資源簡介

荊州中學 2025－2026 學年高三上學期 8 月月考
數學試題
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的．
1. 若復數 z滿足 iz 1 i，則 z的虛部為（ ）。
A. 1 B. i C. 1 D. i
2.已知 A x log2x 1 2，B x y 1 x ，則 A B （ ）。
A. 1,2 1 1 B. ,1 C. ,1 D. 0,2 2 2
3. 2a 2b是 a b的（ ）。
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
2
4. y與雙曲線 x2 1有相同的漸近線，且過點 (2,2)的雙曲線方程為（ ）。
4
2 2 2
A x y 1 B y x
2
1 C x
2 y2 2 2
． ． ． 1 D y x． 1
2 8 3 12 3 12 2 8

5.已知單位向量 a,b 滿足 2a b 2,則 a 2b （ ）。
A.2 B. 5 C. 6 D. 2 2
1
6. 已知 f (x)為定義在 R上的奇函數，當 x 0時， f (x) a．若 f (x)在 ( , )上單調遞減，
x 1
則實數 a的取值范圍為（ ）。
A. ( ,1) B. (1, ) C. ( ,1] D.[1, )
7. 設事件 A每次成功的概率為 p，現進行 3次獨立重復試驗，如果在事件 A至少成功 1次的條件下，3次
1
試驗全部成功的概率為 ，則 p的值為（ ）。
7
4 3 2 1
A. B. C. D.
5 5 3 2
8.已知函數 f (x) x3 ax2 bx c(a 0)且 f (0) f (0) 0關于函數 f (x),有下列四個命題:
甲: x 1是 f (x)的極值點; 乙:3是 f (x)的零點;
丙: f (x)在區間 0, 2 單調遞減; 丁: f (x)在 4, 單調遞增.
如果只有一個假命題，則該命題是（ ）。
A.甲 B. 乙 C.丙 D.丁
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二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題
目要求．全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分．
9.已知函數 f (x) sin(x ) sin(x ),k Z ,則（ ）。
4 4

A.函數 f (x )為偶函數 B. f (x)的最大值為 2
2
f (x) , y f (x) k C. 在區間

單調遞增 D.曲線 關于 , 0 對稱
4 4 2
10. 下列說法中，正確的有（ ）。
A. 兩個變量線性相關性越強，則相關系數 r就越接近于 1
B. 1 2x 6的展開式中， x3的系數是 160
1
C. 設隨機變量 服從正態分布 N ,12
，若 P 1 p，則 P 0 1 1 2p

D. 用數字 0，1，2，3，4組成的無重復數字的四位數中，偶數的個數為 60
a
11. n * 2已知點 An , yn n N 在焦點為 F 1,0 的拋物線 y 2px p 0 上，其中 an 是各項均不為
n
零的數列且a1 1．若 An 1F AnF 1，則（ ）。
A. a 2n n B. 數列 ln an 為等差數列
2n
i 1
C. 1 ai 2n2 n D. ln an n (n 2)
i 1 n
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12.若 tan tan 1,則cos( ) 。
13.已知直線 l : y 3x a與圓C : x2 ( y 1)2 4交于 A,B兩點，寫出滿足“ ACB 120 ”的 a的一
個值: 。
14.有 6個相同的球，分別標有數字 1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機取球,若存在1 k 3, k為整數，
使得標有數字 2k 1和 2k 的球均已被取出 ,則停止取球 .記 X 為取出的球的個數，則 X 的數學期望
E(X ) 。
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四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.記 ABC的內角 A,B,C的對邊分別為 a,b,c, 2 2 2已知 a b c ab,C B 3A.
（1）求 B;
（2）C的角平分線交 AB于點D，若CD 2,求 BCD的周長.
16. 如圖，三棱臺 ABC A1B1C1中， ABC是正三角形，A1A 平面 ABC，AB 2A1A 2A1C1 4，M，
N分別為棱 AB,B1B的中點.
（1）證明： B1B 平面MCN ；
（2）求直線C1C與平面MCN 所成的角的正弦值.
17. 隨著短劇在短視頻平臺的爆發式增長，為其輸送內容創作動能的網絡文學用戶規模也持續增加，
目前中國網絡文學用戶已超過整體網民數量的一半.為了解不同性別的網民對網絡文學的喜歡情況，
隨機調查了 200名網民，得到如下數據.
男性網民 女性網民 合計
喜歡網絡文學 45 60 105
不喜歡網絡文學 55 40 95
合計 100 100 200
(1)判斷是否有 99%的把握認為是否喜歡網絡文學與性別有關；
(2)某網絡文學平臺組織網民進行文學挑戰賽，分成甲、乙兩組進行挑戰，其規則如下：每次挑戰
時平臺給出文學作品主題要求，甲組與乙組各選出一篇本組優秀作品參加挑戰賽，然后由平臺組
3
織專家打分確定勝負.根據以往經驗，甲組第 1次挑戰賽獲勝的概率為 ，若甲組上一次挑戰賽獲
5
1
勝，則下一次挑戰賽獲勝的概率為 ；若甲組上一次挑戰沒有獲勝，則下一次挑戰賽獲勝的概率
3
2
為 ,已知按此規則進行了多次挑戰賽，每次挑戰有且僅有 1個組獲勝.
3
(i)在進行了 3次挑戰賽后，求乙組獲勝次數 X的分布列與數學期望；
(ii)若第 n次挑戰時甲組獲勝的概率為 an ，求 an 的通項公式，并求出使 an (
149 , 1)的n
300 2
的最小值.
附 2 =
2
( + ) + + + ,其中 n=a+b+c+d.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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2 2
18 . x y 3已知 O為坐標原點，橢圓C : 2 2 1(a b 0)的離心率 e ，橢圓 C的左、右焦點分別為 F1，F ，a b 2 2
焦距為2 3．定義橢圓 C上點 P(x0 ,y0)的“和點”為Q x0 y0 ,x0 y0 ．
(1)求橢圓 C的方程；
(2)記 OP，OQ的斜率分別為 k1， k2，求 k1k2的取值范圍；
(3)若直線 l交橢圓 C于 A，B兩點，點 A，B的“和點”分別為 A1，B1，且OA1 OB1，求△OAB面積的最大
值．
19. 已知函數 f (x) nx xn , x R,其中 n N ,且 n 2.
（1）討論 f (x)的單調性；
（2）設曲線 y f (x)與 x軸正半軸的交點為 P,曲線在點 P處的切線方程為 y g(x),求證:對于任意的正
實數 x ,都有 f (x) g(x);
a
（3）若關于 x的方程, f (x) a（ a為實數)有兩個正實數根 x1, x2 ,求證 x2 x1 2.1 n
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荊州中學 2025—2026 學年高三上學期 8 月月考
數學參考答案
1. A 2. B 3. B 4. C 5.C 6.D 7. D 8.A 9.AC 10.BCD 11.ACD
16
12.0 13. -1或3（填兩個值不扣分） 14.
5
a2 b2 c2 1
15. (1)解：由余弦定理有 cosC ,因為C (0, )故C , ………….2分
2ab 2 3
5
B 3A B 3 , 12由 解得 ,
A B

A
3 4 ...........................6分

(2)解：由角平分線有 BCD ,則 BDC 5 5 ,則a CD 2; ………….7 分
6 6 12 12
sin 5 sin( ) 2 6因為 ，在 BCD a BD中 由正弦定理知 =
12 4 6 4 ， sin 5 sin
12 6
解得BD= 6 2 ………….10分
故 BCD的周長為 4+ 6- 2 ...........................13分
16.（1）因為 ABC是正三角形，M為 AB 中點，所以 CM⊥AB，
因為 A1A 平面 ABC,CM 平面 ABC，所以CM A1A，
又 A1A AB A, A1A, AB 平面 A1ABB1,
所以CM 平面 A1ABB1,又因為B1B 平面 A1ABB1，所以CM B1B，
2 2
連接 AB1，易得 AB1 B1B 2 2，所以 AB AB1 B
2
1B ，所以 AB1 B1B，
又因為 AB1 / /MN，所以MN BB1，
因為MN CM M ，MN ,CM 平面MCN ，
所以 B1B 平面MCN . ...............................6分
（2）取 AC中點 O，連接 BO,C1O，易知OB,OC,OC1三條直線兩兩垂直，
以 O為坐標原點，OB,OC,OC1所在直線分別為 x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則B1( 3, 1,2), B(2 3,0,0),C(0,2,0),C1(0,0,2)， .............................10分
由（1）知平面MCN 的一個法向量為 B1B ( 3,1, 2)，又C1C (0,2, 2)， ………….12分
B1B C1C
所以 cosB1B,C
6 3
1C ， ………….14分
B1B C1C 2 2 2 2 4
所以直線C
3
1C與平面MCN所成的角的正弦值為 ． ...............................15分4
2 200 （45 40-60 55）2
17.解：（1）根據列聯表中的數據，得 = 4.511 6.635100 100 105 95
所以沒有得把握認為是否喜歡網絡文學與性別有關 ..............................3分
（2）（i）X得可能取值為 0,1,2,3
P(X 0) 3 1 1 1
5 3 3 15
P(X 1) 2 2 1 3 2 2 3 1 2 22
5 3 3 5 3 3 5 3 3 45
P(X 2) 2 1 2 2 2 2 3 2 1 2
5 3 3 5 3 3 5 3 3 5
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P(X 2 1 1 2 3)
5 3 3 45 ..............................7分
所以 X得分布列為
X 0 1 2 3
P 1 22 2 2
15 45 5 45
......................8分
0 1 1 22 2 2 64 2 3
E(X ) 15 45 5 45 45 ................................9分
3 1 2 1 2
(ii)由題意得a1= ，a = a (1 a ) a ………….11分5 n 1 3 n 3 n 3 n 3
a 1 1所以 n 1 (a
1
)
2 3 n 2
a 1 1又因為 1 2 10

所以數列 a
1 1 1
n

是首項為 公比為 的等比數列
2 10， 3
1 1 1
所以 an ( )
n 1
2 10 3 ................................12分
n 1 1 1 n 1 1當 為奇數時， an ( ) ，不合題意 ………………….13分2 10 3 2
當 n為偶數時， a 1 1 1 ( )n 1n 2 10 3
149 1 1 1 1
令 ( )n 1 3n 1，得 30
300 2 10 3 2
取n 6,得35 30
所以 n的最小值為 6 ...............................15分

e c 3 a 2
18.解：（1）由題意 a 2 ，解得 ，所以b2 4 3 1，
c 3
2c 2 3


x2
所以橢圓 C的方程為 y2 1． .............................. .4分
4
2
y0 y 0

2
2 x x

（ ）由題意 k k y x y x y y 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 x0 x
2
0 y0 x0 x0 y0 1 y ， 0
x0
y 20 t 3t 2 2
令 1 t t 0 x ，則 k1k2 t 3，0 t t
t 0 y t 2 t 2 2 t 2當 時， 2 2，當且僅當 t 2 取等號；t t t
2 2
當 t 0時， y t 2 t 2 2，當且僅當 t 2 取等號；t t
所以 k1k2 3 2 2或 k1k2 3 2 2，
即 k1k2的取值范圍為 ,3 2 2 3 2 2, ． ...........................10分
（3）方法一：①當 l斜率不為 0 時，
設直線 l : x my n， A x1,y1 ， B x2 ,y2 ，則 A1 x1 y1,x1 y1 ，B1 x2 y2 ,x2 y2 ，
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x my n 2 2 2
x2 4y2
m 4 y 2mny n 4 0，
4

Δ 4m2n2 4(m2 4)(n2 4) 16(m2 n2 4) 0

y y 2mn ， …………………………12分1 2 2
m 4
n2 4
y y 1 2 m2 4
OA1 OB1， OA1 OB1 0，
所以 x1 y1 x2 y2 x1 y1 x2 y2 0，即 x1x2 y1y2 0，
2
m2 1 y y mn y y n2 0 n 4 2mn所以 1 2 1 2 ，代入得 m2 1 2 mn 2 n2 0，m 4 m 4
5n2 4m2 4（*） ……………………………………14分
2
AB 1 m2 x x 1 m2 4 m n
2 4
∣ ∣ ，O到直線 l的距離 d
∣n∣

1 2 ，m2 4 1 m2
n2 m2 n2 4
1 2 n m2 n2
2
4 2 n m2 n2 4 2 ，∣∣
S AOB AB d 22 m2
1
4 m2 4 m2 4
m 2
當且僅當 n2 m2 n2 4，即 時取“=”． …………………………16分
n 2
l y t②當 斜率為 0 2 2時，設直線 l : y t，聯立 x2 2 x 4 4t ， 4y 4
x x 4t 2 4, y y t2則 1 2 1 2 ，
由 x1x2 y1y2 0得4t 2 4 t 2 0，解得 t
2 4 ，
5
所以 S
1
AOB t x
4
1 x2 t x1 t 2 4 4t
2 1，
2 5
綜上： (S AOB )max 1． ..............................17分
方法二：設 A x1,y1 ， B x2 ,y2 ， A1 x1 y1,x1 y ，B x y 1 1 2 2
,x2 y2 ，
由OA1 OB1 OA1 OB1 0，
x1 y1 x2 y2 x1 y1 x2 y2 0 x1x2 y1y2 0， OA OB，
B cos π , sin π
設OA 1 OB 2 A cos , sin
2 2
， ，其中 1 1 ， 2 2 ，
21 cos
2

2
1 sin
2 1
即B 2 sin , 2 cos
4
，
2
，
2sin
2 2 2
cos 1 4 2
1 1 5 4
2 2
2 1
1 4
1 2
2 5



1 2 ，
S 1 2

2
1 1 1 4
AOB 2 1 2

5
2
1
S 1
2 2 5 △AOB，而 2 ， ，
1 1
當且僅當 1 2 2 1 S 2或 2即 1 ， 2 或 1 ， 2 時， AOB取最大值 1．2
19. n（1）由于 f (x) nx x ,
可得 f (x) n nxn 1 n(1 xn 1),其中 n N ,且n 2. ……………………1分
下面分兩種情況討論:
(1)當 n為奇數時,令 f (x) 0,解得 x 1，或 x 1,
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當 x變化時， f (x), f (x)的變化情況如下表:
x , 1 1, 1 1,
f (x) – + –
f (x) ↘ ↗ ↘
所以, f (x) 在 , 1 , (1, )上單調遞減,在 1,1 單調遞增 ..........................3分
(2)當n為偶數時,
當 f (x) 0,即 x 1時,函數 f (x)單調遞增；
當 f (x) 0,即 x 1時,函數 f (x)單調遞減；
所以, f (x)在 ,1 單調遞增,在 1, 上單調遞減； ..........................5分
1
(Ⅱ )證明 :設點 P 的坐標為 x0 ,0 , 則 x0 n n 1 , f (x0 ) n n2 , 曲線 y f (x) 在點 P 處的切線方程為
y f (x0 )(x x0 ),
即 g(x) f (x0 )(x x0 ),
令F (x) f (x) g(x),即F (x) f (x) f (x0 )(x x0 ),
則F (x) f (x) f (x0 ).
由于 f (x) nxn 1 n在 0, 上單調遞減,
故F (x)在 0, 上單調遞減,
又因為F (x0 ) 0，所以當 x (0, x0 )時 ,F (x) 0,當 x (x0 , )時, F (x) 0,
所以 F (x)在 (0, x0 )內單調遞增,在 x0 , 上單調遞減，
所以對應任意的正實數 x ,都有 F (x) F (x0 ) 0,
即對于任意的正實數 x ,都有 f (x) g(x). ..............................11分
(Ⅲ)證明:不妨設 x1 x2 ,
由(Ⅱ)知 g(x) (n n2 )(x x0 ),
a設方程 g(x) a的根為 x2 ,可得 x2 xn n2 0
,
由(Ⅱ)知 g (x ) f (x ) a g (x ),可得 x x 2 2 2 2 2 .類似地,設曲線 y f (x)在原點處的切線方程為 y h(x),可得
h(x) nx,當 x (0, ), f (x) h(x) xn 0,
即對于任意的 x (0, ), f (x) h(x), a設方程 h(x) a 的根為 x2 ,可得 x2 ,n
因為 h(x) nx在 ( , )上單調遞增,且 h(x 2 ) a f (x1) h(x1),
因此 x 2 x1,
由此可得: x x x x a2 1 2 1 x ,1 n 0
1
因為 n 2,所以 2n 1 (1 1)n 1 1 C1 n 1n 1 1 n 1 n,故: 2 n x0.
a
所以: x2 x1 2.1 n ...................................17分
數學參考答案 第 4 頁 共 4 頁

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