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第二十四章 圓
小結與復習
·
一、與圓有關的概念
1.圓:平面內到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形.
2.弦:連接圓上任意兩點的線段.
3.直徑:經過圓心的弦是圓的直徑，直徑是最長的弦.
4.劣弧:小于半圓的圓弧.
5.優弧:大于半圓的圓弧.
6.等弧:在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧.
7.圓心角:頂點在圓心，角的兩邊與圓相交.
8.圓周角:頂點在圓上，角的兩邊與圓相交.
[注意] (1) 確定圓的要素：圓心決定位置，半徑決定大小；(2) 不在同一條直線上的三個點確定一個圓.
·
9. 圓內接正多邊形、外接圓：將一個圓 n (n≥3) 等分，依次連接各等分點所得到的多邊形叫做這個圓的內接正多邊形，這個圓是這個正多邊形的外接圓.
10. 三角形的外接圓
外心：三角形的外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.
[注意] (1) 三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點；(2) 一個三角形的外接圓是唯一的.
11. 三角形的內切圓
內心：三角形的內切圓的圓心叫做這個三角形的內心.
[注意] (1) 三角形的內心是三角形三條角平分線的交點；(2) 一個三角形的內切圓是唯一的.
12. 正多邊形的相關概念
(1) 中心：正多邊形外接圓和內切圓有公共的圓心，稱
其為正多邊形的中心.
(2) 半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.
(3) 邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形
的邊心距.
(4) 中心角：正多邊形每一條邊所對的外接圓的圓心角
都相等，叫做正多邊形的中心角.
二、 圓的基本性質
1. 圓的對稱性
圓是軸對稱圖形，它的任意一條_____所在的直線都是它的對稱軸.圓也是中心對稱圖形，圓心即為對稱中心.
直徑
2. 有關圓心角、弧、弦的性質
(1) 在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對的弧相等，所對的弦也相等；
(2) 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧和兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.
三、與圓有關的位置關系
1. 點與圓的位置關系
判斷點與圓的位置關系可由點到圓心的距離 d 與圓的半徑 r 比較得到.
設☉O 的半徑是 r，點 P 到圓心的距離為 d ，則有
點 P 在圓內；
d＜r
點 P 在圓上；
d = r
點 P 在圓外.
d＞r
[注意]點與圓的位置關系可以轉化為點到圓心的距離與半徑之間的大小關系；反過來，也可以通過這種大小關系判斷點與圓的位置關系．
2. 直線與圓的位置關系
設 r 為圓的半徑，d 為圓心到直線的距離
圖形
公共點個數
直線與圓的 位置關系
公共點名稱
直線名稱
2 個
交點
割線
1 個
切點
切線
0 個
相離
相切
相交
(2)垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧；
平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦.
四、有關定理
1. 垂徑定理及其推論
(1) 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且
平分弦所對的　 .
[注意] ①條件中的“弦”可以是直徑；②結論中的“平分弧”指平分弦所對的劣弧、優弧．
兩條弧
2. 圓周角定理及其推論
(1) 圓周角定理：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半.
(3) 推論2：90° 的圓周角所對的弦是直徑.
[注意] “同弧”指“在一個圓中的同一段弧”；“等弧”指“在同圓或等圓中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦”．
(4) 推論3：圓的內接四邊形的對角互補.
(2) 推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對弧相等.
3. 與切線相關的定理
(1) 判定定理：經過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
(2) 性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑.
(3) 切線長定理：過圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角
五、圓中的計算問題
1. 弧長公式
半徑為 R 的圓中，n° 圓心角所對的弧長 l =_____.
2. 扇形面積公式
半徑為 R，圓心角為 n° 的扇形面積 S = ___________.
或
3. 弓形面積公式
O
O
弓形的面積 = 扇形的面積±三角形的面積
(3) 圓錐的側面積為　 ；
(4) 圓錐的全面積為　 　.
4. 圓錐的側面積
(1) 圓錐的側面展開圖是一個　 　；
(2) 如果圓錐的母線長為 l，底面圓半徑為 r，那么這個扇形的半徑為　　，扇形的弧長為　 ；
扇形
l
5. 圓內接正多邊形的計算
(1) 正 n 邊形的中心角為
(2) 正 n 邊形的邊長 a，半徑 R，邊心距 r 之間的關系為
(3) 邊長為 a，邊心距 r 的正 n 邊形的面積為
其中 C 為正 n 邊形的周長.
考點一 圓的有關概念及性質
例1 如圖，在⊙O 中，∠ABC = 50°，則∠CAO 等于(　 )
A．30° B．40° C．50° D．60°
B
解析：根據圓周角定理可得∠AOC = 2∠B = 100°，又 OA = OC，從而可求出∠CAO 的度數.
2.如圖 ，四邊形 ABCD 為 ☉O 的內接正方形，點 P 為劣弧 BC 上的任意一點 (不與 B，C 重合)，則∠BPC 的度數是 .
C
D
B
A
P
O
135°
針對訓練
例2 如圖，已知 A、B、C、D四點都在⊙O上，OB⊥AC，
BC = CD，在下列四個說法中：① ；② AC = 2CD；③ OC⊥BD；④∠AOD = 3∠BOC，正確說法的個數是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
B
C
D
O
解析：由 OB⊥AC 可知 OB 垂直平分AC，則 AB = BC = CD.
點 C 是 的中點，易得 OC⊥BD，∠AOB =∠BOC =∠COD，
即∠AOD = 3∠BOC.
易知 AB + BC＞AC，即 2CD＞AC.
綜上可知，正確的說法有 3 個. 故選 C.
① ； ②AC = 2CD；
③OC⊥BD； ④∠AOD = 3∠BOC
√
√
√
A
B
C
D
O
針對訓練
2. 如圖，AB，CD 是⊙O 的直徑， ，若∠AOE = 32°，則∠COE 的度數是（ ）
A. 32° B. 60° C. 68° D. 64°
D
A
B
C
D
O
E
例3 如圖，⊙O 的弦 AB 和直徑 CD 交于點 E，且 CD 平分 AB.
(2) 若 AB = 16，OC = 10，那么 CE 的長是 ；
(1) 若 OC = 13，CE = 8，那么 AB 的長是______；
(3) 若 AB = 8，CE = 2，那么⊙O 的半徑長是______．
提示：連接 OA，結合垂徑定理與勾股定理求有關線段的長，其中 (3) 需運用方程思想求解.
24
4
5
A
B
C
D
O
E
3. 如圖，工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的口寬，假設鋼珠的直徑是 10 mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為 8 mm，則這個小圓孔的口寬 AB = mm.
8 mm
A
B
解析 設圓心為 O，連接 OA，過點 O 作出弓形的高 CD，則 AO = 5 mm，OD = 3 mm，利用勾股定理可算得 AD = 4 mm，所以 AB = 8 mm.
8
C
D
O
針對訓練
4. 如圖，AB 是 ⊙O 的直徑，且 AB = 2，C，D 是同一半圓上的兩點，并且 與 的度數分別是 96° 和 36°，動點 P 是 AB 上的任意一點，則 PC + PD 的最小值是 .
A
B
C
D
P
O
D′
P
解析：作 D 點關于 AB 的對稱點 D′，連接 CD′，與 AB 交于點 P，此時 PC + PD 的最小值即為 CD′ 的長度. 先求出∠COD′ 的度數，再求 CD′.
例3 ☉O 的半徑為 R，圓心到點 A 的距離為 d，且 R、d 分別是方程 x2－6x＋8＝0 的兩根，則點 A 與☉O 的位置關系是（ ）
A. 點 A 在☉O 內部 B. 點 A 在☉O 上
C. 點 A 在☉O 外部 D. 點 A 不在☉O 上
解析：此題需先計算出一元二次方程 x2－6x＋8＝0 的兩個根，然后再根據 R 與 d 的之間的關系判斷出點 A 與☉O 的關系.
D
考點二 與圓有關的位置關系
針對訓練
5. 平面直角坐標系中，M 點坐標為 (-2，3)，以 2 為半徑畫⊙M，則以下結論正確的是（　　）
A．⊙M 與 x 軸相交，與 y 軸相切
B．⊙M 與 x 軸相切，與 y 軸相離
C．⊙M 與 x 軸相離，與 y 軸相交
D．⊙M 與 x 軸相離，與 y 軸相切
D
例5 如圖，線段 AB 是直徑，點 D 是 ☉O 上一點， ∠CDB = 20°，過點 C 作 ☉O 的切線交 AB 的延長線于點 E，則 ∠E 等于 °.
O
C
A
B
E
D
50
考點三 切線的判定與性質
提示：遇切線，通常連接圓心和切點，構造直角三角形求解.
6. 如圖，BE 是⊙O 的直徑，點 A 是圓上一點，過點 A 作⊙O 的切線交 BE 延長線于點 C，若 AB = AC，CE = 2，⊙O 的半徑長為_____．
2
針對訓練
A
B
C
E
O
證明：如圖，連接 AC.
∵ OA = OC，∴∠A =∠ACO．
∴∠COB = 2∠ACO．
又∵∠COB = 2∠PCB，∴∠ACO =∠PCB．
∵ AB 是⊙O 的直徑，∴∠ACO +∠OCB = 90°．
∴∠PCB +∠OCB = 90°，即 OC⊥CP．
∵ OC 是⊙O 的半徑，∴ PC 是⊙O 的切線．
例6 如圖，AB 是⊙O 的直徑，點 C 在⊙O 上，過點 C 的直線與 AB 延長線相交于點P．若∠COB = 2∠PCB，求證：PC 是⊙O 的切線．
A
B
P
C
O
證明：過點 D 作 DF⊥OA 于 F，
∵ 點 D 是∠AOB 的平分線 OC 上任意一點，DE⊥OB，
∴ DF = DE，
即 D 到直線 OA 的距離等于⊙D的半徑.
∴ OA 是⊙D 的切線．
7. 如圖，點 D 是∠AOB 的平分線 OC 上任意一點，過 D 作 DE⊥OB 于 E，以 DE 為半徑作⊙D.求證：OA 是⊙D 的切線．
針對訓練
F
無切點，
作垂直，
證半徑
A
B
D
C
O
E
8. 如圖，PA 與⊙O 相切于點 A，過點 A 作 AB⊥OP，垂足為 C，交⊙O 于點 B．連接 PB，AO，并延長 AO 交⊙O 于點 D，與 PB 的延長線交于點 E．
(1) 求證：PB 是⊙O 的切線；
證明：連接 OB.
∵ PO⊥AB，∴ AC = BC. ∴ PA = PB.
∵ PO = PO，
∴△PAO≌△PBO (SSS).
∴∠OAP =∠OBP.
∵ PA 是⊙O 的切線，∴∠OAP = 90°.
∴∠OBP = 90°. ∴ PB 是⊙O 的切線.
有交點，
連交點，
證垂直
A
B
D
C
O
E
P
(2) 若 AP = 5，PE = 13，求 DE 的長．
解：在 Rt△APE 中，
由勾股定理易得 AE = 12．
由 (1) 知 AP = BP = 5，則 BE = 8．
∵ PB 為⊙O 的切線，∴∠OBE = 90°.
設 OB = r，則 OE = 12 - r.
在 Rt△OBE 中，由勾股定理得
r2 + 82 = (12 - r)2，
解得 r = .
A
B
D
C
O
E
P
例7 如圖，PA，PB 是 ⊙O 的切線，A，B 為切點，過 上的一點 C 作⊙O 的切線，交 PA 于 D，交 PB 于 E.
(1) 若∠P＝70°，求∠DOE 的度數；
解：連接 OA，OB，OC．
∵ ⊙O 分別切 PA，PB，DE 于點 A，B，C，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE．
∴ OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC.
∴∠DOE＝ ∠AOB.
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°. ∴∠DOE＝55°.
解：由 (1) 知，AD＝CD，BE＝CE.
∴ △PDE 的周長為 PD＋PE＋DE
＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8 (cm).
(2) 若 PA＝4 cm，求△PDE 的周長．
9. 如圖，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 30 cm，BC = 40 cm，現利用該三角形裁剪一個最大的圓，則該圓半徑是_____cm．
10
拓展：已知三角形面積，求三角形內切圓的半徑，可利用公式：
解析：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，則可以根據
求△ABC 的內切圓半徑.
針對訓練
例8 如圖，四邊形 OABC 為菱形，點 B、C 在以點 O 為圓心的圓上，OA = 1，∠1 = ∠2，求扇形 OEF 的面積.
解：連接 OB.
考點四 圓中的計算問題
在菱形 OABC 中，OC = OA = BC = 1.
∴∠AOC = 120°.
又∠1 =∠2，∴∠FOE =∠AOC = 120°.
又∵ OC = OB，
∴△BOC 為等邊三角形.
∴∠OCB = 60°.
10. (1) 扇形的弧長為 10π cm，面積為 120π cm2，則扇形的半徑是______ cm.
(2) 如果圓錐的母線長為 6 cm，底面半徑為 3 cm，那么這個圓錐的側面展開圖的圓心角為______°.
針對訓練
180
24
O
C
A
B
D
(3) 如圖，四邊形 ABCD 是⊙O 的內接四邊形，⊙O 的半徑為 3，∠C = 140°，則弧 BD 的長為
____．
11. 如圖，正六邊形 ABCDEF 內接于半徑為 5 的⊙O，四邊形 EFGH 是正方形．
(1) 求正方形 EFGH 的面積；
解：∵ 正六邊形的邊長與其半徑相等，
∴ EF = OF = 5.
∴ 正方形 EFGH 的面積是 25.
(2) 連接 OF、OG，求∠OGF 的度數．
解：∵ 正六邊形的邊長與其半徑相等，
∴∠OFE = 60°.
∴∠OFG =∠OFE +∠EFG = 60° + 90° = 150°.
由 (1) 得 OF = FG，
∴∠OGF = （180° -∠OFG）
= ×(180° - 150°) = 15°.
例9 如圖，已知 C，D 是以 AB 為直徑的半圓周上的兩點，O 是圓心，半徑 OA = 2，∠COD = 120°，則圖中陰影部分的面積等于_______．
針對訓練
12. 如圖，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠CAB = 30°，BC = 2，以 AB 的中點 O 為圓心，OA 的長為半徑作圓交 AC 于點 D，則圖中陰影部分的面積為
_________.
考點五 與圓有關的作圖
·
a
b
c
d
a
例10 如何解決“破鏡重圓”的問題：
·
作圖方法：首先，在碎片 a 的圓弧上找 A、B、C 三點，連接 AB、BC；然后分別作 AB 和 BC 的垂直平分線，兩垂直平分線的交點 O. 即為原來圓鏡的圓心，原來的鏡子是以 O 為圓心，OA 為半徑的圓鏡.
A
B
C
O
針對訓練
13. 在△ABC 中，AB = AC，點 A 在以 BC 為直徑的半圓內．請僅用無刻度的直尺在圖中以 BC 為邊作一個 45° 的圓周角（保留畫圖痕跡）．
A
B
C
D
解：如圖所示，∠CBD 即為所求.
圓
弧長和扇形面積
圓的對稱性
圓錐的側面積和全面積
切線
點和圓的位置關系
圓的有關性質
點、直線和圓的位置關系
正多邊形和圓
弧、弦、圓心角之間的關系
同弧所對的圓周角和它所對的圓心角的關系
直線和圓的位置關系
三角形的
內切圓
等分圓周
弧長
扇形面積
三角形的外接圓

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