資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
4.2角
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如圖，，則圖中與互余的角有（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．若一個角的補角為，則這個角的余角為（ ）
A． B． C． D．
3．的余角為，則它的補角為（ ）
A． B． C． D．以上都不對
4．如圖，點A，B，O分別表示一個景點．經測量，景點B在景點O的北偏東方向，則景點A相對于景點O的方向是（ ）
A．南偏東方向 B．北偏西方向 C．北偏西方向 D．南偏東方向
5．用放大2倍的放大鏡看的角，看到的角的度數是（ ）
A． B． C． D．不確定
6．如圖，鐘表上八時整時，時針與分針所成的角是（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，快艇從P處向正北航行到A處時，向右轉航行到B處，再向左轉繼續航行，此時的航行方向為（　　）
A．北偏西 B．北偏西 C．北偏東 D．北偏東
8．如圖，點O在直線上，，則圖中除了直角外，一定相等的角有（ ）
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
9．如圖所示，下列說法中正確的是（　　）
A．就是 B．可以用表示
C．和是同一個角 D．和是不同的兩個角
10．如圖，直線，相交于點O，下面是推導對頂角相等的過程：因為，，所以，其推理依據是（ ）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的補角相等 D．等角的補角相等
11．【真實問題情境】如圖，有一個燈塔，測得燈塔在海島的南偏西方向上，在海島的南偏西方向上，則燈塔的位置可能是（ ）

A．點 B．點 C．點 D．點
12．如果和互補，且，那么下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題
13．如圖，將一副三角板的直角頂點重合在一起，其中和是直角．若，則的度數 ．

14．填空題．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） = ．
15．如果和互補，且，則下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，正確的有 ．（多選）
A.① B.② C.③ D. ④
16．將兩個三角尺按圖所示的位置擺放，已知，則 ．

17．小明利用星期天搞社會調查活動，早晨8：00出發，中午12：30到家，小明到家時時針和分針夾角的度數是 ．

三、解答題
18．如圖，已知為直線上的一點，是直角，平分．

(1)與互余的角是___________，互補的角是___________；
(2)若，求的度數．
19．鐘面上的數學
基本概念：鐘面角是指時鐘的時針與分針所成的角．如圖1，即為某一時刻的鐘面角，通常
[簡單認識]時針和分針在繞點O一直沿著順時針方向旋轉，時針每小時轉動的角度是，分針每小時轉動一周，角度為．由此可知：
（1）時針每分鐘轉動 °，分針每分鐘轉動 °：
[初步研究]
（2）已知某一時刻的鐘面角的度數為，在空格中寫出一個與之對應的時刻：
①當時， ；
②當時， ；
（3）如圖2，鐘面顯示的時間是8點04分，此時鐘面角 ．
[深入思考]
（4）在某一天的下午2點到3點之間（不包括2點整和3點整）．
①時針恰好與分針重疊，則這一時刻是 ；時針恰好與分針垂直，求此時對應的時刻是 ；
②記鐘面上刻度為3的點為C，當鐘面角的兩條邊所在射線與射線中恰有一條是另兩條射線所成角的角平分線時，請直接寫出此時對應的時刻．
20．計算：
(1)；
(2)．
21．如圖，已知內部有三條射線，平分平分．

（1）若，則_______________；
（2）若，則_______________；
（3）若，你能猜想出與的關系嗎？請說明理由．
【拓展提問1】若射線在的外部如圖所示位置，且平分平分，則上述（3）中的結論還成立嗎？請說明理由．

方法指導如圖，當射線在的內部或外部，平分平分時，總有．
【拓展提問2】若射線在的外部如圖所示位置，平分平分，則與的數量關系是_______________．

22．如圖，射線表示的方向是北偏東，射線表示的方向是北偏西，射線在射線和射線之間，且．求的度數．

23．如圖1，點為直線上一點，過點作射線，，，始終在的右側，，．
(1)如圖1，當，平分時，求的度數；
(2)如圖2，當與邊重合，在的下方時，，將繞點按每秒的速度沿逆時針方向旋轉，使射線與的角平分線形成夾角為，求此時旋轉一共用了多少秒；
(3)當在直線上方時，若，點在射線上，射線繞點順時針旋轉度，恰好使得，平分，，請直接寫出此時的值．
24．已知， 如圖， 點A， O， B在同一條直線上， 平分 ．
求證：是的平分線，將下列證明過程補充完整
證明：，
∴ ，
又平分，
∴
，
．
是的平分線．
《4.2角》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C A D A B B C
題號 11 12
答案 A C
1．B
【分析】本題考查了求一個角的余角，根據互為余角的兩個角的和為，即可得出答案．
【詳解】解：，
，
與互余，
，
與互余，
與互余的角是和，共個，
故選B．
2．C
【分析】根據余角和補角的定義來求解．
【詳解】解：設這個角的度數為x，
由題意得，
∴，
∴，
∴這個角的余角為52°．
故選：C．
【點睛】本題主要考查余角和補角，熟練掌握余角和補角的定義是解決本題的關鍵．
3．C
【分析】本題考查了余角的定義、補角的定義；理解“和為的兩個角互為余角，和為的兩個角互為補角．”是解題的關鍵．
【詳解】解：的余角為，
的度數為
，
的補角為：
，
故選：C．
4．C
【分析】本題主要考查了方位角，平角，角的和差求角度，理解方位角是解題的關鍵．
記正北方為，由題意得出，根據算出，即可解題．
【詳解】解：記正北方為，如圖所示：
∵景點B在景點O的北偏東方向，
∴，
∵，
∴，
∴景點A相對于景點O的方向為北偏西方向．
故選：C．
5．A
【分析】角的大小和邊的長短無關，與角張開的角度的大小有關，而放大鏡看到的角，放大的只是角的邊，所以，無論用多少倍的放大鏡看角，角的大小都不變，可據此解題．
【詳解】解：由題意得用放大10倍的放大鏡看的角，看到的度數是．
故選：A
【點睛】解析此題考查的是角的大小的比較，角的大小的比較，不是比較邊的長短，而是比較角的張開的角度的大小．
6．D
【分析】本題考查了鐘面角 ．根據一個周角是，鐘面上從到把鐘面平均分成了條弧線，平均每條弧線對應的圓心角的度數為，根據到之間共有條弧線，求出時針與分針所成的角的度數 ．
【詳解】解：一個周角是，鐘面的從到把鐘面平均分成了條弧線，
平均每條弧線對應的圓心角的度數為，
到之間共有條弧線，
八時整時，時針與分針所成的角是．
故選：D．
7．A
【分析】本題考查方向角的概念，掌握方向角的定義是解題的關鍵．
方向角是從正北或正南方向到目標方向所形成的小于的角，由此即可求解．
【詳解】解：如圖，
快艇從處向正北航行到處時，向右轉航行到處，再向左轉繼續航行，
此時的航行方向為北偏西．
故選A．
8．B
【分析】本題考查同角的余角相等，根據同角的余角相等，找到相等的角即可，掌握同角的余角相等，找到相等的角是關鍵．
【詳解】解：由圖可知：，
，，
故圖中除了直角外，一定相等的角有2對，
故選：B．
9．B
【分析】本題考查角的定義和表示方法，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．根據角的定義和表示方法逐一判斷即可．
【詳解】解：A、在圖中，不能明確表示哪一個角，必須由三個字母表示，本選項不符合題意．
B、可以用表示，正確，本選項符合題意．
C、和不是同一個角，本選項不符合題意．
D、和是同一個角，本選項不符合題意，
故選：B．
10．C
【分析】本題考查了補角的性質，注意同角或等角的補角相等，在本題中要注意判斷是“同角”還是“等角”．
【詳解】解：由題意得：推理依據是同角的補角相等，
故選：C．
11．A
【分析】根據方向角的定義解答可得，也可作出以A為基準的南偏西、以點B為基準的南偏西方向的交點即為燈塔所在位置．
【詳解】解：由題意知，若燈塔位于海島A的南偏西、海島B的南偏西的方向上，
如圖所示，燈塔的位置可以是點，

【點睛】本題主要考查方向角，解題的關鍵是根據方向角確定物體的位置．
12．C
【分析】本題考查了對余角和補角的理解和運用，注意：與互補，得出，；的余角是．根據余角和補角的定義即可得到結論．
【詳解】解：，
表示的余角，故①正確；
與互補，
，
，，
，
，
表示的余角，故②正確；
，
，故③錯誤；
，故④正確；
故選：C．
13．/65度
【分析】根據等角（或同角）的余角相等，得到，即可得到答案．
【詳解】解：，
，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了余角的概念，解題關鍵是掌握等角的余角相等．
14． 24 0.2 75 10 102 24 7.8 7 48
【分析】本題主要考查了度分秒的換算．
（1）根據大單位化成小單位要乘以60進制，列出算式進行計算即可；
（2）根據小單位化成大單位要除以60進制，列出算式進行計算即可；
（3）度與度相加，分與分相加，若滿60，向它前面的單位進1，進行計算即可；
（4）度與分分別乘以4，然后把滿60的向它前面的單位進位即可；
（5）先把46.8除以6，再把小數度乘以60化成分即可．
【詳解】解：（1），
故答案為：24；
（2），
故答案為：0.2；
（3）
，
故答案為：75，10；
（4）
，
故答案為：102，24；
（5）
，
故答案為：7.8，7，48．
15．ABD
【分析】根據題意得，，則，即可得的余角是，可判斷①正確；根據的余角是，可判斷②正確；根據得不是的余角，可判斷故③錯誤；根據得是的余角，可判斷④正確；即可得．
【詳解】解：∵和互補，且，
∴，，
∴，
∴的余角是，
故①正確；
的余角是，
故②正確；
∵，
∴不是的余角，
故③錯誤；
∵，
∴是的余角，
故④正確；
綜上，正確的有：①②④，
故答案為：ABD．
【點睛】本題考查了補角，余角的應用，解題的關鍵是掌握余角，補角．
16．
【分析】根據同角的余角相等求解即可．
【詳解】解：由題意可得，

∴
故答案為：
【點睛】此題考查了與三角板有關的角的計算，掌握同角的余角相等是解題的關鍵．
17．/165度
【分析】時針在鐘面上每分鐘轉，分針每分鐘轉，鐘表上12：30時，時針與分針的夾角可以看成時針轉過12時，分針在數字6上，由此進行計算即可得到答案．
【詳解】解：時針在鐘面上每分鐘轉，分針每分鐘轉，
鐘表上12：30時，時針與分針的夾角可以看成時針轉過12時，分針在數字6上，
鐘表12個數字，每相鄰兩個數字之間的夾角為，
12：30時針與分針的夾角為：，
小明到家時時針和分針夾角的度數是，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是鐘表表盤與角度相關的特征，用到的知識點為：鐘表上12個數字，每相鄰兩個數字之間的夾角為，在鐘表問題中，常利用時針與分針轉動的度數關系：分針每轉動時針轉動，并且利用起點時針和分針的位置關系建立角的圖形．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）根據得到，可得余角，再根據，可得補角；
（2）首先求出，再根據角平分線的定義求出，即可得解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴與互余的角是；
∵，
∴與互補的角是．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了余角和補角，角平分線的定義，掌握互為余角、互為補角的意義以及圖形中角的和差關系是正確解答的關鍵．
19．（1）；6；（2）答案不唯一；②答不唯一案；（3）；（4）①2點分；2點分；②2點6分和2點分，2點分
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，鐘面角．
（1）根據1小時分解答即可；
（2）鐘表12個數字，每相鄰兩個數字之間的夾角為，找到時針和分針相隔3個數字的時刻和相隔6個數字的時刻即可；
（3）鐘表12個數字，每相鄰兩個數字之間有5格，鐘表上8點04分，時針轉了格，分針指向4，根據時針和分針的速度即可求解；
（4）①設此時對應的時刻是2點x分，根據時針和分針轉動的角度相同即可求解；②令時針所在直線為，分針所在直線為，分兩種情況求解即可．
【詳解】解：（1）∵時針每小時轉動的角度是，分針每小時轉動一周，角度為．
∴時針每分鐘轉動，分針每分鐘轉動，
故答案為：；6；
（2）①某個時刻的鐘面角α為，可為或，②某個時刻的鐘面角α為，可為，
故答案為：①或；②；
（3）鐘表12個數字，每相鄰兩個數字之間有5格，鐘表上8點04分，時針轉了格，分針指向4，
則時針轉動的角度是，分針轉動的角度是，
此時鐘面角，
∵，
∴，
故答案為：；
（4）①時針恰好與分針重疊：設此時對應的時刻是2點x分，根據題意得，
，
解得，，
∴這一時刻是2點分，
故答案為：2點分；
時針恰好與分針垂直：設此時對應的時刻是2點y分，則有：
或，
解得：或，
∵時為3點整，不合題意，舍去，
∴此時對應的時刻是2點分；
②令時針所在直線為，分針所在直線為，設此時對應的時刻是2點m分，為和角平分線時：
，
解得：；
為和角平分線時：
，
解得：；
為時針，為分針，平分時：
，，
∵平分，
∴，
∴，
解得：，
答：當鐘面角的兩條邊所在射線與射線中恰有一條是另兩條射線所成角的角平分線時，此時對應的時刻在2點6分和2點分，2點分．
20．(1)
(2)
【分析】本題考查了度分秒的換算和計算，熟知進率、正確計算是解題關鍵..
（1）先進行度、分、秒的除法計算，再算加法．
（2）先進行度、分、秒的乘法計算，再算減法．
【詳解】（1）解：
（2）
21．（1）；（2）；（3），理由見解析
【拓展提問1】成立，理由見解析
【拓展提問2】
【分析】（1）依據角平分線的定義求得、的度數，再依據求解即可；
（2）依據角平分線的定義求得、的度數，再依據求解即可；
（3）依據角平分線的定義求得、的度數，再依據求解即可；
【拓展】依據角平分線的定義求得、的度數，再依據，便可得結果；
【拓展提問1】依據角平分線的定義求得、的度數，再依據，便可得結果
【拓展提問2】依據角平分線的定義求得．所以，又因為，代入即可得出結論．
【詳解】解：（1）平分，平分，
，，
；
（2），，平分，平分，
；
（3），
理由：因為平分，平分，
所以．
所以 ．
【拓展提問1】
解：成立．
理由：因為平分平分，
所以．
所以 ．
【拓展提問2】
解：，
理由：因為平分平分，
所以．
所以，
因為，
所以，
∴．
【點睛】本題主要考查與角平分線有關系的計算，熟練掌握圖形中相關角之間的和、差、倍、分的關系是解題的關鍵．
22．
【分析】根據方向角的定義得到，，再求出，根據角的和差計算即可．
【詳解】解：由題意可得：，，
∴，
又∵，
∴．

【點睛】本題考查方向角，理解方向角的定義以及角的和差關系是正確解答的前提．
23．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本題主要考查角度的和差計算，涉及角平分線的性質，分類討論思想等，根據射線的位置不確定，進行分類討論是解題關鍵．
（1）由角平分線的性質可得的度數，再根據可得結論；
（2）需要分兩種情況進行討論，①當點在的右側時；②當點在的左側時，畫出圖形，根據角度之間的和差關系計算即可；
（3）根據題意分兩種情況，當和時，畫出圖形，根據角度的和差運算進行計算即可．
【詳解】（1）解：，平分，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，設旋轉時間為，
①當點在的右側時，，
，
；
；
②當點在的左側時，，
，
；
綜上，旋轉一共用了或；
（3）解：為或．
當時，如圖，
，
，
，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，
解得；
當時，如圖，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
解得；
綜上，為或．
24．見解析
【分析】本題考查了角平分線的定義，以及等角的余角相等，補角的定義，熟練掌握角平分線的定義，以及等角的余角相等是解題的關鍵．根據角平分線的定義得，然后根據等角的余角相等逐步推理證明即可求證是的平分線．
【詳解】證明：∵，
∴，
又∵平分，
∴．（角平分線的定義）
∵，
∴．（等角的余角相等）
∴是的平分線．
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