過切點的半徑．
應用格式
（1）假設 AB 與 CD 不垂直，過點 O 作
OM⊥CD，垂足為 M；
理由是：直徑 AB 與直線 CD 要么垂直，要么不垂直.
（2）則 OM＜OA，即圓心到直線 CD 的
距離小于⊙O 的半徑，因此，CD
與⊙O 相交. 這與已知條件“直線
與⊙O 相切”相矛盾；
C
D
B
O
A
（3）所以假設不成立，故 AB 與 CD 垂直.
M
證法：反證法
性質定理的證明
例4 如圖，PA 是⊙O 的切線，切點為 A，PO 的延長線交⊙O 于點 B，連接 AB. 若∠B = 25°，求∠P 的度數.
B
O
P
A
解：如圖，連接 OA.
∵ PA 是⊙O 的切線，
∵∠AOP = 2∠B = 50°，
∴∠P = 90° - 50° = 40°.
∴∠OAP = 90°.
1. 如圖①，在⊙O 中，OA、OB 為半徑，直線 MN 與⊙O 相切于點 B. 若∠ABN = 30°，則∠AOB = °.
2. 如圖②，AB 為⊙O 的直徑，D 為 AB 延長線上一點，DC 與⊙O 相切于點 C，∠DAC = 30°. 若⊙O 的半徑長 1 cm，則 OD = cm.
60
練一練
圖①
圖②
利用切線的性質解題時，常需作輔助線，一般連接圓心與切點，構造直角三角形，再利用直角三角形的相關性質解題.
方法總結
例5 如圖，△ABC 為等腰三角形，O 是底邊 BC 的中點，腰 AB 與⊙O 相切于點 D．求證：AC 是⊙O 的切線．
分析：判定切線，無切點，則作垂直(OE)，證半徑(OE = OD)；由 AB 與⊙O相切于點 D，得 OD⊥AB；再根據等腰三角形的性質以及角平分線的性質，即可得出結論.
E
B
O
C
D
A
證明：如圖，連接 OD，OA，過 O 作 OE ⊥AC 于 E.
∵ ⊙O 與 AB 相切于 D，∴ OD⊥AB.
又∵△ABC 為等腰三角形，O 是 BC 的中點，
∴ AO 平分∠BAC.
∴ OE = OD.
∵ OD 是⊙O 的半徑，
∴ 點 O 到 AC 的距離等于⊙O 的半徑.
∴ AC 是⊙O 的切線．
E
B
O
C
D
A
有切線時常用輔助線添加方法
見切點，連半徑，得垂直.
切線的其他重要結論
(1) 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點；
(2) 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.
要點歸納
1. 判斷下列命題是否正確.
(1) 經過半徑外端的直線是圓的切線. ( )
(2) 垂直于半徑的直線是圓的切線. ( )
(3) 過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的
切線. ( )
(4) 和圓只有一個公共點的直線是圓的切線. ( )
(5) 過直徑一端點且垂直于直徑的直線是圓的切線. ( )
×
×
√
√
√
2. 如圖，A 是☉O 上一點，且 AO = 5，PO = 13， AP =
12，則 PA 與☉O 的位置關系是 .
A
P
O
相切
3. 如圖，在☉O 的內接四邊形 ABCD 中，AB 是直徑，
∠BCD = 120°，過 D 點的切線 PD 與直線 AB 交于
點 P，則∠ADP 的度數為 （ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
C
P
O
D
A
B
C
第2題圖
第3題圖
4. 如圖，PB 切☉O 于點 B，PB = 4，PA = 2，則 ☉O
的半徑是多少？
O
P
B
A
解：連接 OB，如圖. 則∠OBP = 90°.
設⊙O 的半徑為 r，則
OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
在 Rt△OBP 中，
OB2 + PB2 = PO2，
即 r2 + 42 = (2 + r)2.
解得 r = 3，
即 ⊙O 的半徑為 3.
O
A
B
C
E
P
5. 如圖，△ABC 中，AB = AC，以 AB 為直徑的 ⊙O 交邊 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求證：PE 是 ⊙O 的切線.
證明：連接 OP，如圖.
∵ AB = AC，∴∠B =∠C.
∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB.
∴∠OPB =∠C.
∴ OP∥AC.
∵ PE⊥AC，∴ PE⊥OP.
∴ PE為 ⊙O 的切線.
6. 如圖，PA 為 ⊙O 的切線，A 為切點．直線 PO 與 ⊙O交于 B、C 兩點，∠P = 30°，連接 AO、AB、AC.
求證：△ACB≌△APO.
O
A
B
P
C
解析：根據已知條件易得∠CAB = ∠PAO = 90°，由∠P = 30° 可得出∠AOP = 60°，則∠C = 30° = ∠P，即AC = AP；這樣就湊齊了角邊角，可證得兩個三角形全等.
證明：∵ PA 為⊙O 的切線，A 為切點，
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.
又 OA＝OB，∴△AOB 為等邊三角形.
∴ AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵ BC 為 ⊙O 的直徑，∴∠BAC＝90°.
在△ACB 和 △APO 中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP，
∴△ACB≌△APO (ASA).
O
A
B
P
C
切線的
判定方法
定義法
數量關系法
判定定理
1個公共點，則相切
d = r，則相切
經過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
切線的性質
證切線時常用輔助線添加方法：
①有公共點，連半徑，證垂直；
②無公共點，作垂直，證半徑.
有 1 個公共點
d = r
性質定理
圓的切線垂直于經過切點的半徑
有切線時常用輔助線添加方法：
見切線，連切點，得垂直.

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