資源簡介

(共32張PPT)
24.2.2 直線和圓的位置關系
第3課時 切線長定理及三角形的內切圓
第二十四章 圓
情境引入
同學們玩過抖空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球旋轉的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數學圖形？
問題1 上節課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線(如下圖所示)，如果點 P 是圓外一點，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點作圓的切線，可以作幾條？
切線長定理及應用
互動探究
P
O
B
A
O.
P
A
B
P
1. 切線長的定義：
經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長．
A
O
① 切線是直線，不能度量；
② 切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是
圓外一點和切點，可以度量．
2. 切線長與切線的區別在哪里？
知識要點
問題2 PA 為☉O 的一條切線，沿著直線 PO 對折，設圓上與點 A 重合的點為 B．
OB 是☉O 的一條半徑嗎？
PB 是☉O 的切線嗎？
（利用圖形軸對稱性解釋）
PA、PB 有何關系？
∠APO 和∠BPO 有何關系？
O
P
A
B
切線長定理：
過圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.
PA、PB 分別切 ☉O 于 A、B
PA = PB
∠OPA = ∠OPB
幾何語言：
切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新
的方法.
注意
要點歸納
B
P
O
A
O.
P
已知：如圖，PA、PB 是☉O 的兩條切線，A、B 為切點.
求證：PA = PB，∠APO =∠BPO.
證明：∵ PA、PB 是☉O 的兩條切線，
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
推理驗證
A
B
∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
若連接兩切點 A、B，AB 交 OP 于點 M. 你又能得出
什么新的結論 請給出證明.
解：OP 垂直平分 AB.
證明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切線，點 A，B 是切點，
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
∴ △PAB 是等腰三角形，
PM 為頂角的平分線.
∴ OP 垂直平分 AB.
M
想一想：
O
P
A
B
例1 已知：如圖，四邊形 ABCD 的邊 AB、BC、CD、
DA 與 ⊙O 分別相切于點 E、F、G、H.
求證：AB + CD = AD + BC.
證明：∵ AB、BC、CD、DA 與 ⊙O 分別相切于點 E、F、G、H，
·
A
B
C
D
O
E
F
G
H
∴ AE = AH，BE = BF，
CG = CF，DG = DH.
∴ AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH，
即 AB + CD = AD + BC.
典例精析
變式訓練
如圖，四邊形 ABCD 是☉O 的外切四邊形，且 AB = 10，CD = 15，則四邊形 ABCD 的周長為______．
50
·
A
B
C
D
O
例4 為了測量一個圓形鐵環的半徑，某同學采用了如下辦法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為 30° 的三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到相關數據，進而可求得鐵環的半徑. 若三角板與圓相切且測得 PA =
5 cm，求鐵環的半徑．
O
B
C
解析：取圓的圓心為O，連接 OA，OP，由切線性質知△OPA為直角三角形，從而在 Rt△OPA 中由勾股定理易求得半徑．
在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°，
又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°.
即鐵環的半徑為
∴ OA = 2PA = 10.
解：設鐵環的圓心為 O，連接 OP、OA.
∴ OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO.
O
B
C
5
∵ AP、AB 為 ⊙O 的切線，
∴ OP =
∴∠POA＝30°.
切線長定理包括線段相等和角相等兩個結論，解題時應有選擇地應用，它是證明線段相等、角相等以及垂直關系的重要依據.
方法歸納
B
P
O
A
PA、PB 是 ☉O 的兩條切線，A，B 是切點，OA = 3.
（1）若 AP = 4，則 OP = ；
（2）若∠BPA = 60°，則 OP = .
5
6
練一練
小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？
三角形的內切圓及作法
互動探究
問題1 如果最大圓存在，它與三角形三邊應有怎樣的位置關系？
O
O
O
O
最大的圓與三角形三邊都相切
問題2 如何求作一個圓，使它與三角形的三邊都相切？
(1) 如果半徑為 r 的☉I 與△ABC 的三邊都相切，那么
圓心 I 應滿足什么條件？
(2) 在△ABC 的內部，如何找到滿足條件的圓心 I 呢？
圓心 I 到三角形三邊的距離相等，都等于 r.
為什么呢？
三角形三條角平分線交于一點，這一點到三角形三邊的距離相等.
三角形角平分線的這個性質，你還記得嗎？
圓心 I 應是三角形的三條角平分線的交點.
已知：△ABC.
求作：和△ABC 的各邊都相切的圓 O.
做一做
M
N
D
作法：
1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分線
BM 和 CN，交點為 O.
2. 過點 O 作OD⊥BC，垂足為 D.
3. 以O為圓心，OD為半徑作圓O.
☉O 就是所求的圓.
A
B
C
O
1. 與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.
2. 三角形內切圓的圓心叫做這個三角形的內心.
3. 這個三角形叫做這個圓的外切三角形.
B
A
C
I
☉I 是△ABC 的內切圓，
點 I 是△ABC 的內心，
△ABC 是☉I 的外切三角形.
知識要點
三角形的內心的性質
問題1 如圖，☉O 是△ABC 的內切圓，那么 AO、BO、CO 有什么特點？
互動探究
AO、BO、CO 分別平分∠CAB、∠ABC、∠BCA.
B
A
C
O
B
A
C
O
問題2 如圖，☉O 是△ABC 的內切圓，過點 O 分別作 AB、AC、BC 的垂線，垂足分別為 E、F、G，那么線段 OE、OF、OG 之間有什么數量關系？
E
F
G
解：OE = OF = OG.
知識要點
三角形內心的性質
三角形的內心是三角形三條角平分線的交點.
三角形的內心到三角形三邊的距離相等.
AI、BI、CI 分別平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE = IF = IG.
B
A
C
I
E
F
G
例3 如圖，△ABC 中，∠B = 43°，∠C = 61°，點 I 是△ABC 的內心，求∠BIC 的度數.
解：連接 IB，IC.
A
B
C
I
∵ 點 I 是△ABC 的內心，
∴ BI，CI 分別平分∠ABC，∠ACB.
在△IBC 中，
例4 △ABC 的內切圓 ☉O 與 BC、CA、AB 分別相切于點 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的長.
想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？理由是什么？
B
A
C
E
D
F
O
解：
設 AF = x cm，則 AE = x cm.
∴ CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)，
BF = BD = AB - AF = 13 - x (cm).
由 BD + CD = BC，可得
(13 - x) + (9 - x) = 14，
∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.
方法小結：解決本題的關鍵是熟練運用切線長定理，將相等線段轉化集中到某條邊上，從而建立方程求解.
解得 x = 4.
B
A
C
E
D
F
O
比一比
名稱 確定方法 圖形 性質
外心：三角形外接圓的圓心
內心：三角形內切圓的圓心
三角形三邊垂直平分線的交點
1.OA = OB = OC；
2.不一定在三角形內部
三角形三條
角平分線的
交點
1.到三邊距離相等；
2. AO、BO、CO 分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3.在三角形內部
A
B
O
C
A
B
C
O
1. 如圖，PA、PB 是⊙O 的兩條切線，切點分別是 A、B，若 AP = 4，∠APB = 40°，則∠APO = °，PB = .
20
4
B
P
O
A
第1題圖
2. 如圖，☉O 為△ABC 的內切圓，AC = 10，AB = 8，BC = 9，點 D，E 分別為 BC，AC 上的點，且 DE 為☉O 的切線，則△CDE 的周長為______.
11
·
A
B
C
D
O
E
第2題圖
（3）若∠BIC = 100°，則∠A = °；
（2）若∠A = 80°，則∠BIC = °；
130
20
3. 如圖，在△ABC 中，點 I 是內心．
（1）若∠ABC = 50°，∠ACB = 70°，則∠BIC =_____°；
A
B
C
I
（4）試探索：∠A 與∠BIC 之間存在怎樣的數量關系？
120
4. 如圖，已知在△ABC 中，∠B＝90°，O 是 AB 上一點，
以 O 為圓心，OB 為半徑的圓與 AB 交于 E，與 AC 相
切于點 D. 求證：DE∥OC.
證明：方法①：連接 OD，如圖.
∵ AC 切⊙O 于點 D，∴ OD⊥AC.
∴ ∠ODC =∠B = 90°.
∵ OD = OB，OC = OC，
∴ Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）.
∴ ∠DOC =∠BOC.
∵ OD = OE，∴∠ODE =∠OED.
方法②：連接 BD，如圖.
∵ BC⊥AB，
∴ BC 切 ⊙O 于點 B.
又∵ AC 切 ⊙O 于點 D，
∴ DC = BC，CO 平分∠DCB.
∴ OC⊥BD.
∵ BE 為 ⊙O 的直徑，∴ DE⊥BD.
∴ DE∥OC．
∵∠DOB =∠ODE +∠OED，
∴∠BOC =∠OED. ∴ DE∥OC．
5. 如圖，△ABC 中，I 是內心，∠BAC 的平分線和△ABC 的外接圓相交于點 D. 求證：DI＝DB.
證明：連接 BI.
∵ I 是 △ABC 的內心，AD 平分∠BAC.
∴ 點 I 在 AD 上，∠ABI =∠CBI．
∵∠CBD =∠CAD，
∴∠BAD =∠CBD．
∵∠BID =∠BAD +∠ABI，∠IBD =∠CBD +∠CBI，
∴∠BID =∠IBD．
∴ BD = ID．
切線長
切線長定理
作用
提供了證線段和
角相等的新方法
輔助線
分別連接圓心和切點；
連接兩切點；
連接圓心和圓外一點
三角形內切圓
運用切線長定理，將相等線段轉化集中到某條邊上，從而建立方程
應用
重要結論
內心的概念及性質
圖形的軸對稱性
原理

展開更多......

收起↑