資源簡介

五年級數(shù)學(xué)下冊《3 的倍數(shù)的特征》教案
一、課程基本信息
教材版本：人教版五年級數(shù)學(xué)下冊
單元定位：第二單元 “因數(shù)與倍數(shù)” 第 4 課時(shí)，承接 2、5 的倍數(shù)特征，為后續(xù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)、公倍數(shù)與公因數(shù)學(xué)習(xí)奠定數(shù)論基礎(chǔ)
核心素養(yǎng)：發(fā)展合情推理與演繹推理能力，積累 “觀察 — 猜想 — 驗(yàn)證 — 歸納” 的數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)
二、大單元設(shè)計(jì)框架（問題驅(qū)動(dòng)式）
單元核心問題
“如何通過數(shù)的特征快速判斷整數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系？”
單元架構(gòu)
問題導(dǎo)入層：從生活分組（如 24 人分 3 組、18 人分 5 組）引發(fā)認(rèn)知沖突，提出 “判斷倍數(shù)是否有簡便方法” 的核心疑問
特征探究層：分課時(shí)探究 2、5、3 的倍數(shù)特征，形成 “個(gè)位觀察（2、5）— 數(shù)位和觀察（3）” 的探究路徑
綜合應(yīng)用層：結(jié)合奇數(shù)、偶數(shù)概念，解決 “組數(shù)”“分組” 等實(shí)際問題，構(gòu)建 2、3、5 倍數(shù)特征的關(guān)聯(lián)認(rèn)知
拓展遷移層：延伸至 “棄 3 法”“數(shù)的組成與倍數(shù)關(guān)系”，為后續(xù)學(xué)習(xí)鋪墊
三、教材與學(xué)情分析
教材分析
本課時(shí)打破 2、5 倍數(shù) “看個(gè)位” 的思維定式，通過 100 以內(nèi)數(shù)表的圈畫、斜向觀察，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn) “數(shù)位和是 3 的倍數(shù)” 這一本質(zhì)特征。教材還通過數(shù)的組成分解（如 2485=2×999+4×99+8×9+2+4+8+5），揭示 “為什么看數(shù)位和” 的數(shù)學(xué)原理，體現(xiàn)從現(xiàn)象到本質(zhì)的探究邏輯，是單元中 “突破思維定式、深化數(shù)論理解” 的關(guān)鍵課時(shí)。
學(xué)情分析
學(xué)生已掌握 “2、5 的倍數(shù)看個(gè)位” 的方法，易形成 “所有倍數(shù)特征都看個(gè)位” 的思維定式；具備初步的觀察、歸納能力，但對 “數(shù)位和與倍數(shù)關(guān)系” 的邏輯推導(dǎo)存在困難。需通過 “打破猜想 — 驗(yàn)證規(guī)律 — 原理推導(dǎo)” 的環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)修正認(rèn)知。
四、教學(xué)目標(biāo)
經(jīng)歷 “猜想 — 驗(yàn)證 — 歸納” 的過程，掌握 “一個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)的和是 3 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是 3 的倍數(shù)” 的特征，能運(yùn)用該特征及 “棄 3 法” 判斷一個(gè)數(shù)是否為 3 的倍數(shù)
通過數(shù)的組成分解，理解 “判斷 3 的倍數(shù)看數(shù)位和” 的數(shù)學(xué)原理，能結(jié)合 2、5 的倍數(shù)特征解決 “組數(shù)”“分組” 等綜合問題
在思維碰撞中發(fā)展邏輯推理能力，體會(huì)數(shù)學(xué)探究的嚴(yán)謹(jǐn)性
五、教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)
歸納 3 的倍數(shù)特征：一個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)的和是 3 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是 3 的倍數(shù)
能綜合 2、3、5 的倍數(shù)特征解決實(shí)際問題
重點(diǎn)本質(zhì)：3 的倍數(shù)特征是數(shù)的 “數(shù)位和” 與 3 的整除關(guān)系，區(qū)別于 2、5 基于 “個(gè)位數(shù)字” 的整除關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)的組成與整除性的深層關(guān)聯(lián)，是單元中 “倍數(shù)特征探究” 的思維轉(zhuǎn)折點(diǎn)。
教學(xué)難點(diǎn)
理解 “判斷 3 的倍數(shù)看數(shù)位和” 的原理（通過數(shù)的組成分解推導(dǎo)）
打破 “看個(gè)位” 的思維定式，主動(dòng)運(yùn)用 “數(shù)位和” 判斷
難點(diǎn)地位：突破此難點(diǎn)能幫助學(xué)生建立 “具體特征 — 數(shù)學(xué)原理” 的認(rèn)知鏈條，為后續(xù)學(xué)習(xí) “9 的倍數(shù)特征”（類比 3 的特征）及 “數(shù)的整除性質(zhì)” 奠定基礎(chǔ)。
六、教學(xué)方法
探究式教學(xué)法：通過 “猜想 — 驗(yàn)證 — 修正” 引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)特征
演繹推理法：結(jié)合數(shù)的組成分解，推導(dǎo)特征背后的數(shù)學(xué)原理
合作交流法：通過小組討論、板演點(diǎn)評，促進(jìn)思維碰撞
七、教學(xué)過程
（一）舊知引疑，打破定式（環(huán)節(jié)名：猜想破局）
師：我們已經(jīng)知道 2、5 的倍數(shù)特征，誰能快速判斷這兩個(gè)數(shù)是否為 2 或 5 的倍數(shù)？（板書：24、65）
生 1：24 個(gè)位是 4，是 2 的倍數(shù)；65 個(gè)位是 5，是 5 的倍數(shù)。
師：判斷 2、5 的倍數(shù)，我們只看哪個(gè)數(shù)位？
生（齊）：個(gè)位！
師：那 3 的倍數(shù)是不是也看個(gè)位呢？請大家猜想：個(gè)位是 3、6、9 的數(shù)是 3 的倍數(shù)嗎？（板書：13、26、49）
（學(xué)生獨(dú)立判斷，部分學(xué)生通過除法驗(yàn)證）
生 2：13÷3=4……1，不是 3 的倍數(shù)；26÷3=8……2，也不是；49÷3=16……1，也不是！
師：看來 “看個(gè)位” 的方法不適用 3 的倍數(shù)，那 3 的倍數(shù)到底有什么特征？這節(jié)課我們就來探究。
設(shè)計(jì)意圖：通過 “猜想 — 驗(yàn)證 — 否定” 的環(huán)節(jié)，打破學(xué)生的思維定式，激發(fā)探究欲望。
（二）探究特征，歸納規(guī)律（環(huán)節(jié)名：特征探究）
1. 初步觀察，提出猜想
師：請大家在 100 以內(nèi)數(shù)表中圈出 3 的倍數(shù)，觀察圈出的數(shù)：橫著看，個(gè)位數(shù)字有規(guī)律嗎？斜著看呢？（學(xué)生獨(dú)立圈數(shù)，小組討論）
生 3：橫著看，個(gè)位數(shù)字 0-9 都有，沒規(guī)律；斜著看，比如 3、12、21、30，它們的數(shù)位和都是 3（3=3，1+2=3，2+1=3，3+0=3）！
師：其他斜行的數(shù)呢？比如 6、15、24、33？
生 4：6=6，1+5=6，2+4=6，3+3=6，數(shù)位和都是 6，也是 3 的倍數(shù)！
師：大家能提出什么猜想？
生（齊）：數(shù)位和是 3 的倍數(shù)的數(shù)，是 3 的倍數(shù)！
2. 舉例驗(yàn)證，修正猜想
師：請大家找 3 個(gè) 100 以外的數(shù)，驗(yàn)證這個(gè)猜想。比如 114：1+1+4=6，6 是 3 的倍數(shù)，114 是 3 的倍數(shù)嗎？
生 5：114÷3=38，是 3 的倍數(shù)！我找的 855：8+5+5=18，18 是 3 的倍數(shù)，855÷3=285，也是 3 的倍數(shù)！
師：有沒有反例？比如 365：3+6+5=14，14 不是 3 的倍數(shù)，365 是 3 的倍數(shù)嗎？
生 6：365÷3=121……2，不是！所以猜想是對的！
師：誰能完整歸納 3 的倍數(shù)特征？
生 7：一個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)的和是 3 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是 3 的倍數(shù)?。ń處煱鍟?，用紅色標(biāo)注）
3. 原理推導(dǎo)，深化理解
師：為什么判斷 3 的倍數(shù)要看數(shù)位和？我們以 2485 為例，結(jié)合數(shù)的組成分析（板書：2485=2×1000+4×100+8×10+5）。1000、100、10 可以寫成什么形式？
生 8：1000=999+1，100=99+1，10=9+1！
師：沒錯(cuò)！那 2485 可以改寫為（板書）：
2485=2×(999+1)+4×(99+1)+8×(9+1)+5
=2×999+2×1+4×99+4×1+8×9+8×1+5
= (2×999+4×99+8×9) + (2+4+8+5)
師：觀察這兩部分，999、99、9 都是 3 的倍數(shù)，所以第一部分是 3 的倍數(shù)。那整個(gè)數(shù)是否為 3 的倍數(shù)，取決于哪部分？
生（齊）：取決于第二部分，也就是 2+4+8+5，也就是各數(shù)位上的數(shù)的和！
師：這就證明了我們歸納的特征是正確的！
設(shè)計(jì)意圖：通過 “觀察 — 猜想 — 驗(yàn)證 — 推導(dǎo)”，讓學(xué)生從 “知其然” 到 “知其所以然”，突破難點(diǎn)。
（三）綜合應(yīng)用，強(qiáng)化能力（環(huán)節(jié)名：應(yīng)用提升）
1. 基礎(chǔ)練習(xí)：用特征判斷
師：快速判斷下列數(shù)是否為 3 的倍數(shù)，有困難的可以用 “棄 3 法”（先劃去數(shù)位上是 3 的倍數(shù)的數(shù)，再算剩余數(shù)的和）。（板書：92、75、237、3051）
（學(xué)生獨(dú)立判斷，2 名學(xué)生板演過程）
生 9（板演）：92：9 是 3 的倍數(shù)，劃去，剩 2，2 不是 3 的倍數(shù)→92 不是；75：7+5=12，12 是→75 是。
師：點(diǎn)評一下，這位同學(xué)用了 “棄 3 法”，簡化了計(jì)算，很高效！另一位同學(xué)說說 237 和 3051？
生 10（板演）：237：2+3+7=12→是；3051：3 和 0 是 3 的倍數(shù)，劃去，5+1=6→是。
師：完全正確！“棄 3 法” 是判斷較大數(shù)的便捷方法，核心還是看 “剩余數(shù)的和是否為 3 的倍數(shù)”。
2. 綜合練習(xí)：組數(shù)問題
師：用 4、3、5、0 四張卡片取三張組成三位數(shù)，滿足：（1）是 3 的倍數(shù)；（2）同時(shí)是 2、3、5 的倍數(shù)。小組討論后，派代表板演結(jié)果。
（小組討論后，1 組板演）
生 11（板演）：（1）3 的倍數(shù)：345（3+4+5=12）、354、435、453、534、543、450（4+5+0=9）、405、540、504；（2）同時(shí)是 2、3、5 的倍數(shù)：450、540（個(gè)位是 0，且數(shù)位和是 3 的倍數(shù)）。
師：為什么同時(shí)是 2、3、5 的倍數(shù)只有這兩個(gè)？
生 12：同時(shí)是 2 和 5 的倍數(shù)，個(gè)位必須是 0，再看剩下的數(shù)字（4、5）的和是 9，是 3 的倍數(shù)，所以只有 450 和 540。
師：思路很清晰！綜合特征時(shí)，要先找 “共同限制條件”（如個(gè)位 0），再結(jié)合其他特征判斷。
3. 實(shí)際應(yīng)用：分組問題
師：22 名學(xué)生分組做游戲，至少再來幾名學(xué)生能正好 3 人一組？請用 3 的倍數(shù)特征解決。
生 13：22 各數(shù)位和是 2+2=4，4 不是 3 的倍數(shù)，比 4 大的最小 3 的倍數(shù)是 6，6-4=2→至少來 2 人。
師：驗(yàn)證一下？22+2=24，24 是 3 的倍數(shù)嗎？
生（齊）：24÷3=8，是！
設(shè)計(jì)意圖：通過基礎(chǔ)、綜合、實(shí)際三類練習(xí)，分層強(qiáng)化特征應(yīng)用，兼顧不同學(xué)情。
（四）總結(jié)梳理，關(guān)聯(lián)單元（環(huán)節(jié)名：歸納升華）
師：對比 2、3、5 的倍數(shù)特征，它們的判斷依據(jù)有什么不同？
生 14：2、5 看個(gè)位，3 看數(shù)位和！
師：我們還理解了 3 的倍數(shù)特征的原理 —— 基于數(shù)的組成分解，99、999 都是 3 的倍數(shù)，所以數(shù)位和決定了數(shù)是否為 3 的倍數(shù)。課后可以思考：9 的倍數(shù)特征可能是什么？（提示：類比 3 的特征）
設(shè)計(jì)意圖：關(guān)聯(lián)單元知識，為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆，構(gòu)建單元知識網(wǎng)絡(luò)。
（五）課后作業(yè)
基礎(chǔ)題：用 “棄 3 法” 判斷 1234、5678、9999 是否為 3 的倍數(shù)
綜合題：用 1、2、3、6 組成同時(shí)是 2、3、5 的倍數(shù)的四位數(shù)（數(shù)字不重復(fù)），能組成幾個(gè)？
拓展題：推導(dǎo) 9 的倍數(shù)特征，并舉例驗(yàn)證
八、教學(xué)反思
本節(jié)課通過 “打破定式 — 探究特征 — 推導(dǎo)原理” 的環(huán)節(jié)，有效突破重難點(diǎn)：多數(shù)學(xué)生能掌握 3 的倍數(shù)特征，并用 “數(shù)位和” 判斷；通過數(shù)的組成分解，約 70% 的學(xué)生理解了特征原理。但仍有部分學(xué)生在綜合應(yīng)用時(shí)，會(huì)遺漏 “2、5 的倍數(shù)特征限制”（如組數(shù)時(shí)忘記個(gè)位 0）。后續(xù)需增加 “多特征綜合判斷” 的對比練習(xí)，強(qiáng)化 “先找共同條件” 的思維習(xí)慣。

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