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(共23張PPT)
24.4 弧長和扇形面積
第二十四章 圓
第2課時 圓錐的側面積和全面積
圖片引入
圓錐及相關概念
頂點
母線
底面半徑
側面
高
圓錐的形成
觀察與思考
圓錐是如何形成的？它是由哪幾部分構成？
圓錐的高
母線
S
A
O
B
r
我們把連接圓錐頂點 (點 S ) 和底面圓上任意一點的線段 (如線段 SA，SB 等) 叫做圓錐的母線．
圓錐的母線
圓錐有無數條母線，它們都相等．
圓錐的高
從圓錐的頂點到圓錐底面圓心之間的距離是圓錐的高．
知識要點
要點歸納
h
如果用 r 表示圓錐底面圓的半徑，h 表示圓錐的高線長，l 表示圓錐的母線長，那么 r、h、l 之間的等量關系是：____________．
r
r2 + h2 = l2
O·
l
根據下列條件求值（其中 r、h、l 分別是圓錐的底面圓半徑、高、母線長）.
(1) 若 l = 2，r = 1，則 h = _______；
(2) 若 h = 3，r = 4，則 l = _______；
(3) 若 l = 10，h = 8，則 r = _______.
5
6
填一填
h
r
O·
l
圓錐的側面展開圖
l
O
r
思考：圓錐的側面展開圖是什么圖形？
扇形
圓錐的側面展開圖是扇形
問題：1. 沿著圓錐的母線，把一個圓錐的側面剪開鋪平，得到一個扇形，這個扇形的弧長與底面圓的周長有什么關系？
2. 圓錐側面展開圖是扇形，這個扇形的半徑與圓錐中的什么線段長相等？
相等
母線長
l
O
側面
展開圖
要點歸納
l
r
圓錐側面展開圖扇形的半徑 ＝ 母線的長 ( l )
圓錐側面展開圖扇形的弧長 ＝ 底面圓周長 ( 2πr )
h
圓錐的側面積計算公式
l
O
側面
展開圖
底面圓
l
r
圓錐的全面積計算公式
( r 表示圓錐底面圓的半徑，l 表示圓錐的母線長 )
已知一個圓錐的底面半徑為 12 cm，母線長為 20 cm，則這個圓錐的側面積為 ，全面積為 .
練一練
例1 一個圓錐的側面展開圖是一個圓心角為 120°、弧長為 20π 的扇形，試求該圓錐的底面圓半徑及母線長.
解：設該圓錐的底面圓半徑為 r，母線長為 l，則
解得
r = 10.
∴ l = 30.
又
典例精析
∴ 該圓錐的底面圓半徑為 10，母線長為 30.
例2 如圖是圓錐形的煙囪帽，它的底面直徑為 80 cm，母線為 50 cm. 在一塊大鐵皮上剪裁時，如何畫出這個煙囪帽的側面展開圖？求出該側面展開圖的面積.
解：煙囪帽的側面展開圖是扇形，如圖所示. 設該扇形的面積為 S. 由弧長的計算方法，可得
α
O
h
r
l
α
O
h
r
l
答：該側面展開圖的面積為 2000π cm2.
例3 蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成，如果想用毛氈搭建 20 個底面積為 12 m2，高為 3.2 m，外圍高為 1.8 m 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛氈（π 取3.142，結果取整數）？
解：如圖是蒙古包的示意圖．
根據題意，下面圓柱的底面積為 12 m2，高為 h2 = 1.8 m；上面圓錐的高為 h1 = 3.2－1.8 = 1.4(m).
h1
r
h2
圓柱的底面圓半徑為
圓錐的母線長為
側面積為 2π×1.954×1.8 ≈ 22.10 (m2)，
側面展開扇形的弧長為
圓錐的側面積為
因此，20×(22.10 + 14.76) ≈ 738 (m2).
答：至少需要 738 m2 的毛氈.
h1
r
h2
如圖所示的扇形中，半徑 R = 10，圓心角 θ = 144°，用這個扇形圍成一個圓錐的側面.
(1) 這個圓錐的底面半徑 r = ；
(2) 這個圓錐的高 h = .
θ
R = 10
4
練一練
A
O
B
C
r
h
1. 圓錐的底面半徑為 3 cm，母線長為 6 cm，則這個圓
錐側面展開圖扇形的圓心角是_____．
2. 一個扇形，半徑為 30 cm，圓心角為 120°，用它做成
一個圓錐的側面，那么這個圓錐的底面半徑為 .
3. 已知圓錐的底面圓半徑為 3 cm，高為 4 cm，則它的
側面積是 ，全面積是 ．
180°
10 cm
15π cm2
24π cm2
4. 如圖，已知扇形 OAB 的半徑為 6 cm，圓心角的度數為 120°，若將此扇形圍成一個圓錐，則：
(1) 圍成的圓錐的側面積為多少？
(2) 該圓錐的底面半徑是多少？
∴ 圓錐的側面積 .
根據題意得 ，解得 r = 2．
(2) 設該圓錐的底面半徑為 r cm，
即圓錐的底面半徑為 2 cm．
解：(1) 由已知得扇形的半徑 R = 6 cm.
5.（1）在半徑為 10 的圓形鐵片中，要裁剪出一個直角
扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面積；
A
B
C
①
②
③
O
解：如圖，連接 BC，則 BC 必為圓的直徑.
∵∠BAC = 90°，BO = 10，AB = AC，
∴ S扇形=
∴ AB = AC =
即能裁剪出的最大的直角扇形的面積為 50π.
（2）若用這個最大的直角扇形恰好圍成一個圓錐，求
這個圓錐的底面圓的半徑；
解：圓錐側面展開圖的弧長為
∵
A
B
C
①
②
③
O
（3）能否從最大的余料③中剪出一個圓做該圓錐的底
面？請說明理由．
解：延長 AO 交扇形于點 E，交 ⊙O 于點 F，
則 EF = AF - AE =
∵ 圓錐的底面直徑為
∴ 不能從最大的余料③中剪出一個
圓做該圓錐的底面.
A
B
C
①
②
③
O
E
F
r2 + h2 = l2
S圓錐側 = πrl
母線
r
圓錐的高
S
A
O
B
h
l
o
側面
展開圖
r
底面
① 圓錐側面展開圖扇形的半徑 = 母線長 l
② 圓錐側面展開圖扇形的弧長 = 底面圓周長
重要圖形
重要結論
S圓錐全 = S圓錐側 + S圓錐底
= πrl + πr2

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