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(共27張PPT)
24.3 正多邊形和圓
第二十四章 圓
下圖的這些圖案，都是我們在日常生活中經(jīng)常看到的.你能從這些圖案中找出類似的圖形嗎
圖片引入
問題1 什么叫做正多邊形？
各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.
問題2 矩形是正多邊形嗎？為什么？
菱形是正多邊形嗎？為什么？
矩形不是正多邊形，因為矩形不符合各邊相等；
菱形不是正多邊形，因為菱形不符合各角相等.
注意
正多邊形
各邊相等
各角相等
缺一不可
正多邊形的對稱性
問題3 正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形都是軸對稱圖形嗎？都是中心對稱圖形嗎？
正 n 邊形都是軸對稱圖形，都有 n 條對稱軸，只有邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形才是中心對稱圖形.
問題3 正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形都是軸對稱圖形嗎？都是中心對稱圖形嗎？
歸納
互動探究
問題1 怎樣把一個圓進行四等分？
問題2 依次連接各等分點，得到一個什么圖形？
A
B
C
D
·
O
正多邊形的有關概念及性質
①
③ ∠A ∠E.
把⊙O 進行 5 等分，依次連接各等分點得到五邊形ABCDE.
(1) 填空：
探究歸納
·
A
O
E
D
C
B
3
＝
(2) 這個五邊形 ABCDE 是正五邊形嗎？簡單說說理由.
歸納：像上面這樣，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多形的外接圓.
②
3
O
A
B
C
D
問題3 以正方形為例，根據(jù)對稱性，你能得出什么結論？
E
F
G
H
結論一：正方形 ABCD 有一個以點 O 為圓心的外接圓.
證明：∵ EF 是邊 AB、CD 的垂直平分線，∴ OA = OB，OD = OC.
∵ GH 是邊 AD、BC 的垂直平分線，
∴ OA = OD，OB = OC.
∴ OA = OB = OC = OD.
∴ 正方形 ABCD 有一個以點 O 為圓心的外接圓.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
證明：∵ AC、CA 分別是∠DAB 及∠DCB 的平分線，BD、DB 分別是∠ABC 及∠ADC 的平分線，
∴ OE = OH = OF = OG.
∴ 正方形 ABCD 有一個以點 O 為圓心的內切圓.
結論二：正方形 ABCD 有一個以
點 O 為圓心的內切圓.
所有的正多邊形是不是都有一個外接圓和一個內切圓？
任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，且圓心相同.
想一想
O
A
B
C
D
E
R
r
正多邊形的外接圓和內切圓的公共圓心，叫做正多邊形的中心
外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑
內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距
知識要點
正多邊形每一條邊所對的圓心角，叫做正多邊形的中心角.每個中心角都等于
正多邊形邊數(shù) 內角 中心角 外角
3
4
6
n
60°
120°
120°
90°
90°
90°
120°
60°
60°
正多邊形的外角 = 中心角
完成下面的表格：
練一練
如圖，已知半徑為 4 的圓內接正六邊形 ABCDEF：
① 它的中心角等于 度；
② OC BC(填＞、＜或＝）；
③ △OBC 是 三角形；
④ 圓內接正六邊形的面積是 △OBC 面積
的 倍.
⑤ 圓內接正 n 邊形面積公式：___________________.
C
B
D
O
E
F
A
P
60
=
等邊
6
正多邊形的有關計算
探究歸納
S正多邊形 =
例1 如圖，正五邊形 ABCDE 內接于⊙O，則∠ADE 的
度數(shù)是 （ ）
A．60° B．45° C．36° D．30°
·
A
B
C
D
E
O
C
典例精析
解析：由五邊形 ABCDE 是正五邊形且內接于⊙O，可求出弧 AE 所對的圓心角的度數(shù)等于 360°÷5 = 72°，再根據(jù)圓周角定理可得到∠ADE 的度數(shù).
變式題 如圖，圓內接正五邊形 ABCDE 中，對角線 AD 和 CE 相交于點 P，則∠APE 的度數(shù)是（　　）
A．36° B．60°
C．72° D．108°
解析：由例 1 易得∠ADE = ∠CED = 36°，根據(jù)三角形的外角性質，得
∠APE = ∠ADE + ∠CED = 72°.
C
P
·
A
B
C
D
E
O
例2 有一個亭子，它的地基是半徑為 4 m 的正六邊形，求地基的周長和面積 (面積保留小數(shù)點后一位 ).
抽象成
C
D
O
E
F
A
B
4 m
利用勾股定理，可得邊心距
亭子地基的面積
4 m
O
A
B
C
D
E
F
M
r
解：連接 OB，過點 O 作 OM⊥BC 于 M.
在 Rt△OMB 中，OB = 4，MB =
亭子地基的周長 l = 6×4 = 24 (m)，
2.作邊心距，構造直角三角形.
1.連半徑，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圓內接正多邊形的輔助線
方法歸納
O
邊心距r
邊長一半
半徑R
C
M
中心角一半
練一練
正多邊形的邊數(shù) 邊長 半徑 邊心距 周長 面積
3 2
4 2
6 2
1. 一個正多邊形繞它的中心旋轉 45° 后，就與原正多邊形第一次重合，那么這個正多邊形（ ）
A．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形
B．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形
C．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形
C
2. 如圖，⊙O 是正六邊形 ABCDEF 的外接圓，P 為 ⊙O上除 C、D 外任意一點，則∠CPD 的度數(shù)為（　　）
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
B
提示：分類討論，點 P 可能在優(yōu)弧上，也有可能在劣弧上.
4. 若正多邊形的邊心距與半徑的比為
1∶2，則這個正多邊形的邊數(shù)是 .
3
3. 如圖，已知⊙O 的內接正方形的邊長為 4，則⊙O 的半徑是（ ）
A. 2 B. 4 C. D. 4
C
6. 要用圓形鐵片截出邊長為 4 cm 的正方形鐵片，則選用的圓形鐵片的直徑最小要_____cm.
也就是要找這個正方形外接圓的直徑
5. 如圖是一枚奧運會紀念幣的圖案，其形狀近似看作為正七邊形，則其中心角為 度 (不取近似值).
_______
7. 如圖，已知點 O 是正六邊形 ABCDEF 的對稱中心，G，H 分別是 AF，BC 上的點，且 AG = BH．
(1) 求∠FAB 的度數(shù)；
(2) 求證：OG = OH．
(1) 解：∵ 六邊形 ABCDEF 是正六邊形，
∴∠FAB = .
(2) 證明：連接 OA、OB.
∵ OA = OB，
∴∠OAB =∠OBA.
∵∠FAB =∠CBA，
∴∠OAG =∠OBH.
∴△AOG≌△BOH (SAS).
∴ OG = OH．
又∵ AG = BH，
拓廣探索：如圖，M，N 分別是☉O 內接正多邊形的邊AB，BC 上的點，且 BM = CN.
(1) 圖①中∠MON = °，圖②中∠MON = °，
圖③中∠MON = °；
(2) 試探究∠MON 的度數(shù)與正 n 邊形的邊數(shù) n 的關系.
90
72
120
.
A
B
C
M
N
O
圖①
A
B
C
D
M
N
O
圖②
A
B
C
D
E
M
N
O
圖③
正多邊形的性質
正多邊形的對稱性
正多邊形的有關計算
添加輔助線的方法：連半徑，作邊心距
圓內接正 n 邊形
圓外切正 n 邊形
任何正多邊形都有一個外接圓和內切圓，且這兩個圓是同心圓
正多邊形都是軸對稱圖形
正多邊形和圓的關系
偶數(shù)邊的正多邊形同時也是中心對稱圖形，中心就是對稱中心
中心角、內角、外角、半徑、邊長、邊心距的計算

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