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25.2 用列舉法求概率
第二十五章 概率初步
第2課時 畫樹狀圖法求概率
視頻來源：洋蔥數學
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現有 A、B、C 三盤包子，已知 A 盤中有兩個酸菜包和一個糖包，B 盤中有一個酸菜包和一個糖包和一個韭菜包，C 盤中有一個酸菜包和一個糖包以及一個饅頭. 老師就愛吃酸菜包，如果老師從每個盤中各選一個包子 (饅頭除外)，請你幫老師算算選的包子全部是酸菜包的概率是多少.
A
B
C
問題引入
利用畫樹狀圖法求概率
問題1 拋擲一枚均勻的硬幣，出現正面向上的概率是多少？
P (正面向上) =
問題2 同時拋擲兩枚均勻的硬幣，出現兩者都正面向上的概率是多少？
可能出現的結果有
(反，反)
P (都正面向上) =
還有別的方法求問題 2 的概率嗎？
(正，正)
(正，反)
(反，正)
合作探究
同時拋擲兩枚均勻的硬幣，出現正面向上的概率是多少？
開始
第 2 枚
第 1 枚
正
反
正
反
正
反
結果
(反，反）
(正，正）
(正，反）
(反，正）
P (都正面向上) =
列樹狀圖法求概率
一個試驗
第一個因素
第二個因素
如一個試驗中涉及 2 個因素，第一個因素中有 2 種可能情況；第二個因素中有 3 種可能的情況.
A
B
1
2
3
1
2
3
則其樹形圖如下圖：
n = 2×3 = 6
樹狀圖法：按事件發生的次序，列出事件可能出現的結果.
樹狀圖的畫法
問題 嘗試用樹狀圖法列出小明和小華所玩游戲中所有可能出現的結果，并求出事件 A，B，C 的概率.
A：“小明勝” B：“小華勝” C：“平局”
合作探究
活動：石頭、剪刀、布
同學們：你們玩過“石頭、剪刀、布”的游戲嗎？小明和小華正在興致勃勃的玩這個游戲，你想一想，這個游戲中有概率的知識嗎？
解：
小明
小華
結果
開始
共有 9 種可能的結果，而且它們出現的可能性相等.
因此 P (A) =
事件 C 發生的所有可能結果：
（石頭，石頭）（剪刀，剪刀）（布，布）.
事件 A 發生的所有可能結果：
（石頭，剪刀）（剪刀，布）（布，石頭）；
事件 B 發生的所有可能結果：
（剪刀，石頭）（布，剪刀）（石頭，布）；
P (B) =
P (C) =
畫樹狀圖求概率的基本步驟：
方法歸納
（1）明確一次試驗的幾個步驟和順序；
（2）畫樹狀圖列舉一次試驗的所有可能結果；
（3）數出隨機事件 A 包含的結果數 m，試驗的所有可能結果數 n；
（4）用概率公式進行計算.
視頻：用樹狀圖法求概率
視頻來源：洋蔥數學
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例1 甲、乙、丙三個盒子中分別裝有大小、形狀、質地相同的小球若干，甲盒中裝有 2 個小球，分別寫有字母 A 和 B；乙盒中裝有 3 個小球，分別寫有字母 C、D 和 E；丙盒中裝有 2 個小球，分別寫有字母 H 和 I. 現要從 3 個盒子中各隨機取出 1 個小球．
I
H
D
E
C
A
B
甲 乙 丙
典例精析
(1) 取出的 3 個小球中恰好有 1 個，2 個，3 個寫有元音
字母的概率各是多少？
甲
乙
丙
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
解：由樹狀圖知所有可能出現的結果有 12 個，它們出現的可能性相等.
滿足只有一個元音字母的結果有 5 個，則P (一個元音) =
滿足三個全部為元音字母的結果有 1 個，則 P (三個元音) =
滿足只有兩個元音字母的結果有 4 個，則 P (兩個元音) = =
甲
乙
丙
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
(2) 取出的 3 個小球上全是輔音字母的概率是多少？
解：滿足全是輔音字母的結果有 2 個，則 P (三個輔音) = = .
甲
乙
丙
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
典例精析
例2 某班有 1 名男生、2 名女生在校文藝演出中獲演唱獎，另有 2 名男生、2 名女生獲演奏獎. 從獲演唱獎和演奏獎的學生中各任選一人去領獎，求兩人都是女生的概率.
解：設兩名領獎學生都是女生的事件為 A，兩種獎項各任選 1 人的結果用“樹狀圖”來表示如下：
開始
獲演唱獎的
獲演奏獎的
男
女''
女'
女1
男2
男1
女2
女1
男2
男1
女1
男2
男1
女2
女2
共有 12 種等可能的結果，其中 2 名都是女生的結果有 4 種，所以事件 A 發生的概率為 P(A) = .
計算等可能情形下概率的關鍵是確定所有可能性相等的結果總數 n 和事件 A 發生的結果總數 m，“樹狀圖”能幫助我們有序的思考，不重復、不遺漏地求出 n 和 m.
例3 甲、乙、丙三人做傳球的游戲，開始時，球在甲手中，每次傳球，持球的人將球任意傳給其余兩人中的一人，如此傳球三次.
(1) 寫出三次傳球的所有可能結果 (即傳球的方式)；
(2) 指定事件A：“傳球三次后，球又
回到甲的手中”，寫出 A 發生的所有
可能結果；
(3) 求P(A).
解：(1)
第二次
第三次
結果
開始：甲
共有八種可能的結果，每種結果出現的可能性相同.
(2) 傳球三次后，球又回到甲手中，事件 A 發生有兩種可能出現結果 (乙，丙，甲) (丙，乙，甲).
乙
丙
第一次
甲
甲
丙
乙
甲
甲
丙
丙
乙
乙
乙
丙
（丙，乙，丙）
（乙，甲，丙）
（乙，丙，甲）
（乙，丙，乙）
（丙，甲，乙）
（丙，甲，丙）
（丙，乙，甲）
（乙，甲，乙）
(3) P(A) =
方法歸納
當試驗包含兩步時，列表法比較方便；當然，此時也可以用樹狀圖法；
當事件要經過多個(三個或三個以上)步驟完成時，應選用樹狀圖法求事件的概率.
思考： 你能夠用列表法寫出 3 次傳球的所有可能結果嗎？
若再用列表法表示所有結果已經不方便！
1. 現在學校決定由甲同學代表學校參加全縣的詩歌朗誦比賽，甲同學有 3 件上衣，分別為紅色 (R)、黃色 (Y)、藍色 (B)，有 2 條褲子，分別為藍色 (B) 和棕色 (b)．甲同學想要穿藍色上衣和藍色褲子參加比賽，你知道甲同學任意拿出 1 件
上衣和 1 條褲子，
恰好是藍色上衣和
藍色褲子的概率是
多少嗎？
上衣：
褲子：
練一練
解:“樹狀圖”如右：
開始
上衣
褲子
所有可能出現的結果
每種結果的出現是等可能的. “取出 1 件藍色上衣和 1 條藍色褲子”記為事件 A，那么事件 A 發生的概率是 P (A)＝ .
2. 經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉. 如果這三種可能性大小相同，求三輛汽車經過這個十字路口時，下列事件的概率：
（1）三輛車全部繼續直行；
（2）兩車向右，一車向左；
（3）至少兩車向左.
第一輛
左
右
左
右
第二輛
直
直
左
右
直
左
右
直
共有 27 種行駛方向
(1) P (全部繼續直行) =
(2) P (兩車向右，一車向左) =
(3) P (至少兩車向左) =
左直右
第三輛
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
2. a、b、c、d 四本不同的書放入一個書包，至少放一本，最多放兩本，共有 種不同的放法.
1. 三女一男四人同行，從中任意選出兩人，其性別不同的概率為（ ）
10
C
A. B. C. D.
3. 在一個不透明的袋子里，裝有三個分別寫有數字 6，
-2，7 的小球，它們的形狀、大小、質地等完全相同.
先從袋子里隨機取出一個小球，記下數字后放回袋子
里，搖勻后再隨機取出一個小球，記下數字. 請你用
列表或畫樹狀圖的方法求下列事件的概率.
（1）兩次取出的小球上的數字相同；
（2）兩次取出的小球上的數字之和大于 10.
6
-2
7
(1) 兩次取出的小球上的數字相同的可能性只有 3 種，
所以 P (數字相同) =
(2) 兩次取出的小球上的數字之和大于 10 可能性只有
4 種，所以 P (數字之和大于 10) =
解：根據題意，畫出樹狀圖如下：
第一個數字
第二個數字
6
6
-2
7
-2
6
-2
7
7
6
-2
7
4. 現有 A、B、C 三盤包子，已知 A 盤中有兩個酸菜包和一個糖包，B 盤中有一個酸菜包和一個糖包和一個韭菜包，C 盤中有一個酸菜包和一個糖包以及一個饅頭.老師就愛吃酸菜包，如果老師從每個盤中各選一個包子(饅頭除外)，請你幫老師算算選的包子全部是酸菜包的概率是多少.
A
B
C
解：根據題意，畫出樹狀圖如下：
由樹狀圖得，所有可能出現的結果有 18 種，它們出現的可能性相等.選的包子全部是酸菜包有 2 種，所以選的包子全部是酸菜包的概率是
A 盤
B 盤
C 盤
酸
酸
糖
韭
酸
糖
酸
酸
糖
韭
酸
糖
酸
糖
酸
糖
糖
酸
糖
韭
酸
糖
酸
糖
酸
糖
酸
酸
酸
酸
糖
酸
酸
糖
酸
酸
糖
酸
糖
酸
糖
糖
酸
韭
酸
酸
韭
糖
酸
酸
酸
酸
酸
糖
酸
糖
酸
酸
糖
糖
酸
韭
酸
酸
韭
糖
糖
酸
酸
糖
酸
糖
糖
糖
酸
糖
糖
糖
糖
韭
酸
糖
韭
糖
樹狀圖
步驟
用法
是一種解決試驗有多步（或涉及多個因素）的好方法.
注意
弄清試驗涉及試驗因素個數或試驗步驟分幾步；
在摸球試驗一定要弄清“放回”還是“不放回”.
關鍵要弄清楚每一步有幾種結果；
在樹狀圖下面對應寫著所有可能的結果，并找出事件所包含的結果數；
利用概率公式進行計算.

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