資源簡介

第04講 三角函數的圖像和性質（一）
目錄：
01考情分析（五年真題（2025年--2021年）考點分布） ………………………1
02 題型突圍 精準提分 ……………………………………………………………2
題型一、函數的定義域和值域 …………………………………………………2
命題點1 求函數的定義域 …………………………………………………………2
命題點2 求函數的值域 ……………………………………………………………3
命題點3 已知函數的值域求參數 …………………………………………………4
題型二、函數的周期性 …………………………………………………………5
命題點1 求函數的周期 ……………………………………………………………5
命題點2 已知函數的周期求參數 …………………………………………………6
題型三、函數的單調性（重） …………………………………………………7
命題點1 求函數的單調區間 ………………………………………………………7
命題點2 根據單調性求參數 （重）………………………………………………8
題型四、函數的奇偶性（重） …………………………………………………9
題型五、函數的對稱性（重）……………………………………………………10
命題點1 求函數的對稱中心或對稱軸………………………………………………10
命題點2 由對稱性求參數（范圍）（重）……………………………………………11
命題點3 利用對稱性求零點的和 …………………………………………………12
題型六、函數性質的綜合應用（難）……………………………………………12
題型七、正弦型、余弦型函數的零點、極值點問題（難）……………………13
03 限時作業 查漏補缺 …………………………………………………………15
04 真題呈現 把握考情 …………………………………………………………17
考題示例 考點分析 考情分析
2025年全國Ⅱ卷 求含cosx的函數的單調性、利用余弦函數的單調性求參數、求cosx(型)函數的值域（解答題） 這一節的內容在高考中屬于高頻考點，主要以選擇和填空題的形式出現. 考查內容主要體現在以下方面： ⑴正弦型、余弦型和正切型函數的單調性、奇偶性、對稱性、值域. ⑵已知正弦型、余弦型和正切型函數的單調性、奇偶性、對稱性、值域求參數或參數的范圍. ⑶函數性質的綜合應用. ⑷正弦型、余弦型函數的零點和極值點問題.
2025年全國Ⅰ卷· 求正切（型）函數的對稱中心、正切函數對稱性的應用
2025年北京卷 正弦函數圖象的應用、由正弦（型）函數的周期性求值、輔助角公式
2025年上海卷 求cosx(型)函數的值域
2025年天津卷 利用正弦型函數的單調性求參數、利用正弦函數的對稱性求參數、由正（余）弦函數的性質確定圖象（解析式）
2024年北京卷· 利用函數的周期求參數
2024年全國Ⅱ卷 函數的周期性、對稱性、最值和零點（多選題）
2024年上海卷 二倍角的正弦公式、余弦公式
2024年天津卷 由函數的周期求參數、正弦型函數的值域
2023年全國Ⅰ卷 由余弦型函數的零點個數求參數的范圍
2023年全國乙卷（理） 函數性質的綜合應用
2023年全國甲卷（理） 由函數的奇偶性求參數
2023年天津卷 由函數的對稱性和周期性求解析式
2022年全國Ⅰ卷 函數性質的綜合應用
2022年全國甲卷（理） 由正弦型函數的極值點和零點個數求參數
2022年北京卷 正弦型函數的單調性
2021年全國Ⅰ卷· 求正弦型函數的單調區間
2021年北京卷 函數的奇偶性和最值
題型一、函數的定義域和值域
命題點1 求函數的定義域
例1．（24-25高一下·云南楚雄·階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【相似題1】（24-25高一上·浙江寧波·期末）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【相似題2】（24-25高三上·四川綿陽·階段練習）的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
命題點2 求函數的值域
指點迷津
三角函數值域的不同求法：
⑴求，的值域，可先由定義域求得的范圍，然后求得或的范圍，最后求得最值（或值域）.
⑵形如或或的函數求值域，一般是把、或看做一個整體，轉換成二次函數求值域.
⑶含有和的函數求值域，一般利用和的關系轉換成二次函數求值域.
例2．（24-25高一下·全國·周測）求下列函數的值域：
(1)；
(2)．
例3.（24-25高一下·上海長寧·期中）函數，的值域是 ．
【相似題1】（2024·河南新鄉·模擬預測）函數的最大值為（ ）
A． B． C． D．0
【相似題2】（24-25高一上·安徽淮南·期末）函數的最大值為（ ）
A． B．1 C．3 D．4
【相似題3】（24-25高一上·吉林長春·期末）已知函數，則在的值域為（ ）
A． B． C． D．
【相似題4】（2025·河北·模擬預測）函數在上的值域為（ ）
A． B． C． D．
【相似題5】（2025·湖北黃岡·模擬預測）已知函數的最小正周期為，則在上的最大值為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【相似題6】（2025·甘肅甘南·模擬預測）函數的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
命題點3 已知函數的值域求參數
例4．（2024·青海·二模）已知函數的定義域為（），值域為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【相似題1】（24-25高一下·山東煙臺·期中）若函數在上的最小值為，則t的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【相似題2】（24-25高一下·湖北·階段練習）若函數在上的值域是，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【相似題3】（24-25高一下·廣東中山·階段練習）已知函數在上的值域為，則的取值范圍是 ．
【相似題4】（2025高三·全國·專題練習）已知函數．若在區間上的值域為，則的取值范圍為 ．
【相似題5】（2025·福建寧德·三模）若函數在區間上的最小值為，最大值為，則（ ）
A． B．
C． D．
題型二、函數的周期性
指點迷津
、的周期；
的周期；
、的周期；
的周期；
命題點1 求函數的周期
例1．（2025高三·全國·專題練習）下列函數中，最小正周期為的函數是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2025·甘肅酒泉·模擬預測）函數的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【相似題1】（2025·北京大興·三模）已知函數，則函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【相似題2】（2025·廣東惠州·三模）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【相似題3】（24-25高三·貴州黔東南·開學考試）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C．2 D．1
【相似題4】（24-25高一下·湖北十堰·期末）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【相似題5】（2024·四川成都·模擬預測）函數的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【相似題6】（2025·甘肅白銀·三模）函數的最小值和最小正周期分別為（ ）
A． B． C． D．
命題點2 已知函數的周期求參數
例3.（2025·重慶·模擬預測）若函數的最小正周期為，則（ ）
A． B．3 C． D．
【相似題1】（24-25高一下·河南·期末）“”是“的最小正周期為”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【相似題2】（25-26高一上·全國·課后作業）若函數的最小正周期為，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【相似題3】（2025高三·全國·專題練習）函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
題型三、函數的單調性
命題點1 求函數的單調區間
指點迷津
的單調增區間為，單調減區間為；
的單調增區間為，單調減區間為；的單調增區間為，無減區間；
2、的單調性，需將函數看成由一次函數和正弦函數組成的復合函數，利用復合函數單調區間的單調方法轉化為解一元一次不等式．如函數的單調區間的確定基本思想是把看做是一個整體，如由解出的范圍，所得區間即為增區間；由解出的范圍，所得區間即為減區間．
若，可利用誘導公式將的系數轉化為正數.
對于函數的單調性的討論與以上類似處理即可．
例1．（24-25高一下·江蘇蘇州·期中）函數在上的單調遞減區間是（ ）
A． B．
C． D．和
例2．（24-25高一下·河南信陽·期中）函數，的單調遞增區間是（ ）
A． B．
C．和 D．和
【相似題1】（24-25高一下·上海普陀·階段練習）函數，的單調減區間為 .
【相似題2】（24-25高一下·陜西渭南·階段練習）函數的單調增區間為 .
【相似題3】（24-25高三上·天津·階段練習）函數在的單調遞減區間是
【相似題4】（24-25高一下·上海浦東新·期末）函數的單調區間為 ．
【相似題5】（24-25高三上·河北保定·期中）函數的最小正周期是 ，在上的單調遞減區間是 .
命題點2 根據單調性求參數（范圍）
例3．（2025·湖北武漢·模擬預測）若函數在區間上單調，則的取值范圍為 .
【相似題1】（24-25高一下·江蘇蘇州·期末）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【相似題2】（24-25高三下·江蘇泰州·開學考試）已知，函數在區間上單調遞減，則的最大值為 .
【相似題3】（2025·陜西漢中·二模）已知函數，若在區間上單調遞增，則的最大值為 .
【相似題4】（2024·全國·模擬預測）已知函數在區間上不單調，且在區間上單調，則的取值范圍是 ．
題型四、函數的奇偶性
指點迷津
⑴三角函數值奇函數一般可化為或的形式，而偶函數一般可化為的形式.
⑵為奇函數，則；
為偶函數，則；
為奇函數，則；
為偶函數，則；
為奇函數，則，該函數不可能為偶函數.
例1．（24-25高一下·內蒙古呼和浩特·期中）已知函數是奇函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【相似題1】（24-25高一下·上海·期中）“”是“是奇函數”的（ ）條件
A．充要 B．充分非必要
C．必要非充分 D．既非充分又非必要
【相似題2】（2025·全國·二模）函數是上的偶函數，則（ ）
A．0 B． C． D．
【相似題3】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）將函數圖象向右平移個單位得到奇函數，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【相似題4】（24-25高三上·江蘇南京·期中）已知函數，存在常數，使為偶函數，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【相似題5】（2025·四川綿陽·模擬預測）若函數為奇函數，則 ．
題型五、函數的對稱性
命題點1 求函數的對稱中心或對稱軸
指點迷津
1、的對稱軸方程為，對稱中心為；
的對稱軸為，對稱中心為；
的對稱中心為；
2、求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．
求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為.
例1．（25-26高一上·全國·課后作業）函數的圖象的一個對稱中心是（ ）
A． B． C． D．
【相似題1】（24-25高一下·山東濰坊·期中）函數的一個對稱中心為（ ）
A． B． C． D．
【相似題2】（24-25高一下·遼寧葫蘆島·階段練習）已知函數的最小正周期為，則圖象的對稱軸方程為（ ）
A． B．
C． D．
【相似題3】（2024高三·全國·專題練習）函數 的對稱中心是（　?。?br/>A． B．，
C．， D．，
【相似題4】（2025·云南·模擬預測）已知函數，則函數圖象的一條對稱軸方程可以是 ．（寫出一條即可）
命題點2 由對稱性求參數（范圍）
例2．（2025·陜西漢中·一模）已知函數的圖象關于直線對稱，則的值為（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的圖象關于點對稱，那么的最小值為 ．
【相似題1】（24-25高三·山西呂梁·開學考試）已知函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【相似題2】（24-25高三上·河北唐山·階段練習）已知函數的圖象關于點中心對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【相似題3】（25-26高三上·河北衡水·階段練習）若點是函數的圖象的一個對稱中心，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【相似題4】（24-25高一下·北京平谷·期末）將函數圖像向左平移個單位長度，得到的圖像關于點中心對稱，則的一個取值為
命題點3 利用函數對稱性求零點的和
例4．（2025·湖南益陽·三模）函數在內的零點之和為（ ）
A． B． C． D．0
【相似題1】．（24-25高三上·河北邢臺·期中）函數的所有零點的和為（ ）
A． B． C． D．
題型六、函數性質的綜合應用
指點迷津
1、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為；
2、在相鄰的對稱軸之間，函數單調，特殊的，若，函數在上單調，且，設，則深刻體現了三角函數的單調性與周期性、對稱性之間的緊密聯系.
例1．（24-25高三·云南昆明·階段練習）函數，若對恒成立，且在上有3條對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．或
例2．（24-25高一下·四川成都·階段練習）已知在上是增函數，且在上有最小值，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【練習1】．（24-25高一下·北京石景山·期末）下列函數中，最小正周期為的奇函數是（ ）
A． B． C． D．
【練習2】（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函數，且在上是單調函數，其圖象向左平移個單位之后與的圖象關于軸對稱，則可能的取值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【練習3】．（24-25高三·廣東·開學考試）已知函數與，則下列說法錯誤的是（ ）
A．與存在相同的對稱軸
B．與存在相同的對稱中心
C．與的值域相同
D．與在上有相同的單調性
【練習4】（2025·江蘇鹽城·模擬預測）若函數的圖象與直線的兩個相鄰交點之間的距離為，且為奇函數，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【練習5】（2024·河北·模擬預測）已知函數在區間單調遞減，且和是兩個對稱中心，則（ ）
A． B． C． D．
【練習6】（多選）（24-25高三·廣東汕頭·開學考試）函數圖象上相鄰的最高點與最低點的橫坐標相差，的一條對稱軸，且，下列敘述正確的是（ ）
A．函數的解析式為
B．的一個對稱中心，且在上單調遞減
C．向左平移個單位得到的圖象關于y軸對稱且
D．對任意，恒成立時，滿足條件的a值可為1
題型七、正弦型、余弦型函數的零點、極值點問題
指點迷津
函數或的零點和極值點的位置可以通過調整基礎正弦函數的周期性、對稱性和平移來確定.
例1．（2025·云南昭通·模擬預測）設函數，若在上有且只有一個極值點，且，則 ．
例2．（2025·陜西安康·模擬預測）已知函數，則函數在區間上的零點個數為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【相似題1】（2025·重慶·三模）已知函數在上恰有2個零點，則的最小正周期的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【相似題2】（2025·江西·模擬預測）函數在區間上的極值點個數為（ ）
A．675 B．676 C．2027 D．2028
【相似題3】（2025·遼寧·模擬預測）設，已知函數在區間內恰有2025個零點，則（ ）
A． B． C． D．
【相似題4】（2025·浙江·三模）若函數（，）的最小正周期為，其圖象的一條對稱軸的方程為，則函數在上的零點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【相似題5】（24-25高三·四川達州·開學考試）已知函數，將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，若在上的值域為，則函數在上的零點個數為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【相似題6】（24-25高三下·云南·階段練習）已知函數（）在區間上恰有3個零點，且是函數圖象的一條對稱軸，則 ．
（建議用時45分鐘）
一、單選題
1．（2025·云南昆明·模擬預測）下列函數的周期不是的為（ ）
A． B．
C． D．
2.（2025·甘肅·模擬預測）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西·模擬預測）設函數在區間的最小值和最大值分別為和，則（ ）
A．2 B． C． D．
4.（24-25高二下·浙江·階段練習）函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
5.（24-25高一下·河南·階段練習）已知（）在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·河南·階段練習）若函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A．的最小正周期的最小值為 B．的最小正周期的最大值為
C．的最小正周期的最小值為 D．的最小正周期的最大值為
7．（2024·四川·模擬預測）已知函數（）在區間上只有1個零點，且當時，單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山西晉中·模擬預測）已知，.若函數，且在區間上有極大值，無極小值，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
多選題
9．（2024·湖南益陽·一模）已知函數，則下列結論成立的是（ ）
A．的最小正周期為 B．曲線關于直線對稱
C．點是曲線的對稱中心 D．在上單調遞增
10．（24-25高三·江蘇南通·開學考試）下列函數中，在區間上單調遞減的函數是（ ）
A． B．
C． D．
11．（24-25高三·廣東汕頭·開學考試）函數圖象上相鄰的最高點與最低點的橫坐標相差，的一條對稱軸，且，下列敘述正確的是（ ）
A．函數的解析式為
B．的一個對稱中心，且在上單調遞減
C．向左平移個單位得到的圖象關于y軸對稱且
D．對任意，恒成立時，滿足條件的a值可為1
三、填空題
12．（2025·甘肅白銀·模擬預測）函數是偶函數，則的最小正值為 ．
13．（24-25高三·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數，則當時的最大值為 ．
14．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知函數在區間上有定義，且其圖象在區間上至少有兩個對稱中心，則的取值范圍為 .
1．（2025年全國Ⅰ卷）若點是函數的圖象的一個對稱中心，則a的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2025年全國Ⅱ卷）已知函數．
(1)求;
(2)設函數，求的值域和單調區間．
3．（2025年北京卷）設函數，若恒成立，且在上存在零點，則的最小值為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
4．（2025年上海卷）函數在上的值域為 ．
5．（2025年天津卷），在上單調遞增，且為它的一條對稱軸，是它的一個對稱中心，當時，的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．0
6．（多選）（2024年新課標Ⅱ卷高考真題）對于函數和，下列說法中正確的有（ ）
A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸
7．（2024年北京高考真題）設函數.已知，，且的最小值為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024年天津高考真題）已知函數的最小正周期為．則在區間上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
9．（2024年上海高考真題）下列函數的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023新卷課標全國Ⅰ卷高考真題）已知函數在區間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
11．（2023年全國乙卷（理）高考真題）已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2023年全國甲卷（理）高考真題）若為偶函數，則 ．
13．（2023年天津高考真題）已知函數的一條對稱軸為直線，一個周期為4，則的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022年新高考全國Ⅰ卷高考真題）記函數的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（ ）
A．1 B． C． D．3
15．（2022年全國甲卷（理）高考真題）設函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022年北京高考真題）已知函數，則（ ）
A．在上單調遞減 B．在上單調遞增
C．在上單調遞減 D．在上單調遞增
17．（2021年全國新高考Ⅰ卷高考真題）下列區間中，函數單調遞增的區間是（ ）
A． B． C． D．
18．（2021年北京高考真題）函數是
A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2
C．奇函數，且最大值為 D．偶函數，且最大值為
第04講 三角函數的圖像和性質（一）
目錄：
01考情分析（五年真題（2025年--2021年）考點分布） ………………………1
02 題型突圍 精準提分 ……………………………………………………………2
題型一、函數的定義域和值域 …………………………………………………2
命題點1 求函數的定義域 …………………………………………………………2
命題點2 求函數的值域 ……………………………………………………………3
命題點3 已知函數的值域求參數……………………………………………………7
題型二、函數的周期性……………………………………………………………10
命題點1 求函數的周期 …………………………………………………………10
命題點2 已知函數的周期求參數 …………………………………………………13
題型三、函數的單調性（重）……………………………………………………14
命題點1 求函數的單調區間 ………………………………………………………14
命題點2 根據單調性求參數（重） ………………………………………………18
題型四、函數的奇偶性（重）……………………………………………………20
題型五、函數的對稱性（重）……………………………………………………23
命題點1 求函數的對稱中心或對稱軸………………………………………………23
命題點2 由對稱性求參數（范圍）（重）……………………………………………25
命題點3 利用對稱性求零點的和 …………………………………………………27
題型六、函數性質的綜合應用（難）……………………………………………28
題型七、正弦型、余弦型函數的零點、極值點問題（難）……………………34
03 限時作業 查漏補缺 …………………………………………………………39
04 真題呈現 把握考情 …………………………………………………………46
考題示例 考點分析 考情分析
2025年全國Ⅱ卷 求含cosx的函數的單調性、利用余弦函數的單調性求參數、求cosx(型)函數的值域（解答題） 這一節的內容在高考中屬于高頻考點，主要以選擇和填空題的形式出現. 考查內容主要體現在以下方面： ⑴正弦型、余弦型和正切型函數的單調性、奇偶性、對稱性、值域. ⑵已知正弦型、余弦型和正切型函數的單調性、奇偶性、對稱性、值域求參數或參數的范圍. ⑶函數性質的綜合應用. ⑷正弦型、余弦型函數的零點和極值點問題.
2025年全國Ⅰ卷· 求正切（型）函數的對稱中心、正切函數對稱性的應用
2025年北京卷 正弦函數圖象的應用、由正弦（型）函數的周期性求值、輔助角公式
2025年上海卷 求cosx(型)函數的值域
2025年天津卷 利用正弦型函數的單調性求參數、利用正弦函數的對稱性求參數、由正（余）弦函數的性質確定圖象（解析式）
2024年北京卷· 利用函數的周期求參數
2024年全國Ⅱ卷 函數的周期性、對稱性、最值和零點（多選題）
2024年上海卷 二倍角的正弦公式、余弦公式
2024年天津卷 由函數的周期求參數、正弦型函數的值域
2023年全國Ⅰ卷 由余弦型函數的零點個數求參數的范圍
2023年全國乙卷（理） 函數性質的綜合應用
2023年全國甲卷（理） 由函數的奇偶性求參數
2023年天津卷 由函數的對稱性和周期性求解析式
2022年全國Ⅰ卷 函數性質的綜合應用
2022年全國甲卷（理） 由正弦型函數的極值點和零點個數求參數
2022年北京卷 正弦型函數的單調性
2021年全國Ⅰ卷· 求正弦型函數的單調區間
2021年北京卷 函數的奇偶性和最值
題型一、函數的定義域和值域
命題點1 求函數的定義域
例1．（24-25高一下·云南楚雄·階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由題意得，，
∴，
∴，
∴函數的定義域為.
故選：B.
【相似題1】（24-25高一上·浙江寧波·期末）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因為，所以.
則函數的定義域為
故選：A.
【相似題2】（24-25高三上·四川綿陽·階段練習）的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】令，
函數的定義域為：，
函數的定義域：，則，即，
所以的定義域為
故選：A
命題點2 求函數的值域
指點迷津
三角函數值域的不同求法：
⑴求，的值域，可先由定義域求得的范圍，然后求得或的范圍，最后求得最值（或值域）.
⑵形如或或的函數求值域，一般是把、或看做一個整體，轉換成二次函數求值域.
⑶含有和的函數求值域，一般利用和的關系轉換成二次函數求值域.
例2．（24-25高一下·全國·周測）求下列函數的值域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)
【詳解】（1）因為，所以，
又函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，
且，，，
所以函數最小值為0，最大值為1；所以函數的值域為；
（2），
因為，所以當時，函數取最大值0；
當時，函數取得最小值-4，
所以函數的值域為．
例3.（24-25高一下·上海長寧·期中）函數，的值域是 ．
【答案】
【詳解】因為，
設，則，
且，所以，
則，
所以函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以當時，取最大值，即，
當時，；當時，，所以.
因此，函數的值域為.
故答案為：.
【相似題1】（2024·河南新鄉·模擬預測）函數的最大值為（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【詳解】由題意可得，
所以的最大值為．
故選：C.
【相似題2】（24-25高一上·安徽淮南·期末）函數的最大值為（ ）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】函數，而，
令，則圖象的對稱軸為，
所以當時，取得最大值3.
故選：C
【相似題3】（24-25高一上·吉林長春·期末）已知函數，則在的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】函數在上單調遞增，而，
，即
函數，當時，，
當時，，
所以在的值域為.
故選：A
【相似題4】（2025·河北·模擬預測）函數在上的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據題意，，
根據倍角公式可得，
令，因為，則，可得，
故選：A.
【相似題5】（2025·湖北黃岡·模擬預測）已知函數的最小正周期為，則在上的最大值為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【詳解】由題意，解得，，
所以的最大值為3.
故選：D.
【相似題6】（2025·甘肅甘南·模擬預測）函數的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題知函數的最小正周期為．
當時，，
又，所以，
當時，，
又，所以，
所以函數的最小值為．
故選：B
命題點3 已知函數的值域求參數
例4．（2024·青?！ざ＃┮阎瘮档亩x域為（），值域為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】當時，.
由題意可得，解得.
故選：D.
【相似題1】（24-25高一下·山東煙臺·期中）若函數在上的最小值為，則t的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由，可得，
因為，
要使得上的最小值為，則滿足，
解得，所以，所以的最大值為.
故選：D.
【相似題2】（24-25高一下·湖北·階段練習）若函數在上的值域是，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】當時，，且值域為，
所以，則.
故選：B.
【相似題3】（24-25高一下·廣東中山·階段練習）已知函數在上的值域為，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】因為，，
又函數在上的值域為，
若，由余弦函數圖象可知，存在，使，不合題意，所以，
由，得到，
由余弦函數圖象可知，，解得，
故答案為：.
【相似題4】（2025高三·全國·專題練習）已知函數．若在區間上的值域為，則的取值范圍為 ．
【答案】
【詳解】由題意可得，
由，得，
要使在區間上的值域為，
則需，解得，
所以的取值范圍為.
故答案為：
【相似題5】（2025·福建寧德·三模）若函數在區間上的最小值為，最大值為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】AB選項，時，，
其中，
顯然的最小值為-2，只需內有即可，
當時，取得最大值，最大值為，
故，A錯誤，B正確；
CD選項，同理的最大值為2，只需內有即可，
當時，取得最小值，最小值為，
故，CD錯誤；
故選：B
題型二、函數的周期性
指點迷津
、的周期；
的周期；
、的周期；
的周期；
命題點1 求函數的周期
例1．（2025高三·全國·專題練習）下列函數中，最小正周期為的函數是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】對于選項A，利用定義法，
，故A不符合題意．
對于選項B，作出函數的圖象，由圖可知，
函數的最小正周期為，故選項B符合題意．
對于選項C，根據公式法，的最小正周期為，故選項C不符合題意．
對于選項D，依題可得函數，其圖象如圖所示．
由圖可知，函數不是周期函數，故選項D不符合題意．
故選：B
例2．（2025·甘肅酒泉·模擬預測）函數的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】函數的最小正周期，
故選：C．
【相似題1】（2025·北京大興·三模）已知函數，則函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，則函數的最小正周期為.
故選：C
【相似題2】（2025·廣東惠州·三模）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由正切型函數的性質知，最小正周期為.
故選：B
【相似題3】（24-25高三·貴州黔東南·開學考試）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【詳解】因為函數與的最小正周期分別為，，
所以的最小正周期為.
故選：A.
【相似題4】（24-25高一下·湖北十堰·期末）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為函數的最小正周期為，
函數的圖象是由函數的圖象將軸下方的圖象翻折到軸上方和軸上方的圖象組成，
故函數的最小正周期為.
故選：C.
【相似題5】（2024·四川成都·模擬預測）函數的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，，
又，可得，
即，且、，故.
故選：C.
【相似題6】（2025·甘肅白銀·三模）函數的最小值和最小正周期分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為
，
所以當時，函數取最小值，
函數的最小正周期為．
故選：C
命題點2 已知函數的周期求參數
例3.（2025·重慶·模擬預測）若函數的最小正周期為，則（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【詳解】因為的最小正周期為，所以，得.
故選：D
【相似題1】（24-25高一下·河南·期末）“”是“的最小正周期為”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】的最小正周期為，則，得，
故“”是“的最小正周期為”的充分不必要條件．
故選：A．
【相似題2】（25-26高一上·全國·課后作業）若函數的最小正周期為，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【詳解】因為函數的最小正周期為，所以，故有，故．
【相似題3】（2025高三·全國·專題練習）函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，
由正弦函數的性質知，相鄰兩條對稱軸之間的距離即為半個周期，而，
所以函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
故選：A．
題型三、函數的單調性
命題點1 求函數的單調區間
指點迷津
的單調增區間為，單調減區間為；
的單調增區間為，單調減區間為；的單調增區間為，無減區間；
2、的單調性，需將函數看成由一次函數和正弦函數組成的復合函數，利用復合函數單調區間的單調方法轉化為解一元一次不等式．如函數的單調區間的確定基本思想是把看做是一個整體，如由解出的范圍，所得區間即為增區間；由解出的范圍，所得區間即為減區間．
若，可利用誘導公式將的系數轉化為正數.
對于函數的單調性的討論與以上類似處理即可．
例1．（24-25高一下·江蘇蘇州·期中）函數在上的單調遞減區間是（ ）
A． B．
C． D．和
【答案】C
【詳解】由，
得，
即單減區間為，
又，所以單減區間為.
故選：C
例2．（24-25高一下·河南信陽·期中）函數，的單調遞增區間是（ ）
A． B．
C．和 D．和
【答案】C
【詳解】，
令，
函數的單調遞減區間為.
由，
得，
而，根據復合函數的單調性可知，所求單調遞增區間是和.
故選：C.
【相似題1】（24-25高一下·上海普陀·階段練習）函數，的單調減區間為 .
【答案】和
【詳解】由題意知，所以函數的單調減區間就是的單調增區間，
已知得單調增區間為，
得，解得，
當時，增區間為，當時，增區間為，
所以在上的單調增區間為和，
即在上的單調減區間為和，
故答案為：和.
【相似題2】（24-25高一下·陜西渭南·階段練習）函數的單調增區間為 .
【答案】
【詳解】函數，即，
則，解得，
所以函數的單調增區間為.
故答案為：
【相似題3】（24-25高三上·天津·階段練習）函數在的單調遞減區間是
【答案】和
【詳解】，
故的單調遞增區間即為的減區間，
由，得，
又，所以或，
所以函數在的單調遞減區間是和.
故答案為：和.
【相似題4】（24-25高一下·上海浦東新·期末）函數的單調區間為 ．
【答案】
【詳解】由，所以，
所以，
所以函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間.
故答案為：.
【相似題5】（24-25高三上·河北保定·期中）函數的最小正周期是 ，在上的單調遞減區間是 .
【答案】 ； （開閉區間均可）
【詳解】由題意得
，
故的最小正周期是；
當時，，
令，即得時，
故在上的單調遞減區間是，
故答案為：；
命題點2 根據單調性求參數（范圍）
例3．（2025·湖北武漢·模擬預測）若函數在區間上單調，則的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】當時，，依題意，，解得，
所以的取值范圍為.
故答案為：
【相似題1】（24-25高一下·江蘇蘇州·期末）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由，可得，
由題意可得，解得，
因為，所以，所以實數的取值范圍是.
故選：A.
【相似題2】（24-25高三下·江蘇泰州·開學考試）已知，函數在區間上單調遞減，則的最大值為 .
【答案】
【詳解】已知，，所以
因為函數在上單調遞減，
而函數在上單調遞減，所以
由此可得不等式組，解得
則的最大值為
故答案為：
【相似題3】（2025·陜西漢中·二模）已知函數，若在區間上單調遞增，則的最大值為 .
【答案】
【詳解】令，則，
因在區間上單調遞增，則，
即且且，
若，則不等式組的解集為空集；
若，則；
若，則不等式組的解集為空集，
則的最大值為.
故答案為：
【相似題4】（2024·全國·模擬預測）已知函數在區間上不單調，且在區間上單調，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：因為，所以當時，．
因為函數在區間上不單調，
所以，解得．
當時，．
因為函數在區間上單調，
所以，
（易錯：在區間上單調需要考慮單調遞增或單調遞減兩種情況），
所以，其中，
解得．
由，得，又因為，所以．
當時，；當時，；當時，．
又因為，
所以的取值范圍是．
故答案為：
題型四、函數的奇偶性
指點迷津
⑴三角函數值奇函數一般可化為或的形式，而偶函數一般可化為的形式.
⑵為奇函數，則；
為偶函數，則；
為奇函數，則；
為偶函數，則；
為奇函數，則，該函數不可能為偶函數.
例1．（24-25高一下·內蒙古呼和浩特·期中）已知函數是奇函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為奇函數，
則，則.
故選：D
【相似題1】（24-25高一下·上海·期中）“”是“是奇函數”的（ ）條件
A．充要 B．充分非必要
C．必要非充分 D．既非充分又非必要
【答案】B
【詳解】若是奇函數，則，
因為為的真子集，
所以“”是“是奇函數”的充分非必要條件.
故選：B.
【相似題2】（2025·全國·二模）函數是上的偶函數，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【詳解】是上的偶函數，即關于對稱，則，
則，則，解得.
，則.
故選：D.
【相似題3】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）將函數圖象向右平移個單位得到奇函數，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意可得：
為奇函數，
，
故選：B
【相似題4】（24-25高三上·江蘇南京·期中）已知函數，存在常數，使為偶函數，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，
所以，
因為存在常數，為偶函數，則，
此時為奇函數，
所以，即，
因為，
所以的最小值為.
故選：B
【相似題5】（2025·四川綿陽·模擬預測）若函數為奇函數，則 ．
【答案】
【詳解】依題意，，其中銳角由確定，
由為奇函數，得，即，
所以.
故答案為：
題型五、函數的對稱性
命題點1 求函數的對稱中心或對稱軸
指點迷津
1、的對稱軸方程為，對稱中心為；
的對稱軸為，對稱中心為；
的對稱中心為；
2、求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．
求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為.
例1．（25-26高一上·全國·課后作業）函數的圖象的一個對稱中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由，得，令，則，故是函數的圖象的一個對稱中心．
【相似題1】（24-25高一下·山東濰坊·期中）函數的一個對稱中心為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】令，則，
所以函數的圖象的對稱中心為，，
令，則，故不是函數圖象的對稱中心；
令，則，故不是函數圖象的對稱中心；
令，則，故是函數圖象的對稱中心；
令，則，故不是函數圖象的對稱中心.
故選：C.
【相似題2】（24-25高一下·遼寧葫蘆島·階段練習）已知函數的最小正周期為，則圖象的對稱軸方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】已知,則，可得，
根據余弦函數對稱軸方程得，解得得．
故選：B.
【相似題3】（2024高三·全國·專題練習）函數 的對稱中心是（　?。?br/>A． B．，
C．， D．，
【答案】D
【詳解】令（），解得（），
故函數的對稱中心為，．
故選:D．
【相似題4】（2025·云南·模擬預測）已知函數，則函數圖象的一條對稱軸方程可以是 ．（寫出一條即可）
【答案】（答案不唯一，滿足均可）
【詳解】函數，
由，解得，
所以函數圖象的一條對稱軸方程可以是.
故答案為：
命題點2 由對稱性求參數（范圍）
例2．（2025·陜西漢中·一模）已知函數的圖象關于直線對稱，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為函數的圖象關于直線對稱
所以，故，，
又因為，令得，
故選：A
例3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的圖象關于點對稱，那么的最小值為 ．
【答案】
【詳解】的圖象關于點對稱，
，即，
令，可得的最小值為．
故答案為：
【相似題1】（24-25高三·山西呂梁·開學考試）已知函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意可得：，解得，
根據各選項，代入檢驗知：當取1時，，即只有選項C符合題意.
故選：C.
【相似題2】（24-25高三上·河北唐山·階段練習）已知函數的圖象關于點中心對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為函數的圖象關于點中心對稱，
所以，有，
又由，所以.
故選：A．
【相似題3】（25-26高三上·河北衡水·階段練習）若點是函數的圖象的一個對稱中心，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】依題意，，即，
又，故的最小值為.
故選：B.
【相似題4】（24-25高一下·北京平谷·期末）將函數圖像向左平移個單位長度，得到的圖像關于點中心對稱，則的一個取值為
【答案】（答案不唯一，只要滿足即可）
【詳解】將函數圖像向左平移個單位長度，得到，
由題意，所以，
當時，.
故答案為：（答案不唯一，只要滿足即可）
命題點3 利用函數對稱性求零點的和
例4．（2025·湖南益陽·三模）函數在內的零點之和為（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【詳解】由題意有，
令，有，即，
解得或，
作出在的圖像，
則與的交點的橫坐標為，，
與的交點橫坐標為，，
由圖可知，，，
所以，
故選：A.
【相似題1】．（24-25高三上·河北邢臺·期中）函數的所有零點的和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由可得，
則函數的零點即函數與函數在上的交點的橫坐標.
對于函數，其最小正周期為，
當時，函數單調遞減，函數值從3減小到-3,
當時，函數單調遞增，函數值從-3增大到3.
類似可得函數在區間上的圖象變化情況.
如圖分別作出和在上的圖象如下.
由圖可知，兩函數在上的圖象關于直線對稱，
故兩者的交點與也關于直線對稱，
故
即函數的所有零點的和為
故選：C.
題型六、函數性質的綜合應用
指點迷津
1、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為；
2、在相鄰的對稱軸之間，函數單調，特殊的，若，函數在上單調，且，設，則深刻體現了三角函數的單調性與周期性、對稱性之間的緊密聯系.
例1．（24-25高三·云南昆明·階段練習）函數，若對恒成立，且在上有3條對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【詳解】由題知，當時取得最大值，即，
所以，即，
又在上有3條對稱軸，所以，
所以，所以.
故選：B
例2．（24-25高一下·四川成都·階段練習）已知在上是增函數，且在上有最小值，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意有在上是增函數，所以，所以，
又在上有最小值，所以，所以，解得，所以的取值范圍是，
故選：B.
【練習1】．（24-25高一下·北京石景山·期末）下列函數中，最小正周期為的奇函數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】對于A：為偶函數，故A錯誤；
對于B：的最小正周期為，故B錯誤；
對于C：，最小正周期，且為奇函數，故C正確；
對于D：，則，故為偶函數，故D錯誤；
故選：C
【練習2】（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函數，且在上是單調函數，其圖象向左平移個單位之后與的圖象關于軸對稱，則可能的取值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【詳解】設函數的最小正周期為，
因為函數在上單調，
則，可得，又，所以，，
因為函數的圖象向左平移個單位之后與的圖象關于軸對稱．
則，即，
因為，所以或6，滿足條件，A正確．
故選：A
【練習3】．（24-25高三·廣東·開學考試）已知函數與，則下列說法錯誤的是（ ）
A．與存在相同的對稱軸
B．與存在相同的對稱中心
C．與的值域相同
D．與在上有相同的單調性
【答案】B
【詳解】對于，令，得的對稱軸為，
令，得的對稱軸為，顯然與有相同的對稱軸，A正確；
對于，令，得的對稱中心為，
令，得的對稱中心為，
由得，
顯然不存在整數使成立，故與沒有相同的對稱中心，B錯誤；
對于C，與的值域顯然均為，C正確；
對于D，當時
由在上遞增，
由在上遞減，
由在上遞增，
由在上遞減，
與均在上單調遞增，在上單調遞減，D正確.
故選：B
【練習4】（2025·江蘇鹽城·模擬預測）若函數的圖象與直線的兩個相鄰交點之間的距離為，且為奇函數，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為函數的圖象與直線的兩個相鄰交點之間的距離為，
所以的最小正周期，又，所以，
所以，則，又為奇函數且，
所以，所以，
所以的最小值為．
故選：B．
【練習5】（2024·河北·模擬預測）已知函數在區間單調遞減，且和是兩個對稱中心，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可知，即，則，所以，
且和是兩個對稱中心，且，
所以和在同一周期內，
又的一個周期內有個對稱中心，
所以，即，，則，
又，解得，，
又當，時單調遞減，
解得，，
所以區間為的一個子集，
所以，結合得，，可得，
所以，所以，故D正確.
故選：D.
【練習6】（多選）（24-25高三·廣東汕頭·開學考試）函數圖象上相鄰的最高點與最低點的橫坐標相差，的一條對稱軸，且，下列敘述正確的是（ ）
A．函數的解析式為
B．的一個對稱中心，且在上單調遞減
C．向左平移個單位得到的圖象關于y軸對稱且
D．對任意，恒成立時，滿足條件的a值可為1
【答案】ABD
【詳解】對于A，由題意可知，，∴，則，，
的一條對稱軸，,,
或,
當時,舍
當時,,
所以，A選項正確；
對于B，所以的一個對稱中心為，
單調遞減,在上單調遞減,B選項正確；
對于C，把函數的圖象沿軸向左平移個單位，得,
即，得到的圖象關于y軸對稱, ,C錯誤；
對于D，對任意，恒成立時，滿足條件的，
當時，，故，
所以,滿足條件的a值可為1，D選項正確.
故選:ABD.
題型七、正弦型、余弦型函數的零點、極值點問題
指點迷津
函數或的零點和極值點的位置可以通過調整基礎正弦函數的周期性、對稱性和平移來確定.
例1．（2025·云南昭通·模擬預測）設函數，若在上有且只有一個極值點，且，則 ．
【答案】
【詳解】，且在上有且只有一個極值點，得，
所以，解得．
故答案為：．
例2．（2025·陜西安康·模擬預測）已知函數，則函數在區間上的零點個數為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【詳解】由題意得，其關于原點對稱，
因為，所以為奇函數，則，
因為，所以由二倍角公式得，
化簡得，
令，則，易得，
當時，得到在上單調遞減，
則，故，
則令，可得，得到，
解得，或，故在上有兩個零點，
由奇函數的性質可得在上也有兩個零點，
綜上，共有5個零點，故C正確.
故選：C
【相似題1】（2025·重慶·三模）已知函數在上恰有2個零點，則的最小正周期的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】當，則，有兩個零點，則，
所以，由知，最小正周期的最小值為.
故選：D.
【相似題2】（2025·江西·模擬預測）函數在區間上的極值點個數為（ ）
A．675 B．676 C．2027 D．2028
【答案】B
【詳解】由題意可得．
當時，顯然，于是，
易知符合條件的解為的變號零點，即的極值點，
于是的極值點均可視作的圖象與直線交點的橫坐標，
由可知交點必在第四象限．
當時，由圖象可知的解集為．
故的圖象與直線在每一個區間上有且僅有一個交點．
由解得，故滿足條件的區間共676個，
于是的圖象與直線在區間上共有676個交點，
即在區間（0，2028）上共有676個極值點．
故選：B．
【相似題3】（2025·遼寧·模擬預測）設，已知函數在區間內恰有2025個零點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】令，得，，所以，，
又，所以，所以，，
所以，，
由題可得方程有2025個根，
即曲線與直線，在區間內共有2025個交點.
當時，，
當時，，
當時，，…，
由題意及曲線在區間內的圖象可知方程分別有兩個不同實根，且各根均不同，所以需，所以.
故選：D.
【相似題4】（2025·浙江·三模）若函數（，）的最小正周期為，其圖象的一條對稱軸的方程為，則函數在上的零點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【詳解】由題，得，
又，，得，，
因為，所以，
令得，，即，，
當，，0，1時，，，，，
得在上有4個零點．
故選：D.
【相似題5】（24-25高三·四川達州·開學考試）已知函數，將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，若在上的值域為，則函數在上的零點個數為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【詳解】
故，
因為當時，
由于，所以
在上的值域為，
所以解得，
即的零點即為的根，
則或，即或，
所以函數在上的零點有，共8個．
故選：C．
【相似題6】（24-25高三下·云南·階段練習）已知函數（）在區間上恰有3個零點，且是函數圖象的一條對稱軸，則 ．
【答案】
【詳解】因為，由已知得，所以，
又是函數圖象的一條對稱軸，所以，
則，
當時，，滿足題意，
所以．
故答案為：
（建議用時45分鐘）
一、單選題
1．（2025·云南昆明·模擬預測）下列函數的周期不是的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】對于，最小正周期為，故A不符合題意；
對于，最小正周期為，故B不符合題意；
對于，最小正周期為，故C符合題意；
對于，最小正周期為，故D不符合題意．
故選：C．
2.（2025·甘肅·模擬預測）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由，
則函數的最小正周期.
故選：B.
3．（2025·山西·模擬預測）設函數在區間的最小值和最大值分別為和，則（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【詳解】若，則，
由正弦函數的性質可知，
當時，函數取得最小值，即，
當時，函數取得最大值，即，
所以.
故選：B
4.（24-25高二下·浙江·階段練習）函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由，令，則，
由，則函數的值域為.
故選：C.
5.（24-25高一下·河南·階段練習）已知（）在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】當時，，而在上單調遞增，
則，解得，
所以的取值范圍是.
故選：C
6．（24-25高一下·河南·階段練習）若函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A．的最小正周期的最小值為 B．的最小正周期的最大值為
C．的最小正周期的最小值為 D．的最小正周期的最大值為
【答案】B
【詳解】因為函數的圖象關于直線對稱，所以，解得.又，所以，
則的最小正周期，所以的最小正周期的最大值為.
故選：B
7．（2024·四川·模擬預測）已知函數（）在區間上只有1個零點，且當時，單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】當時，，
因為在上只有1個零點，
所以，解得，
當時，，
因為，所以，
又因為在上單調遞增，
所以，解得.
綜上可得.
故選：C.
8．（2024·山西晉中·模擬預測）已知，.若函數，且在區間上有極大值，無極小值，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為，
所以，即，
又，所以，故，
所以
，
若，則，令，
則在區間上有極大值，無極小值在上有極大值，無極小值，
則根據圖像性質可知，
故選：D.
多選題
9．（2024·湖南益陽·一模）已知函數，則下列結論成立的是（ ）
A．的最小正周期為 B．曲線關于直線對稱
C．點是曲線的對稱中心 D．在上單調遞增
【答案】AC
【詳解】設的最小正周期為，故A正確；
因為，所以B錯誤；
因為，所以點是曲線的對稱中心,C正確；
由得，在上單調遞減，所以D錯誤．
故選：AC．
10．（24-25高三·江蘇南通·開學考試）下列函數中，在區間上單調遞減的函數是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【詳解】A選項，對于，
由，得，
所以在區間上單調遞減的函數，A選項正確.
B選項，對于，
由，得，不符合題意.
C選項，由，得，
且，
所以在區間上單調遞減的函數，C選項正確.
D選項，對于，
由，得，不符合題意.
故選：AC
11．（24-25高三·廣東汕頭·開學考試）函數圖象上相鄰的最高點與最低點的橫坐標相差，的一條對稱軸，且，下列敘述正確的是（ ）
A．函數的解析式為
B．的一個對稱中心，且在上單調遞減
C．向左平移個單位得到的圖象關于y軸對稱且
D．對任意，恒成立時，滿足條件的a值可為1
【答案】ABD
【詳解】對于A，由題意可知，，∴，則，，
的一條對稱軸，,,
或,
當時,舍
當時,,
所以，A選項正確；
對于B，所以的一個對稱中心為，
單調遞減,在上單調遞減,B選項正確；
對于C，把函數的圖象沿軸向左平移個單位，得,
即，得到的圖象關于y軸對稱, ,C錯誤；
對于D，對任意，恒成立時，滿足條件的，
當時，，故，
所以,滿足條件的a值可為1，D選項正確.
故選:ABD.
三、填空題
12．（2025·甘肅白銀·模擬預測）函數是偶函數，則的最小正值為 ．
【答案】/
【詳解】由于是偶函數，所以，，
故，，所以當時，取最小正值，最小正值為．
故答案為：.
13．（24-25高三·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數，則當時的最大值為 ．
【答案】
【詳解】
，
因為，所以，
所以，
所以的最大值為.
故答案為：
14．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知函數在區間上有定義，且其圖象在區間上至少有兩個對稱中心，則的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】當，，
若函數（）在區間上有定義，
則，解得，
函數的對稱中心滿足，，整理得，，
其圖象在區間上至少有兩個對稱中心，則在區間上至少有兩解，
整理得至少存在兩個值使，，
故至少有兩個取值，所以，
綜上，的取值范圍為.
故答案為:.
1．（2025年全國Ⅰ卷）若點是函數的圖象的一個對稱中心，則a的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據正切函數的性質，的對稱中心橫坐標滿足，
即的對稱中心是，
即，
又，則時最小，最小值是，
即.
故選：B
2．（2025年全國Ⅱ卷）已知函數．
(1)求;
(2)設函數，求的值域和單調區間．
【答案】(1)；(2)答案見解析
【詳解】（1）由題意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函數的值域為，
令，解得，
令，解得，
所以函數的單調遞減區間為，
函數的單調遞增區間為.
3．（2025年北京卷）設函數，若恒成立，且在上存在零點，則的最小值為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【詳解】函數，
設函數的最小正周期為T，由可得，
所以，即；
又函數在上存在零點，且當時，，
所以，即；
綜上，的最小值為4.
故選：C.
4．（2025年上海卷）函數在上的值域為 ．
【答案】
【詳解】由函數在上單調遞增，在單調遞減，
且，
故函數在上的值域為.
故答案為：.
5．（2025年天津卷），在上單調遞增，且為它的一條對稱軸，是它的一個對稱中心，當時，的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【詳解】設的最小正周期為，根據題意有，，
由正弦函數的對稱性可知，
即，
又在上單調遞增，則，
∴，則，
∵，∴時，，∴，
當時，，
由正弦函數的單調性可知.
故選：A
6．（多選）（2024年新課標Ⅱ卷高考真題）對于函數和，下列說法中正確的有（ ）
A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸
【答案】BC
【詳解】A選項，令，解得，即為零點，
令，解得，即為零點，
顯然零點不同，A選項錯誤；
B選項，顯然，B選項正確；
C選項，根據周期公式，的周期均為，C選項正確；
D選項，根據正弦函數的性質的對稱軸滿足，
的對稱軸滿足，
顯然圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.
故選：BC
7．（2024年北京高考真題）設函數.已知，，且的最小值為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】由題意可知：為的最小值點，為的最大值點，
則，即，
且，所以.
故選：B.
8．（2024年天津高考真題）已知函數的最小正周期為．則在區間上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】結合周期公式求出，得，再整體求出當時，的范圍，結合正弦三角函數圖象特征即可求解.
【詳解】因為函數的最小正周期為，則，所以，
即，當時，，
所以當，即時，
故選：D
9．（2024年上海高考真題）下列函數的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】對A，，周期，故A正確；
對B，，周期，故B錯誤；
對于選項C，，是常值函數，不存在最小正周期，故C錯誤；
對于選項D，，周期，故D錯誤，
故選：A．
10．（2023新卷課標全國Ⅰ卷高考真題）已知函數在區間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】令，得有3個根，從而結合余弦函數的圖像性質即可得解.
【詳解】因為，所以，
令，則有3個根，
令，則有3個根，其中，
結合余弦函數的圖像性質可得，故，
故答案為：.
11．（2023年全國乙卷（理）高考真題）已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為在區間單調遞增，
所以，且，則，，
當時，取得最小值，則，，
則，，不妨取，則，
則，
故選：D.
12．（2023年全國甲卷（理）高考真題）若為偶函數，則 ．
【答案】2
【詳解】因為為偶函數，定義域為，
所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域為，故為偶函數，
所以.
故答案為：2.
13．（2023年天津高考真題）已知函數的一條對稱軸為直線，一個周期為4，則的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由函數的解析式考查函數的最小周期性：
A選項中，B選項中，
C選項中，D選項中，排除選項CD，
對于A選項，當時，函數值，故是函數的一個對稱中心，排除選項A，
對于B選項，當時，函數值，故是函數的一條對稱軸，
故選：B.
14．（2022年新高考全國Ⅰ卷高考真題）記函數的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【詳解】由函數的最小正周期T滿足，得，解得，
又因為函數圖象關于點對稱，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故選：A
15．（2022年全國甲卷（理）高考真題）設函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：依題意可得，因為，所以，
要使函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．
故選：C．
16．（2022年北京高考真題）已知函數，則（ ）
A．在上單調遞減 B．在上單調遞增
C．在上單調遞減 D．在上單調遞增
【答案】C
【分析】化簡得出，利用余弦型函數的單調性逐項判斷可得出合適的選項.
【詳解】因為.
對于A選項，當時，，則在上單調遞增，A錯；
對于B選項，當時，，則在上不單調，B錯；
對于C選項，當時，，則在上單調遞減，C對；
對于D選項，當時，，則在上不單調，D錯.
故選：C.
17．（2021年全國新高考Ⅰ卷高考真題）下列區間中，函數單調遞增的區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為函數的單調遞增區間為，
對于函數，由，
解得，
取，可得函數的一個單調遞增區間為，
則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；
取，可得函數的一個單調遞增區間為，
且，，CD選項均不滿足條件.
故選：A.
18．（2021年北京高考真題）函數是
A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2
C．奇函數，且最大值為 D．偶函數，且最大值為
【答案】D
【詳解】由題意，，所以該函數為偶函數，又，
所以當時，取最大值.
故選：D.

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