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必修一第二章一元二次函數、方程和不等式
單元測試卷（常考題）
一、選擇題(共8題；共40分)
1．若，則下列不等式中，正確的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知 ，下列關系正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知 且 ，則“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
4．設實數滿足，則函數的最大值是（　　）
A． B． C． D．
5．若，且，則下列不等式恒成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．“”是“”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．已知函數，則不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
8．關于 的不等式 的解集為 ，則關于 的不等式 的解集為（　　）
A． B．
C． D．
二、多項選擇題(共3題；共18分)
9．對于實數 、 、 ，下列命題中正確的是（　　）
A．若 ，則 ；
B．若 ，則
C．若 ，則
D．若 ， ，則 ，
10．已知，，，當且僅當時，則下列結論正確的是（　　）
A．取得最大值為 B．取得最小值為
C．取得最大值為 D．取得最小值為
11．已知關于的不等式解集為，則（　　）
A．
B．不等式的解集為
C．
D．不等式的解集為
三、填空題(共3題；共15分)
12．設實數滿足，函數的最小值為　 　.
13．比較大小： 　 　 （用“>”或“<”符號填空）．
14．關于 的一元二次方程 的兩個實數根 、 滿足 ，則實數 的取值范圍是　 　.
四、解答題(共5題；共77分)
15．已知．
（1）當，時，求的最小值；
（2）當，時，求的最小值．
16．已知p：實數x滿足，．
（1）若，求實數x的取值范圍；
（2）已知q：實數x滿足．若存在實數a，使得p是q的必要條件，求實數a的取值范圍．
17．已知集合．集合，設集合．
（1）求I；
（2）當時，求函數的最小值．
18．已知函數 .
（1）若不等式 的解集為 ，求實數 的取值范圍；
（2）若不等式 在區間 內恒成立，求實數 的取值范圍.
19．設 ，且 .
（1）求證： ；
（2）若 ，求證： .
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】由，得，即，A不符合題意；
則，則，即，B不符合題意；
則，，所以，C符合題意；
則，所以，D不符合題意；
故答案為：C
【分析】由，可得，結合不等式的性質，判斷選項即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】根據題意，
D符合題意，ABC不符合題意.
故答案為：D.
【分析】要比較M和N的大小，只需作差，然后變形，判斷符號即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】因為 ，由 可得 即
所以由 可得 ，充分性成立，
若 ， ，可得 ，即 ，所以必要性成立，
所以 且 ，則“ ”是“ ”的充要條件，
故答案為：C.
【分析】利用已知條件，可以證明充分性和必要性都成立。
4．【答案】D
【解析】【解答】因為，所以，
所以
當且僅當時，等號成立，
故答案為：D.
【分析】，利用基本不等式可求出答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】由于，可知a與b同號，顯然當，時，A，B中的不等式不成立，所以A，B不符合題意；
由，得，，所以，C不符合題意；
顯然，，，，D符合題意.
故答案為：D
【分析】由已知結合基本不等式及相關結論分別檢驗各項即可判斷.
6．【答案】D
【解析】【解答】由，得，
所以“”是“”的既不充分也不必要條件.
故答案為：D.
【分析】利用一元二次不等式的解法結合充分條件、必要條件的定義可得答案.
7．【答案】A
【解析】【解答】函數，則不等式等價于或者，
解得：，解得：或，于是得或，
所以不等式的解集是.
故答案為：A
【分析】不等式等價于或者，求解可得不等式的解集.
8．【答案】B
【解析】【解答】由不等式 的解集為 可知方程 的根為
或 ，不等式的解集為 .
故答案為：B
【分析】先根據的解集為（-1，2），計算出a，b的值，然后把值代入所求的不等式中，計算出最后結果。
9．【答案】B,C,D
【解析】【解答】若 ，則由 得 ，A不符合題意；
若 ，則 ， 　 ，B符合題意；
若 ，則 ，∴ ，∴ ，C符合題意；
若 ，且 同號時，則有 ，因此由 得 ，D符合題意．
故答案為：BCD．
【分析】由不等式的性質判斷．
10．【答案】A,C
【解析】【解答】因為，，故，所以，當且僅當時，等號成立，
所以取得最大值為，A符合題意，顯然B不符合題意；
因為，所以，當且僅當時，等號成立，
所以取得最大值為，C符合題意，D不符合題意．
故答案為：AC．
【分析】利用已知條件結合均值不等式求最值的方法，進而得出結論正確的選項。
11．【答案】C,D
【解析】【解答】由已知可得，并且是方程的兩根，
則由韋達定理可得：，解得，，所以A不符合題意；
B：不等式化簡為，解得，所以不等式的解集為，所以B不符合題意；
C：，所以C符合題意，
D：化簡為，解得，所以不等式的解集為，所以D符合題意，
故答案為：CD.
【分析】利用一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關系及韋達定理，結合一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可求解.
12．【答案】
【解析】【解答】由題意，
所以，
故，
當且僅當，即時等號成立，
所以函數的最小值為.
故答案為：.
【分析】利用拼湊法結合基本不等式即可求解.
13．【答案】＞
【解析】【解答】解： ，
故 ，
故 ，
故答案為：＞
【分析】平方作差可得，進而可得其平方的大小，可得原式的大小。
14．【答案】 或 .
【解析】【解答】由題意知： ，
當 時，要使得關于 的一元二次方程 的兩個實數根 、 滿足 ，只需要 ，
解得： ，所以 ，
當 時，要使得關于 的一元二次方程 的兩個實數根 、 滿足 ，只需要 ，
解得： ，所以 ，
綜上所述： 或 .
故答案為： 或 .
【分析】根據一元二次方程和二次函數關系分別討論k正負得到滿足已知的條件從而求得k 的取值范圍 。
15．【答案】（1）解：因為，，，則，
所以，
當且僅當且，即時，等號成立，
所以，故的最小值為.
（2）解：因為，，，則，，
所以，
當且僅當且，即時，等號成立，
所以，故的最小值為.
【解析】【分析】（1）根據已知條件，結合基本不等式即可求出 的最小值；
（2）根據已知條件，結合基本不等式即可求出 的最小值．
16．【答案】（1）解：當時，原不等式可化為：，
解得：.
所以實數x的取值范圍為.
（2）解：記集合，集合.
要使p是q的必要條件，只需，
所以，解得：.
即實數a的取值范圍為.
【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解可得實數x的取值范圍；
（2）記集合，集合，利用集合法列不等式組，求解可得實數a的取值范圍．
17．【答案】（1）解：∵，，
∴或，
（2）解：當時，，
∴，
當且僅當，即取等號，
所以函數的最小值為7.
【解析】【分析】（1）化簡集合，然后利用補集的定義及交集的定義運算即得；
（2）利用基本不等式即得.
18．【答案】（1）解：∵不等式 的解集為 ，
∴∴
（2）解：∵不等式 在 恒成立
∴∴∴
【解析】【分析】（1）根據一元二次不等式的解法求解。
（2）由題列出關于端點的不等式方程組即可求解。
19．【答案】（1）證明：由
，
（當且僅當時 取等號）
故有
（2）解：
由 ，有
故當 時，
【解析】【分析】（1）利用基本不等式和不等式的可加性，以及完全平方式，即可得證.（2）利用完全平方式和不等式的可加性，以及基本不等式，即可證出.
試題分析部分
1、試卷總體分布分析
總分：150分
分值分布 客觀題（占比） 63.0(42.0%)
主觀題（占比） 87.0(58.0%)
題量分布 客觀題（占比） 12(63.2%)
主觀題（占比） 7(36.8%)
2、試卷題量分布分析
大題題型 題目量（占比） 分值（占比）
選擇題 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空題 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答題 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多項選擇題 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、試卷難度結構分析
序號 難易度 占比
1 普通 (47.4%)
2 容易 (36.8%)
3 困難 (15.8%)
4、試卷知識點分析
序號 知識點（認知水平） 分值（占比） 對應題號
1 二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系 6.0(4.0%) 11
2 一元二次不等式及其解法 47.0(31.3%) 6,7,8,16,18
3 交、并、補集的混合運算 15.0(10.0%) 17
4 充要條件 5.0(3.3%) 3
5 利用不等式的性質比較數（式）的大小 15.0(10.0%) 1,2,13
6 集合關系中的參數取值問題 15.0(10.0%) 16
7 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 5.0(3.3%) 6
8 二次函數與一元二次不等式的對應關系 5.0(3.3%) 14
9 基本不等式 60.0(40.0%) 4,5,12,15,17,19
10 不等關系與不等式 33.0(22.0%) 3,7,9,19
11 基本不等式在最值問題中的應用 6.0(4.0%) 10
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