資源簡(jiǎn)介

九年級(jí)上冊(cè)教案
22.3 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)
第 2 課時(shí) 商品利潤(rùn)最大問(wèn)題
教學(xué)內(nèi)容 第 2 課時(shí) 商品利潤(rùn)最大問(wèn)題 課時(shí) 1
核心素養(yǎng)目標(biāo) 1．應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，要能正確分析和把握實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，從而得到函數(shù)關(guān)系，再求最值； 2．通過(guò)建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提高用數(shù)學(xué)的意識(shí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．
知識(shí)目標(biāo) 1．應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題； 2．應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，要能正確分析和把握實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，從而得到函數(shù)關(guān)系，再求最值．
教學(xué)重點(diǎn) 應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題.
教學(xué)難點(diǎn) 應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，要能正確分析和把握實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，從而得到函數(shù)關(guān)系，再求最值.
教學(xué)準(zhǔn)備 課件
教學(xué)過(guò)程 主要師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
一、情境導(dǎo)入 二、探究新知 當(dāng)堂練習(xí)，鞏固所學(xué) 一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知 思考1 二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的最值由什么決定？ 二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符號(hào)、對(duì)稱軸的位置及自變量的取值范圍決定. 師生活動(dòng)：學(xué)生自主解答問(wèn)題，教師做好提示、點(diǎn)評(píng)． 二、小組合作，探究概念和性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)1：利用二次函數(shù)解決商品利潤(rùn)最大問(wèn)題 類比幾何問(wèn)題求最值，想一想如何求利潤(rùn)問(wèn)題的最大值？ 師提問(wèn)：與利潤(rùn)有關(guān)的有哪些等量關(guān)系？ 預(yù)設(shè)： 典例精析 例1 某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件 60 元，每星期可賣出 300 件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每件每漲價(jià) 1 元，每星期少賣出 10 件；每降價(jià) 1 元，每星期可多賣出 20 件.已知商品的進(jìn)價(jià)為每件 40 元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？ 漲價(jià)銷售 ①設(shè)每件漲價(jià) x 元，每星期售出商品的利潤(rùn) y 元，填空： 所得利潤(rùn) y = (20 + x)(300 - 10x) = -10x2 + 100x + 6000. ②自變量 x 的取值范圍如何確定？ 營(yíng)銷規(guī)律是價(jià)格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，故自變量的取值范圍是 0≤x≤30. ③每件漲價(jià)多少元時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ y = -10x2 + 100x + 6000 = -10(x - 5)2 + 6250 (0≤x≤30). 當(dāng) x = 5，即每件漲價(jià) 5 元 (銷售單價(jià)為 65 元) 時(shí)，有 y最大值 = 6250. ∴當(dāng)銷售單價(jià)為 65 元時(shí)，該店在一個(gè)月內(nèi)能獲得最大利潤(rùn) 6250 元. 降價(jià)銷售 ① 設(shè)未知數(shù)，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)量 學(xué)生根據(jù)表格表示關(guān)系，然后列出函數(shù)表達(dá)式，小組討論結(jié)果，然后展示. 解：設(shè)每件降價(jià) x 元，每星期售出商品的利潤(rùn) y 元，則單件利潤(rùn)為 20 x 元，每星期可賣出 300 + 20x 元. 所得利潤(rùn) y = (20 x)(300 + 20x) = 20x2 + 100x + 6000. ② 根據(jù)題意，求出自變量的取值范圍 ∵ 20 x≥0，且 x≥0，∴ 0≤x≤20. y = 20x2 + 100x + 6000 或求出頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(對(duì)稱軸) y = 20x2 + 100x + 6000 對(duì)稱軸為 ④ 結(jié)合自變量的取值范圍，求最大值 即每件降價(jià) 2.5 元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是 6125 元. 綜上可知，定價(jià)為 65 元時(shí)，才有最大利潤(rùn)是 6250 元. 鏈接中考 1. (泰興市期末) 一水果店售賣一種水果，以 8 元/千克的價(jià)格進(jìn)貨，經(jīng)過(guò)往年銷售經(jīng)驗(yàn)可知：以 12 元/千克售賣，每天可賣 60 千克：若每千克漲價(jià) 0.5 元，每天要少賣 2 千克；若每千克降價(jià) 0.5 元，每天要多賣 2 千克，但不低于成本價(jià). 設(shè)該商品的價(jià)格為 x 元/千克時(shí)，一天銷售總質(zhì)量為 y 千克. (1) 求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式. (2) 若水果店貨源充足，每天以固定價(jià)格 x 元/千克銷售 ( x > 8 )，試求出水果店每天利潤(rùn) W 與單價(jià) x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng) x 為何值時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大. 師生活動(dòng)： 要求學(xué)生先獨(dú)立解決，然后同伴交流，相互訂正，代表展示成果． 教師及時(shí)指導(dǎo)． 歸納總結(jié) 求解最大利潤(rùn)問(wèn)題的一般步驟 (1) 建立利潤(rùn)與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式：
運(yùn)用“總利潤(rùn) = 單件利潤(rùn)×總銷量” 或“總利潤(rùn) = 總售價(jià) - 總成本”； (2) 結(jié)合實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍； (3) 在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大利潤(rùn)： 可以利用配方法或公式求出最大利潤(rùn)； 也可以畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，利用簡(jiǎn)圖和性質(zhì)求出. 典例精析 例2 某駐村扶貧小組實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧，幫助貧困農(nóng)戶進(jìn)行西瓜種植和銷售. 已知西瓜的成本為 6 元/千克，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本，又不高于成本的兩倍. 經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某天西瓜的銷售量 y (千克)與銷售單價(jià) x (元/千克) 的函數(shù)關(guān)系如圖所示： (1) 求 y 與 x 的函數(shù)解析式； (2) 求這一天銷售西瓜獲得的利潤(rùn) W 的最大值. 分析：根據(jù)函數(shù)圖象得到直線上的兩點(diǎn)，再結(jié)合待定系數(shù)法即可求得 y 與 x 的函數(shù)解析式； 師生活動(dòng)： 1.兩名學(xué)生板演，其余學(xué)生在練習(xí)本上做題。 2小組內(nèi)批閱。 3.對(duì)板演的內(nèi)容進(jìn)行評(píng)價(jià)糾錯(cuò)。 分析：根據(jù) 總利潤(rùn) = 每千克利潤(rùn) ×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式配方后根據(jù) x 的取值范圍可得 W 的最大值. 當(dāng) 10＜x≤12，W = (x - 6)·200 = 200x - 1200. ∵ k = 200＞0，∴ W 隨 x 的增大而增大. ∴ x = 12 時(shí)， W 有最大值. W最大值 = 200×12 - 1200 =1200. 綜上所述，當(dāng)銷售價(jià)格為 8.5 元時(shí)，取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為 1250 元. 三、當(dāng)堂練習(xí)，鞏固所學(xué) 1.某種商品每件的進(jìn)價(jià)為 20 元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件 x 元 (20≤x≤30) 出售，可賣出 (600－20x) 件，為使利潤(rùn)最大，則每件售價(jià)應(yīng)定為 元. 2. 一工藝師生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為 9 個(gè)檔次. 第 1 檔次 (最低檔次) 的產(chǎn)品一天能生產(chǎn) 80 件，每件可獲利潤(rùn) 12 元. 產(chǎn)品每提高一個(gè)檔次，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)增加 2 元，但一天產(chǎn)量減少 4 件. 如果只從生產(chǎn)利潤(rùn)這一角度考慮，他生產(chǎn)哪個(gè)檔次的產(chǎn)品，可獲得最大利潤(rùn)？ 3. 某種商品每天的銷售利潤(rùn) y (元)與銷售單價(jià) x (元)之間滿足關(guān)系：y = ax2 + bx - 75. 其圖象如圖. (1) 銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該種商品每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？ (2) 銷售單價(jià)在什么范圍時(shí)，該種商品每天的銷售利潤(rùn)不低于 16 元？ 設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)二次函數(shù)最值的求法，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)類比幾何問(wèn)題求最值的方法得到求利潤(rùn)問(wèn)題的最大值的關(guān)鍵同樣是求函數(shù)的最大值，同時(shí)復(fù)習(xí)利潤(rùn)相關(guān)的等量關(guān)系，為后文做鋪墊. 設(shè)計(jì)意圖： 通過(guò)這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生感受到二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型， 并感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值在這里幫助學(xué)生分析和表示實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系，幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)有效的思考和解決問(wèn)題的方法，學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)分析，是教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容. 設(shè)計(jì)意圖： 類比上述漲價(jià)銷售的方法，讓學(xué)生通過(guò)列表的方式表示利潤(rùn)與單價(jià)的函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。使學(xué)生感受到“何時(shí)獲得最大利潤(rùn)”就是在自變量的取值范圍內(nèi)，此二次函數(shù)何時(shí)取得最大值問(wèn)題。 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)中考題的探究加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于二次函數(shù)利潤(rùn)問(wèn)題的解題方法的運(yùn)用，同時(shí)規(guī)范解題步驟. 設(shè)計(jì)意圖： 能根據(jù)分段圖象構(gòu)建函數(shù)模型，結(jié)合利潤(rùn)關(guān)系式，列出二次函數(shù)式，體會(huì)不同范圍下的二次函數(shù)的最值情況. 設(shè)計(jì)意圖：針對(duì)本課時(shí)的主要問(wèn)題，從多個(gè)角度、分層次進(jìn)行檢測(cè)，達(dá)到學(xué)有所成、了解課堂學(xué)習(xí)效果的目的.
板書設(shè)計(jì) 第 2 課時(shí) 商品利潤(rùn)最大問(wèn)題 1．利用二次函數(shù)求實(shí)際問(wèn)題中的最大利潤(rùn) 2．綜合運(yùn)用一次函數(shù)和二次函數(shù)求最大利潤(rùn) 3.利用表格信息求最大利潤(rùn)
課后小結(jié) 教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，梳理并完善知識(shí)思維導(dǎo)圖。
教學(xué)反思 本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)后，應(yīng)用二次函數(shù)的最大值解決銷售問(wèn)題的最大利潤(rùn)問(wèn)題．本節(jié)課的設(shè)計(jì)力求通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，有計(jì)劃、有步驟地安排好思維序列，使學(xué)生的思維活動(dòng)在“探索——發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程中充分展開(kāi)，力求使學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用邏輯思維和非邏輯思維再創(chuàng)造的過(guò)程，整個(gè)教學(xué)過(guò)程突出知識(shí)的形成與發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生既獲得了知識(shí)又發(fā)展了智力，同時(shí)提升了能力.

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