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(共28張PPT)
24.4 弧長和扇形面積
第二十四章 圓
第1課時 弧長和扇形面積
圖片欣賞
如圖，在運動會的 4×100 米比賽中，甲和乙分別在第 1 跑道和第 2 跑道，為什么他們的起跑線不在同一處？
怎樣計算彎道的“展直長度”？
因為要保證這些彎道的“展直長度”是一樣的.
情境引入
圖片來源：新浪體育
與弧長相關的計算
問題1 半徑為 R 的圓，周長是多少？
O
R
問題2 下圖中各圓心角所對的弧長分別占圓周長的多少
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
合作探究
O
R
180°
(1) 圓心角是 180° ，占整個周角的 ，因此它所對的弧長是圓周長的
(2) 圓心角是 90° ，占整個周角的 ，因此它所對的弧長是圓周長的
(3) 圓心角是 45° ，占整個周角的 ，因此它所對的弧長是圓周長的
(4) 圓心角是 n° ，占整個周角的 ，因此它所對的弧長是圓周長的
________.
________.
________.
________.
注意：用弧長公式進行計算時，要注意公式中 n 的意義．n 表示 1° 圓心角的倍數，它是不帶單位的.
知識要點
弧長公式
算一算 已知弧所對的圓心角為 60°，半徑是 4，則弧長為
．
例1 制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算如圖所示管道的展直長度 L (單位：mm，精確到 1 mm).
解：弧 AB 的長為
因此所要求的展直長度 L = 2×700 + 500π ≈ 2971 (mm).
答：管道的展直長度約為 2971 mm.
700 mm
700 mm
R = 900 mm
(
100°
A
C
B
D
O
一滑輪起重機裝置 (如圖)，滑輪的半徑 R = 10 cm，當重物上升 15.7 cm 時，滑輪的一條半徑 OA 繞軸心 O 逆時針方向旋轉多少度？(假設繩索與滑輪之間沒有滑動，π 取 3.14)
·
O
A
解：設半徑 OA 繞軸心 O 按逆時針方向旋轉的度數為 n°，則
解得 n ≈ 90°.
因此，滑輪旋轉的角度約為 90°.
練一練
由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形.
如圖，黃色部分是一個扇形，記作扇形OAB.
半徑
半徑
O
B
A
圓心角
弧
O
B
A
扇形
概念學習
與扇形面積相關的計算
判斷：下列圖形是扇形嗎？
√
×
×
×
√
練一練
合作探究
問題1 半徑為 r 的圓,面積是多少？
O
r
問題2 下圖中各扇形面積分別是圓面積的幾分之幾？具體是多少呢
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
圓心角占
周角的比例 扇形面積占
圓面積的比例 扇形
的面積
=
半徑為 r 的圓中，圓心角為 n° 的扇形的面積
①公式中 n 的意義：n 表示 1° 圓心角的倍數，它是不帶單位的；②公式要理解記憶（即按照上面推導過程記憶）.
注意
知識要點
●
O
A
B
D
C
E
F
●
O
A
B
C
D
問題3 扇形的面積與哪些因素有關？
大小不變時，對應的扇形面積與 有關，
越長，面積越大.
圓心角
半徑
半徑
圓的 不變時，扇形面積與 有關， 越大，面積越大.
圓心角
半徑
圓心角
總結：扇形的面積與圓心角、半徑有關.
問題 扇形的弧長公式與面積公式有聯系嗎？
想一想 扇形的面積公式與什么公式類似？
A
B
O
O
類比學習
例2 如圖，圓心角為 60° 的扇形的半徑為 10 cm. 求這個扇形的面積和周長（精確到 0.01 cm2 和 0.01 cm）.
O
r
60°
解：∵ n = 60，r = 10 cm，
∴ 該扇形的面積為
該扇形的周長為
1. 已知扇形的半徑為 2 cm，其弧長為 cm，則這個扇形的面積 S = .
2. 已知扇形的圓心角為 120°，半徑為 2，則這個扇形的面積 S = .
練一練
例3 如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面積 (精確到 0.01 m2).
(1)
O .
B
A
討論：(1) 截面上有水部分的面積是指圖上哪一部分？
陰影部分.
(2) 水面高 0.3 m 是指哪一條線段的長？這條線段應該怎樣畫出來？
過點 O 作 OD⊥AB 于點 D，并延長 OD 交圓 O 于 C. 則線段 DC 的長為水面高.
(3) 要求圖中陰影部分面積，應該怎么辦？
S陰影 = S扇形 OAB - S△OAB
O.
B
A
D
(2)
C
∵ OC＝0.6，DC＝0.3，
∴ OD＝OC - DC＝0.3.
∴ OD＝DC.
又 AD⊥OC，
∴ AD 是線段 OC 的垂直平分線.
∴ AC＝AO＝OC.
從而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.
O.
B
A
C
D
解：如圖，連接 OA、OB，過點 O 作弦 AB 的垂線，垂足為 D，交 于點 C，連接 AC.
在 Rt△AOD 中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m，
∴ AD = m.
∴ AB = 2AD = m.
∴ 截面上有水部分的面積為
S = S扇形AOB - SΔOAB
O.
B
A
C
D
左圖： S弓形 = S扇形 - S三角形
右圖：S弓形 = S扇形 + S三角形
O
O
弓形的面積 = 扇形的面積 ± 三角形的面積
知識要點
弓形的面積公式
2. 某扇形的圓心角為 72°，面積為 5π，則此扇形的弧長為（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
1. 已知弧所對的圓周角為 90°，半徑是 4，則弧長為 .
B
4π
3. 如圖，∠ACB 是⊙O 的圓周角，若⊙O 的半徑為 10，∠ACB = 45°，則扇形 AOB 的面積為（　　）
A．5 π B．12.5 π
C．20 π D．25 π
D
4.如圖，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D兩兩不相交，且半徑都是 2 cm，則圖中陰影部分的面積是 .
A
B
C
D
5.（例題變式題） 如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是 0.6 m，其中水面高 0.9 m，求截面上有水部分的面積 (精確到 0.01 m2）.
O
A
B
D
C
E
解：
6. 如圖，一個邊長為 10 cm 的等邊三角形模板 ABC 在水平桌面上繞頂點 C 按順時針方向旋轉到 △A'B'C 的位置，求頂點 A 從開始到結束所經過的路程.
解：由圖可知，由于∠A'CB' = 60°，則等邊三角形木板繞點 C 按順時針方向旋轉了120°，即∠ACA' = 120°，這說明頂點 A 經過的路程長等于弧 AA' 的長.
∵ 等邊三角形 ABC 的邊長為 10 cm，
∴ 弧 AA' 所在圓的半徑為 10 cm.
∴ 所求路程為 l弧AA'
A
B
A'
B'
C
弧長
計算公式：
扇形
公式
陰影部分面積
求法：整體思想
弓形
公式
S弓形 = S扇形 - S三角形
S弓形 = S扇形 + S三角形
割補法

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