資源簡介

2024-2025學年重慶一中九年級（下）消化作業數學試卷（四）
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列各數中，無理數是（　　）
A. -4 B. C. 0.12 D.
2.如圖所示，用KT板制作的“中”字的俯視圖是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.一次函數y=（m+3）x+2中若y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是（　　）
A. m≤-3 B. m＞-3 C. m≥-3 D. m＜-3
4.如圖，直線l1∥l2，Rt△ABC的直角頂點B在直線l2上，AC，BC分別交直線l于點D，點E.若∠C=35°，DE=CE，則∠1的度數是（　　）
A. 30°
B. 15°
C. 25°
D. 20°
5.下列命題中，是真命題的是（　　）
A. 若|a|=|b|，則a=b B. 若a＞b,則ac＞bc
C. 兩直線平行，內錯角相等 D. 相等的角是對頂角
6.如圖，點A、B分別在反比例函數，圖象上，點C在x軸的負半軸上，若平行四邊形ACOB的面積是4，則k的值為（　　）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
7.如圖，用正方形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規律排列下去，則第⑨個圖案中正方形的個數為（　　）
A. 37 B. 41 C. 45 D. 49
8.如圖，矩形ABCD內接于⊙O，分別以AB、BC、CD、AD為直徑向外作半圓.若AB=4，BC=5，則陰影部分的面積是（　　）
A. π-20
B. π-20
C. 20π
D. 20
9.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點M為AB邊的中點，AE⊥MD于點E，AF⊥BE，交BE的延長線于點F，則的值為（　　）
A. 2
B.
C.
D.
10.把1，2，…，2n這2n個正整數任意分成n組（n為正整數），每組兩個數，現將每組兩個數中的一個記為x,另一個記為y,代入代數式|x-y|-x-y中進行計算并求出結果，將這n組都代入后，可求得n個值，將這n個值的和記為Mn，下列說法：①當n=2時，Mn有3種不同的結果；
②當n=3時，這個代數式的最小值為-10；
③當n=11時，Mn的最小值為-253.
其中正確的個數為（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。
11.計算：= ______.
12.春節期間，小巴和小蜀為各自的母親買一束鮮花，現有三種鮮花可供選擇：康乃馨、郁金香和薰衣草，兩人恰好選擇到同種鮮花的概率為______.
13.如圖，菱形ABCD中，AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于點H，且DH與AC交于G，則DH= ______.
14.若關于y的不等式組至少有2個奇數解，且關于x的分式方程有正整數解，那么符合條件的所有整數a的和為______.
15.如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，AO與⊙O交于點C，D是⊙O上一點，連接BD，CD，∠BDC=30°，延長AB至點F，使得，連接OF，過點B作BG⊥OF于點G，BG=2，則tan∠AFO為______，四邊形GOAB的面積為______.
16.對于一個四位自然數M，如果M滿足各個數位上的數字不全相同且均不為0，它的千位數字減去百位數字之差等于十位數字減去個位數字之差，那么稱這個數M為“均差數”.對于一個“均差數”M，將它的前兩位數減去后兩位數所得差記為s,將它的千位和十位構成的兩位數減去百位和個位構成的兩位數所得差記為t,規定：
，例如：M=9764，因為9-7=6-4，故：9764是一個“均差數”.所以：s=97-64=33，t=96-74=22，則：，則最大的均差數與最小的均差數之差為______；若自然數P，Q都是“均差數”，其中P=1000x+10y-515，Q=100m+n+2041（2≤x≤9，2≤y≤9，1≤m≤9，0≤n≤8，x,y,m），n都是整數），規定：，當F（P）-2F（Q）=8時，求k的最大值為______.
三、解答題：本題共8小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
計算：（1）；
（2）.
18.(本小題10分)
某校對九年級400名學生進行了一次體育測試，并從甲、乙兩個班中分別隨機抽取50名學生的測試成績進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.（用x表示成績，數據分成5組：A：30≤x＜34，B：34≤x＜38，
C：38≤x＜42，D：42≤x＜46，E：E：46≤x≤50）
乙班成績在D組的具體分數是：
42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 43 44 45 45
班級 甲 乙
平均數 44.1 44.1
中位數 44.5 m
眾數 n 42
方差 7.7 17.4
甲、乙兩班成績統計表
根據以上信息，回答下列問題：
（1）m= ______，n= ______；
（2）小明這次測試成績是43分，在班上排名屬中游略偏上，小明是甲、乙哪個班級學生？并說明理由；
（3）假設該校九年級學生都參加此次測試，成績達到45分及45分以上為優秀，估計該校本次測試成績優秀的學生人數.
19.(本小題10分)
如圖，小橘子在寒假的數學研修活動中，做了以下探究：在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O.
（1）尺規作圖：在CB的延長線上截取BE=BC，連接AE，再過點B作AE的垂線交AE于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：四邊形AOBF為矩形.
證明：∵BF⊥AE，
∴①______，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD=BC，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∵BE=BC，
∴②______，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ADBE為平行四邊形，
∴③______，
∴∠AFB+∠FBO=180°，
∴④______，
∴∠AFB=∠AOB=∠FBO=90°，
∴四邊形AOBF為矩形.
從以上探究過程中，小橘子進一步發現：若四邊形ABCD為矩形，在CB的延長線上截取BE=BC，連接AE，再過點B作AC的平行線，四邊形AOBF的形狀為⑤______.
20.(本小題10分)
除夕當天，小渝購入了A、B兩款電子泡泡機.購買A款花費800元，購買B款花費400元，其中B款的數量恰好是A款的，每個B款的價格比每個A款的價格低4元.
（1）請問A款泡泡機的與B款泡泡機的單價分別是多少元？
（2）元宵節當天，小渝決定再次購入一批電子泡泡機，其中購買A款的數量與第一次相同，購買B款的數量比第一次的購入量多個.此時A、B款兩泡泡機均漲價，每個A款的價格比第一次的價格高元，每個B款的價格比第一次的價格高元，最終第二次購買A、B兩款泡泡機的總費用只比第一次購買A、B兩款泡泡機的總費用多35a元，求a的值.
21.(本小題10分)
如圖1，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8.點D為線段AB上一點（點D與端點A、B不重合），AD=x,過點D作DE⊥BC于點E，點F在射線AC上，連接DF.△DAF的面積始終為3，線段DE的長為y1，線段AF的長為y2.
（1）請直接寫出y1，y2分別關于x的函數表達式，并注明自變量x的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標系中，畫出函數y1，y2的圖象，并分別寫出函數y1，y2的一條性質；
（3）結合函數圖象，請直接寫出y1≤y2時，x的取值范圍（近似值保留小數點后一位，誤差不超過0.2）.
22.(本小題10分)
如圖，海上有一座小島C，一艘游艇在海中自東向西航行，游艇在A處測得小島C在北偏西60°方向，半小時后游艇到達離小島C處60海里的B處，測得小島C在西北方向.
（參考數據：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求游艇每小時航行多少海里？（結果保留整數）
（2）由于游艇在B處突發故障，只能減速前行，于是立即以每小時30海里的速度沿北偏西75°方向航行，此航線記為l,與此同時，在航線l上D處的救援船立即以每小時40海里的速度沿北偏東60°方向前往小島C取維修材料（救援船取維修材料的時間忽略不計），當游艇在航線l上航行到離小島C最近的M處時停下來等待，救援船取到維修材料后立即以原速沿最近的路線前往M處.游艇到達M處后，再過多少小時救援船能到達M處？（結果精確到0.01）
23.(本小題10分)
如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx-3（a≠0）交x軸于點A、B，交y軸于點C，A（-1，0），對稱軸為直線，連接BC，過點O作OG∥BC交拋物線于點G，點K為y軸上的動點，連接DK、BK.
（1）求拋物線的表達式；
（2）點D是直線BC下方拋物線上的一動點，過點D作DE∥y軸交AG于點E，再過點E作EF⊥BC于點F，連接DF，當△DEF的面積最大時，求出此時點D的坐標及DK+BK的最小值；
（3）如圖2，在（2）的條件下，連接AC，將該拋物線沿射線CA方向平移個單位得新拋物線y′，點P為新拋物線y′上的一個動點，連接DP，DP與線段BC交于點Q，點I在y軸上且在點C下方，滿足∠CQD=∠ACO+∠DCI時，請求出符合條件的點P的坐標，并寫出簡要的求解過程.
24.(本小題10分)
在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D為邊AC上一點（不與端點重合），E為△ABC外一點，連接BD，DE，BE，使∠BED=45°.
（1）如圖1，點E在BD右側，DE交BC于點G，若BD=BG，∠ABD=α，求∠CBE的度數（用含α的代數式表示）；
（2）如圖2，點E在BD右側，若AD=BE，F為邊AB上一點，連接EF交BD于點O，若O為EF中點，求證：BF=DE；
（3）如圖3，點E在BD左側，若∠DBE=45°，點G，P，K分別為BC，AC，DE的中點，連接CE，AE，GK，將△BAE繞點B順時針旋轉α（0＜α＜90°）得到△BA′E′，連接A′P，E′D，使∠BA'P=30°，當BE+CE最小時，直接寫出的值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】cm
14.【答案】13
15.【答案】 6
16.【答案】8866
17.【答案】解：（1）原式=4a2-4ab+b2-2a2+4ab
=2a2+b2；
（2）原式=
=
=
=．
18.【答案】m=45，n=42； 小明是乙班級學生； 該校本次測試成績優秀的學生人數為188人．
19.【答案】見解析；
∠ AFB=90°，AD=BE，AF∥OB，∠FBO=90°，矩形．
20.【答案】解：（1）設A款泡泡機的單價是x元，則B款泡泡機的單價是（x-4）元，
根據題意得：=×，
解得：x=20，
經檢驗，x=20是所列方程的解，且符合題意，
∴x-4=20-4=16（元）．
答：A款泡泡機的單價是20元，B款泡泡機的單價是16元；
（2）根據題意得：（20+）×+（16+）×（+）=800+400+35a,
整理得：a2-12a=0，
解得：a1=0（不符合題意，舍去），a2=12．
答：a的值為12．
21.【答案】解：（1）∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==10，
∵AD=x,線段AF的長為y2，
∴xy2=3，
∴y2=（0＜x＜6）；
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴∠BED=∠A=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴=，即=，
∴y1=-x+（0＜x＜6）；
（2）函數y1，y2的圖象如圖所示，
函數y1的性質：y1隨x的增大而減小（答案不唯一）；
函數y2的性質：y2隨x的增大而減小（答案不唯一）；
（3）由圖象得，當y1≤y2時x的取值范圍是x≤1.8或x≥4.2．
22.【答案】解：（1）如圖，過點C作CE⊥AB于點E，
由題意，得BC=60海里，∠CAE=30°，∠CBE=45°，
在Rt△CBE中，
CE=BE=BC=30海里，
在Rt△CAE中，
AE==CE=30海里，
∴AB=AE-BE=30-30（海里），
∵航行時間為半小時，
∴航行速度為≈≈62（海里），
答：游艇每小時約航行62海里；
（2）過點C作CM⊥BD于點M，則點M為游艇等待地點，
由題意，得BC=60海里，∠CBM=75°-45°=30°，∠CDM=（90°-60°）+（90°-75°）=45°，
在Rt△CBM中，
CM=BC=30海里，
BM==CM=30海里，
在Rt△CDM中，
DC==CM=30海里，
∴游艇從B處航行到M處需要時間為==≈1.73（小時），
救援船從D-C-M需要時間為==≈1.81（小時），
∴游艇到達M處后，需等1.81-1.73=0.08（小時），
答：游艇到達M處后，再過多少0.08小時救援船能到達M處．
23.【答案】解：（1）拋物線過A（-1，0），對稱軸為直線，則點B（4，0），
則拋物線的表達式為：y=a（x-4）（x+1）=a（x2-3x-4），則-4a=-3，則a=，
則拋物線的表達式為：y=x2-x-3；
（2）由拋物線的表達式知，點C（0，-3），
由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y=x-3，
∵OG∥BC，則直線AE的表達式為：y=x,
設點D（m,mx2-mx-3），則點E（m,m），
則DE=-m2+3m+3，
∵作EF⊥BC，則直線FE的表達式為：y=-（x-m）+m,
聯立EF和BC的表達式得：x-，=-（x-m）+m,則xF=m+，
則△DEF的面積=DE×（xF-xE）=×DE，
故DE最大時，△DEF的面積最大，
而DE=-m2+3m+3，
故當m=2時，DE最大，即點D（2，-），
作點B關于y軸的對稱點為點T（-4，0），連接DT交y軸于點K，則點K為所求點，
理由：DK+BK=DT+KD=DT為最小，
則DK+BK的最小值DT為：=7.5；
（3）將該拋物線沿射線CA方向平移個單位得新拋物線y′，相當于拋物線向左平移1個單位向上平移3個單位，
則y′=（x+1）2-（x+1）-3+3=x2-x-，
由點C、D的坐標得，直線CD的表達式為：y=-x-3，
則∠DCI=∠OCB，
則∠ACO+∠DCI=∠COB+∠ACO=∠CQD，
則直線PD∥AC，
而直線BC的表達式為：y=x-3，
則直線PD的表達式為：y=（x-2）-，
聯立上式和新拋物線的表達式得：（x-2）-=x2-x-，
解得：x=1或-4，
即點P（1，-）或（-4，）．
24.【答案】（1）解：如圖，
∵BD=BG，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠E+∠BGE=180°，∠2+∠C+∠DGC=180°，∠BGE=∠DGC，∠E=∠A=∠C=45°，
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=∠A+∠ABD，∠4=∠1+∠E，
∴∠1+∠2+∠E=∠A+∠ABD，
∴2∠1=∠ABD，
∵∠ABD=α，
∴；
（2）證明：如圖，延長ED至M，使EM=AB，連接BM，作FN∥DE，交BD于N，
在△ABD和△EMB中，
∴△ABD≌△EMB（SAS），
∴BD=MB，∠ABD=∠M，
∴∠M=∠BDM，
∴∠ABD=∠BDM，
∵FN∥DE，
∴∠1=∠BDM，∠2=∠3，
∴∠1=∠ABD，
∴BF=NF，
在△OFN和△OED中，
∴△OFN≌△OED（ASA），
∴FN=ED，
∴BF=DE．
（3）解：作AF∥BC，在AB左側截取AF=AB，連接BF，EF，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAF=∠ABC=90°，∠F=∠ABF=45°，
∴，
∵∠ABF+∠EAB=∠DBE+∠EAB，即∠EBF=∠DBA，
∴△BEF∽△BDA，
∴∠1=∠BDA，
∵∠BDA=∠DBC+∠BCD，∠CBE=∠DBC+∠DBE，∠DBE=∠BCD=45°，
∴∠BDA=∠CBE，
∴∠1=∠CBE，
∴EF∥BC，
∴點A、E、F三點在同一直線上，
∴∠BAE=90°，即點E在直線AF上，且△ABE恒為直角三角形，
如圖，作點B關于直線AF的對稱點B'，連接B′E，B'C，
則BE+CE=B'E+CE≥B'E，
當B′、E、C三點共線時，BE+CE取值最小，
如圖，連接BP、GP、KP，作CQ⊥AQ于點Q，作EN⊥AD于點N，
∴∠ABC=∠BAE=∠Q=90°，AB=BC，∠DNE=∠BPD=90°，
∴四邊形ABCQ為正方形，
∵AB=AB'=CQ，∠B′=∠QCE，∠B′AE=∠Q，
∴△AB′E≌△QCE（ASA），
∴，即AB=2AE，
∵∠ABE+∠EBP=∠EBP+∠DBP=45°，
∴∠ABE=∠PBD，
∵∠BAE=∠BPD=90°，
∴△ABE∽△PBD，
∴，
∴，
即PB=2PD，
∵∠PBD+∠BDP=∠BDP+∠5=90°，
∴∠5=∠PBD，
∵∠BPD=∠DNE=90°，BD=DE，
∴△BDP≌△DEK（AAS），
∴BP=DN，
∴DN=2PD，
即點P為DN的中點，
∵點K為DE的中點，
∴PK是△DEN的中位線，
∴KP∥EN，
∴∠DPK=90°，
∴△BDP∽△DKP，
∴DP=2PK，
∵△ABC為等腰直角三角形，P為AC中點，
∴∠ABP=∠CBP=∠DBE=45°，
∵將△BAE繞點B順時針旋轉α（0＜α＜90°）得到△BA'E'，
∴△ABE≌△A'BE'，
∴A′B=AB，BE'=BE，∠BA'E'=∠BAE=90°，∠A'BE'=∠ABE，
∴，
∴，，，
∴，
∵∠A'BP=∠A'BE'+∠ABE'+∠ABP，∠E'BD=∠ABE+∠ABE'+∠DBE，
∴∠A′BP=∠E′BD，
∴△A'BP∽△E'BD，
∴∠2=∠3=30°，
作BM⊥DE'于M，
設，
∴BE'=2a,BM=a,，DM=a,
∴，，，，
作GS⊥BP 于S，
∴，，
∴，
∴．
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