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湖南省懷化市2025-2026學年高三上學期開學考試數學試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
3．設集合，，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．或0
4．已知函數在處可導，且，則（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知由一組樣本數據確定的經驗回歸方程為，且，發現有兩組數據與誤差較大，去掉這兩組數據后，重新求得經驗回歸直線的斜率為1.4，那么當時，的值為（ ）
A．9.6 B．10 C．10.6 D．9.4
6．已知向量，滿足，，且，則，的夾角為（ ）
A． B． C． D．
7．若函數在上單調遞增，則當取得最大值時，（ ）
A． B． C． D．
8．已知斜率為的直線過雙曲線的左焦點，且與的左，右兩支分別交于，兩點，設為坐標原點，為AB的中點，若是以FP為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知向量，則（ ）
A． B．
C． D．與向量同向的單位向量是
10．某市高一年級舉行了一次數學競賽，從所有參加競賽的名學生中隨機抽取了一部分學生，經統計這部分學生的成績全部介于至之間，將成績數據按照分組，作出頻率分布直方圖如圖所示，則（ ）
A．
B．估計全市高一年級數學競賽成績不低于分的有人
C．估計全市高一年級數學競賽成績的平均分是
D．估計全市高一年級數學競賽成績的中位數約為
11．如圖，兩個邊長均為1的正方形與正方形所在的平面互相垂直.點，分別是對角線，上的動點，且，的長度相等，記，點是線段上的一點.下列結論正確的是（ ）

A．
B．的最小值是
C．三棱錐與三棱錐的體積相等
D．若點，，，，，在同一個球的球面上，則該球的體積是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．某校高三年級有男生660人，女生440人，現按性別用分層隨機抽樣的方法從高三年級所有學生中抽取5人組成某活動志愿者小隊，再從被抽取的這5人中抽取2人作為志愿者小隊隊長，則恰有1名男隊長的概率為 .
13．已知圓臺的上下底面半徑分別為2，3，側面積為，則該圓臺的體積為 .
14．已知三棱錐中，，則異面直線和所成角余弦值的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．一個箱子里有6個大小顏色相同的小球，編號為，從中有放回地抽取2次（每次取1個球）.設事件：“第一次取出的球的號碼大于3”，事件：“兩次取出的球的號碼之和為偶數”.
（1）求事件的概率；
（2）判斷事件與事件是否相互獨立，并說明理由.
16．在棱長均為2的正三棱柱中，為棱的中點，F為棱的動點，連接、、.
（1）證明：；
（2）線段上是否存在點，使得二面角的正切值為，若存在，請求出的長度；若不存在，請說明理由；
（3）平面與棱交于點，設四邊形的面積為，面積為，面積為，求的取值范圍.
17．設函數在區間上的圖象是連續不斷的，如果對上任意，恒有，那么稱在上是凹函數；如果恒有，那么稱在上是凸函數.若是凹函數的一條切線，則總有成立，而凸函數則相反.已知.
（1）已知，求過點A且與曲線相切的直線方程；
（2）判斷在上是凹函數還是凸函數，并加以證明；
（3）證明：.
18．已知兩點的坐標分別是，，直線相交于點，且它們的斜率之積是，記點的軌跡為曲線.兩個不同點在上運動，滿足直線與直線的斜率之比是.
（1）求曲線的方程；
（2）直線是否過定點？如果是，求出定點坐標；如果不是，請說明理由；
（3）證明：三角形是鈍角三角形.
19．已知函數.
（1）討論的單調性；
（2）當時，設正項數列滿足：.
（i）證明：；
（ii）記數列的前項和為，證明：.
參考答案
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】AD
10．【答案】ABC
11．【答案】BCD
12．【答案】/0.6
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）
（2）事件與事件相互獨立.
16．【答案】（1）見詳解
（2）存在，且
（3）
【詳解】（1）連接、，由題意可得四邊形、四邊形都是邊長為的正方形，
則，又為棱的中點，則，
又，故；
（2）取中點，連接，，過點作于點，連接、，
由為正三角形，則，又底面，
平面，故，
又，、平面，
故平面，又、平面，故、，
又，，、平面，
故平面，又平面，故，
故即為二面角的平面角，則，
又正三棱柱的棱長均為2，則，則，故，
由，故，
則，
即有，
則，故存在，且.
（3）設直線與的延長線分別交于點，則平面，
又平面，則有平面平面，，
即A，G，M三點共線，由為棱的中點，則，，
設，，
則，，設的面積為，則，
又，于是，，
令，，函數在上單調遞減，
則，，即，
所以.
【知識點】利用導數解決新定義問題
17．【答案】（1）
（2）凹函數，見詳解
（3）見詳解
【詳解】（1），令切點，
則過點的切線方程，
因為切線過點，則，解得，
所以切線方程為.
（2）是凹函數.證明如下：
令，則
不妨令，則，
記，
則
因為，所以，則，所以在單調遞減，
則，
所以，
從而，所以是凹函數.
（3）證明：由題意，因為是凹函數，且是它的切線，則，
記，則，
即.所以.
【知識點】定點定值定直線問題、直線與雙曲線的位置關系
18．【答案】（1）（或）
（2）是，定點
（3）見詳解
【詳解】（1）設，由題意得且，
，整理得
因此曲線的方程為：（或）
（2）由題意得，又，
設，
若直線的斜率不存在，則
解得，此時直線過，
若直線的斜率存在，設，
與雙曲線聯立得，
依題意且
由韋達定理得，.
整理得，
此時恒成立，過
綜上所述，直線過定點.
（3）由（2）知，
①當時，，均在的右支，
如圖2，此時
故為鈍角.
②當時，，在的兩支，
如圖1，不妨設在的右支
記，此時
故為銳角，因此為鈍角
綜上所述，三角形為鈍角三角形
圖1 圖2
【知識點】利用導數研究函數的單調性與單調區間、數列與不等式的綜合、數列求和方法之錯位相減法、數列的遞推公式、數列通項求法之累加法
19．【答案】（1）見詳解
（2）（i）見詳解；（ii）見詳解
【詳解】（1）由知，，
當時，恒成立，在上單調遞增；
當時，由得；由得，
所以在上單調遞增，上單調遞減，
綜上，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，上單調遞減.
（2）（i）當時，，由得，
由（1）知，在上單調遞增，上單調遞減.所以，
即，又，，
，，，
下面證明：，即，，
只需證明，
設，
則，
所以在上單調遞增，所以，
又，所以，
即，所以.
綜上，；
（ii）由（i）知，
當，又，
當時，，
又，
即.
所以，設，則，
，
即，
，
故.（當時，不等式右邊等號成立）
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