資源簡介

平面向量的概念及線性運算
【基礎練】
一、單項選擇題(每小題5分，共30分)
1.化簡+--等于(　　)
A. B.0 C. D.
2.(2025·沈陽模擬)已知a，b為兩個不共線的向量，=a+b，=2a-b，=λa+μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三點共線，則2λ+μ等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2024·西安模擬)已知點P是△ABC的重心，則等于(　　)
A.+ B.+
C.+ D.+
4.已知點P為△OAB所在平面內一點，且=+，則(　　)
A.點P在線段AB上
B.點P在線段AB的延長線上
C.點P在線段AB的反向延長線上
D.點P在射線AB上
5.(2024·焦作模擬)已知△ABC所在平面內一點D滿足++=0，則△ABC的面積是△ABD面積的(　　)
A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍
6.已知a是單位向量，向量b滿足|a-b|=3，則|b|的最大值為(　　)
A.2 B.4 C.3 D.1
二、多項選擇題(每小題6分，共12分)
7.下列說法正確的是(　　)
A.若a與b是非零向量，則“a與b同向”是“a=b”的必要不充分條件
B.若與共線，則A，B，C三點在同一條直線上
C.a與b是非零向量，若a與b同向，則a與-b反向
D.設λ，μ為實數，若λa=μb，則a與b共線
8.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點，且=3，F為AE的中點，則(　　)
A.=-+
B.=+
C.=-+
D.=-
三、填空題(每小題5分，共10分)
9.已知O為△ABC內一點，且2=+=t，若B，O，D三點共線，則實數t的值為　　　　.
10.已知在四邊形ABCD中，=，且||=||，則四邊形ABCD的形狀是　　　　　　　　　.
四、解答題(共27分)
11.(13分)已知a，b不共線，=a，=b，=c，=d，=e，設t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在實數t，使得C，D，E三點在同一條直線上？若存在，求出實數t的值，若不存在，請說明理由.
12.(14分)如圖所示，在 ABCD中，===a，=b.
(1)試用向量a，b來表示；(6分)
(2)AM交DN于點O，若=λ，求實數λ的值.(8分)
【提升練】
13.(多選)已知P是邊長為1的正六邊形ABCDEF內一點(含邊界)，且=+λ，λ∈R，則下列說法正確的是(　　)
A.△PCD的面積為定值 B. λ∈R，使得||>||
C.∠CPD的取值范圍是 D.||的取值范圍是[1，]
14.在△ABC中，點O滿足=2，過點O的直線分別交射線AB，AC于不同的兩點M，N.設=，=，則m2+n的最小值是(　　)
A.3 B.1 C. D.
15.(2024·鹽城模擬)如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E，F分別在邊BC，CD上，且滿足==2，則|+|=　　　　.
16.如圖，已知A，B，C是圓O上不同的三點，CO與AB交于點D(點O與點D不重合)，若=λ+μ(λ，μ∈R)，則λ+μ的取值范圍是　　　　.
答案精析
1.B　2.D　3.D
4.D　[由=+得-=所以=·
所以點P在射線AB上.]
5.A　[設AB的中點為M，
因為++=0，
所以
=2(+)，
所以=4
所以點D是線段CM上靠近點M的五等分點，
所以==5，
所以△ABC的面積是△ABD面積的5倍.]
6.B　[方法一　設=a=b，因為|a-b|=3，
即|-|=||=3，即||=3，
所以點B在以A為圓心，3為半徑的圓上，
又a是單位向量，則||=1，
故||的最大值為||+||=1+3=4，即|b|的最大值為4.
方法二　因為b=a-(a-b)，
所以|b|≤|a|+|a-b|=1+3=4，
所以|b|的最大值為4.]
7.ABC　[根據向量的有關概念可知A，B，C正確，對于D，當λ=μ=0時，a與b不一定共線，故D錯誤.]
8.ABC　[∵AB∥CD，AB=2DC，
∴=++=-++=-+故A正確；
∵=3
∴==-+
∴=+
=+
=+
又F為AE的中點，∴==+故B正確；
∴=+=-++=-+故C正確；
∴=-=-+-
=--故D錯誤.]
9.
解析　設線段BC的中點為M，
則+=2.
因為2=+
所以=
則==+)
==+.
由B，O，D三點共線，得+=1，解得t=.
10.等腰梯形
解析　由=
可得AB∥CD且AB=DC，
所以四邊形ABCD是梯形，
又因為||=||，
所以梯形ABCD的兩個腰相等，
所以四邊形ABCD是等腰梯形.
11.解　存在.由題設知，
=d-c=2b-3a，
=e-c=(t-3)a+tb，
又a，b不共線，則≠0，
C，D，E三點在同一條直線上的充要條件是存在實數k，使得=k
即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
因為a，b不共線，
所以解得t=.
故存在實數t=使得C，D，E三點在同一條直線上.
12.解　(1)因為=-
=
所以=-=a-b.
因為=+=
所以=+=a+b.
(2)因為D，O，N三點共線，
所以存在實數k，
使得=k=ka-kb，
所以=+
=b+ka-kb=ka+(1-k)b，①
因為A，O，M三點共線，
所以存在實數m，
使得=m=ma+mb，②
由①②得解得m=
所以==
即λ=.
13.AC　[對于A，由=+λλ∈R可得-=λ即=λ可得∥因此，點P在正六邊形ABCDEF的對角線
BE上，所以點P到CD的距離為定值，所以△PCD的面積為定值，故A正確；
對于B，因為正六邊形ABCDEF關于對角線BE對稱，故||=||，故B錯誤；
對于C，根據圖形的對稱性，當點P為BE中點時，∠CPD取得最大值當點P與B或E重合時∠CPD取得最小值即∠CPD的取值范圍是故C正確；
對于D，因為正六邊形邊長為1，所以平行線BE，CD的距離d=又當PC⊥BE時，||有最小值故D錯誤.]
14. D
[由題可知，m>0，n>0，
因為=，=，
所以=m，=n，
因為=2，
所以-=2(-)，
所以=+=m+n，
因為M，O，N三點共線，所以m+n=1，
則n=>0，則0所以m2+n=m2+=+
≥，當且僅當m=時等號成立，
所以m2+n的最小值為.]
15.3
解析　因為=
所以=+=+
又因為=2
所以=+=+
所以|+|=|+|
=||，
又因為∠BAD=120°，
所以∠ADC=60°，
所以△ADC為等邊三角形，
所以AC=AD=2，
所以|+|=||=×2=3.
16. (1，+∞)
解析　因為CO與AB交于點D，
所以O，C，D三點共線，
所以與共線，
設=m，則m>1，
因為=λ+μ，
所以m=λ+μ，
可得=+，
因為A，B，D三點共線，
所以+=1，可得λ+μ=m>1，
所以λ+μ的取值范圍是(1，+∞).

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