資源簡介

九年級上冊教案
22.3 實際問題與二次函數
第 3 課時 拋物線形實物及運動軌跡問題
教學內容 第 3 課時 拋物線形實物及運動軌跡問題 課時 1
核心素養目標 1.能根據具體的問題情境建立數學模型，應用二次函數的知識求解，并根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性； 2.學會從多個角度思考問題，逐步提高解決問題的能力； 3.經歷將實際問題抽象為數學問題的過程，會用轉化和數形結合的思想解決實際問題.
知識目標 1．掌握二次函數模型的建立，會把實際問題轉化為二次函數問題． 2．利用二次函數解決拱橋及運動中的有關問題． 3．能運用二次函數的圖象與性質進行決策．
教學重點 掌握二次函數模型的建立，會把實際問題轉化為二次函數問題
教學難點 利用二次函數解決拱橋及運動中的有關問題
教學準備 課件
教學過程 主要師生活動 設計意圖
一、情境導入 二、探究新知 當堂練習，鞏固所學 一、創設情境，導入新知 生活中我們可以看到很多拋物線形的物體或運動軌跡，比如拱橋、噴泉等． 生活中還有哪些拋物線型軌跡呢？ 怎樣將軌跡表示出來解決相關問題呢？ 師生活動：讓學生自主回答. （學生積極踴躍發言，問答提出的問題.） 二、小組合作，探究概念和性質 知識點1： 利用二次函數解決拋物線形實物問題 引例 如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面 2 m 時，水面寬 4 m. 水面下降 1 m，水面寬度增加多少？ 實際問題：水面下降 1 m，水面寬度增加多少 幾何問題：如圖，求 AB- 4. 思考：如何把拱橋的縱截面轉化為二次函數圖象呢？ 1. 確定原點 2. 確定單位長度 師追問；如何確定原點？ 想一想 根據給出的坐標系的位置，說出這個二次函數的解析式類型. (1) y = a(x h)2 + k或 y = ax2 + bx (2) y = ax2 + k 師生活動：將班級分成三組，每組計算一種情況，然后派代表在黑板上演示， 教師巡視，對學生演算過程中的失誤及時予以指正，最后師生共同評析. 師提問：誰最合適？為什么？ 問題1 建立如圖直角坐標系， 如何確定 a 的值？ 因此， ，其中｜x｜是水面寬度的一半，y 是拱頂離水面高度的相反數，這樣我們就可以了解到水面寬度變化時，拱頂離水面高度怎樣變化． 問題 2 水面下降 1 m，水面寬度增加多少？ 這條拋物線表示的二次函數為 y = 當水面下降 1 m 時，水面的縱坐標為 -3. 令 解得 即水面下降 1 m 時，水面寬度增加了 歸納總結 建立二次函數模型解決實際問題的基本步驟是什么？ 練一練 1. 有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為 20 m，拱頂距離水面 4 m．建立如圖所示的直角坐標系，求出這條拋物線表示的函數的解析式. 師生活動：讓學生嘗試解答，并互相交流、總結，歸納解題步驟，教師結合學生的具體活動，加以指導. 解：建立如圖直角坐標系， 設該拱橋形成的拋物線的解析式為 y = ax2. ∵ 該拋物線過點 (10， 4)， ∴ 4 = 100a，故 a = 0.04. ∴ y = 0.04x2. 典例精析 例1 如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形 OABC 的長是 12 m，寬是 4 m，按照圖中所示的平面直角坐標系，拋物線可以用 y＝ x2 + 2x + c 表示． (1)請寫出該拋物線的函數解析式； (2) 一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為 6 m，寬為 4 m，如果隧道內設雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？ (3)在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等．如果燈離地面的高度不超過 8 m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？ 知識點2： 利用二次函數解決拋物線形運動軌跡問題 例2 如圖，一名運動員在距離籃球框中心 4 m (水平距離) 遠處跳起投籃，籃球準確落入籃框，已知籃球運行的路線為拋物線，當籃球運行的水平距離為 2.5 m 時，籃球達到最大高度，且最大高度為 3.5 m．如果籃框中心距離地面 3.05 m，那么籃球在該運動員出手時的高度是多少？ 師生活動：教學時，給幾分鐘時間先讓學生嘗試著解決問題，在學生出現思維盲區時，教師給予詳細分析，邊講邊演示，在思維的激烈碰撞過程中，逐漸形成對二次函數解決實際問題的認識. 分析：建立合適的直角坐標系， 利用二次函數的圖象和性質求解. 解：建立平面直角坐標系如圖. 則點 A 的坐標是 (1.5，3.05)， 籃球在最大高度時的位置為 B (0，3.5). 以點 C 表示運動員投籃球的出手處. 例3 某公園要建造圓形噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子 OA，O 恰在水面中心，OA = 1.25 m，由柱子頂端 A 處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設計成水流在離 OA 距離為 1 m 處達到距水面最大高度 2.25 m.如果不計其它因素，那么水池的半徑至少要多少才能使噴出的水流不致落到池外？ 師生活動： 1.兩名學生板演，其余學生在練習本上做題。 2小組內批閱。 3.對板演的內容進行評價糾錯。 解：建立如圖所示的坐標系， 根據題意，得 A 點坐標的為 (0，1.25)， 頂點 B 的坐標為 (1，2.25). 設右邊拋物線的解析式為 y = a (x - 1)2 + 2.25，代入點 A 的坐標，可得 a = - 1，故 y = - (x - 1)2 + 2.25. 當 y = 0 時，可求得點 C 的坐標為 (2.5，0)； 同理，可求得點 D 的坐標為 (-2.5，0). 根據對稱性，如果不計其它因素，那么水池的半徑至少要 2.5 m， 才能使噴出的水流不致落到池外. 三、當堂練習，鞏固所學 1. 足球被從地面上踢起，它距地面的高度 h (m) 可用公式 h = -4.9t2 + 19.6t 來表示，其中 t (s) 表示足球被踢出后經過的時間，則球在 s 后落地. 2. 如圖，小李推鉛球，如果鉛球運行時離地面的高度 y (米)關于水平距離 x (米)的函數解析式為 ，那么鉛球運動過程中最高點離地面的距離為 米. 懸索橋兩端主塔塔頂之間的主懸鋼索，其形狀可近似地看作拋物線，水平橋面與主懸鋼索之間用垂直鋼索連接. 已知兩端主塔之間的水平距離為 900 m，兩主塔塔頂距橋面的高度為 81.5 m，主懸鋼索最低點離橋面的高度為 0.5 m. (1) 若以橋面所在直線為 x 軸，拋物線的對稱軸為 y 軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，求這條拋物線對應的函數解析式； (2) 計算距離橋兩端主塔分別為 100 m，50 m 處垂直鋼索的長. 設計意圖：通過日常生活中的實際問題，激發學生思考，培養學生的探究意識和解決實際問題的能力. 設計意圖：本例中關鍵是構建數學模型，理解如何建立直角坐標系，比較建系方法，從而發揮同學的自主創新力量。 設計意圖： 根據上述方法建立二次函數模型解決實際問題 設計意圖：用轉化的思想引導同學分析怎樣去解決問題。將此問題轉化為，已知貨車載裝箱后的寬度看貨車載裝箱后的高度，或者已知貨車載裝箱后的高度看寬度能否平安通過，也就是轉化為 拋物線圖象已知x坐標看y,和已知y看x。比較兩種轉化思想，選擇較為簡潔些的觀看方法。另此題鼓舞同學用多種建模的思想去解決，然后讓同學上臺去呈現自己的成果。從中總結出“先想后算， 多想少算，反思巧算”. 設計意圖：根據具體的問題情境建立數學模型，建立合適的直角坐標系，應用二次函數的知識求解，并根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性；學會從多個角度思考問題，逐步提高解決問題的能力；會用轉化和數形結合的思想解決實際問題. 設計意圖：考查學生建立數學模型的能力，同時會運用二次函數求解最大值. 設計意圖：針對本課時的主要問題，從多個角度、分層次進行檢測，達到學有所成、了解課堂學習效果的目的.
板書設計 第 3 課時 拋物線形實物及運動軌跡問題 建立二次函數模型解決實際問題的基本步驟是什么？
課后小結 教師與學生一起回顧本節課所學的主要內容，梳理并完善知識思維導圖。
教學反思 由于本節課的內容是二次函數的應用問題，重在通過學習總結解決問題的方法，故而本節課以“啟發探究式”為主線開展教學活動，以學生動手動腦探究為主，必要時加以小組合作討論，充分調動學生學習積極性和主動性，突出學生的主體地位，達到“不但使學生學會，而且使學生會學”的目的.

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