資源簡介

2.1 認識實數（2）
第二章 實數
學習目標
1.了解實數的意義，能對實數按要求分類.(重點）
2.了解實數范圍內相關概念的意義.(重點）
3.了解實數與數軸上點的一一對應關系.能用數軸上
的點表示無理數.(難點）
一般地，不是有理數的數都是無限不循環小數嗎？為了研究這個問題，我們不妨看看有理數的小數表示有什么共同特征。
導入新課
情境引入
事實上，任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數.反過來，任何有限小數或無限循環小數也都是有理數.
把下列各數表示成小數，你發現了什么？
講授新課
無限不循環小數為無理數.
如π=3.14159265…，0.101 001 000 1…（兩個1之間依次多1個0）
1、有理數的小數描述：
2、有理數的常見形式：
1、整數.
2、分數.
3、有限小數.
有限小數和無限循環小數是有理數.
4、無限循環小數.
歸納小結
1、無理數定義：
3、無理數的常見形式：
無限不循環小數叫做無理數.
（1）具有特殊意義的數.
（2）具有特殊結構的數.
如：π
如：0.2020020002…（相鄰兩個2之間的0的個數逐次加1）
2、無理數的特征：
（1）無限、不循環、小數.
（2）不能化成分數.
（3）開方開不盡的數.
如：????
?
例 下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？
3.14，- ，0.57,0.1010001000001…（相鄰兩個1之間0的個數逐次加2）

. .
解：有理數有：3.14， ， 0.57；

. .
無理數有：0.1010001000001…
（相鄰兩個1之間0的個數逐次加2）.
有理數和無理數統稱為實數.
嘗試·思考
無理數和有理數一樣，也有正、負之分。
（1）請你把上面例題中的各數填入下面相應的集合內。
正數集合
負數集合
3.14，0.57,
0.1010001000001…
（1）按定義分：
實數
有理數
無理數：
整數
分數
0
正整數
負整數
正分數
負分數
有限小數和無限循環小數
無限不循環小數.
（2）還記得有理數的分類方法嗎?你能用類似的方法對實數進行分類嗎?
正實數
負實數
數實
負有理數
正有理數
0
負無理數
正無理數
0
正實數
負實數
（2）按性質分：
在實數范圍內 ，相反數、倒數、絕對值的意義和有理數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義完全一樣．
例如：
與 互為相反數
與 互為倒數
歸納小結
在實數范圍內，相反數、倒數、絕對值的意義與有理數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義完全一樣。實數和有理數一樣，可以進行加、減、乘除、乘方運算，而且有理數的運算法則與運算律對實數仍然適用。
例1.分別求下列各數的相反數、倒數和絕對值．
解：(1)因為 ＝－4，
所以 的相反數是4，倒數是 ，絕對值是4.
(2)因為 ＝15，
所以 的相反數是－15，倒數是 ，絕對值是15.
(3) 的相反數是－ ，倒數是 ，絕對值是 .
（1）a是一個實數，它的相反數為_____ ，絕對值為_____；
（2）如果a≠0，那么它的倒數為_____.
-a
|a|
歸納小結
（1）如圖，OA=OB，數軸上點A對應a，b中的哪個數？
（2）你能在數軸上找到另一個數對應的點嗎?與同伴進行交流。
－2
－1
0
1
2
B
A
前面討論的兩個正方形，邊長分別是，且滿足a2=2，b2=5。
1
思考·交流
－2
－1
0
1
2
-
每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；
反過來，數軸上的每一點都表示一個實數.
★實數和數軸上的點是一一對應的.
例2.如圖所示，數軸上A，B兩點表示的數分別為－1和 ，點B關于點A的對稱點為C，求點C所表示的實數．
解：因為數軸上A，B兩點表示的數分別為－1和3 ，
所以點B到點A的距離為1＋3 ，則點C到點A的距離為1＋3 ，
設點C表示的實數為x，則點A到點C的距離為－1－x，
所以－1－x＝1＋3 ，所以x＝－2－3
?
【方法梳理】當點C為點B關于點A的對稱點時，點C到點A的距離等于點B到點A的距離；兩點之間的距離為兩數差的絕對值．
例3.如圖所示，數軸上A，B兩點表示的數分別為
和5.1，則A，B兩點之間表示整數的點共有(　　)
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個
解析：因為2 ≈1.414，所以 2 和5.1之間的整數有2，3，4，5， 所以A，B兩點之間表示整數的點共有4個．
?
C
【方法總結】數軸上的點與實數一一對應，結合數軸分析，可輕松得出結論．
1.判斷題：
①實數不是有理數就是無理數. （ ）
③無理數都是無限小數. （ ）
④帶根號的數都是無理數. （ ）
⑤無理數一定都帶根號. （ ）
⑥兩個無理數之積不一定是無理數. （ ）
⑦兩個無理數之和一定是無理數. （ ）
⑧數軸上的任何一點都可以表示實數.（ ）
×
×
×
②無理數都是無限不循環小數. （ ）
√
√
√
√
√
當堂檢測
2.把下列各數填入相應的集合內：
（1）有理數集合{ …}；
（2）無理數集合{ …}；
（3）正實數集合{ …}；
（4）負實數集合{ …}.
0.15.
·
·
0.15
·
·
0.15
·
·
3.在 -3，－3 ， －1， 0 這四個實數中，最大的是（ ）
A. -3 B.－3 C. －1 D. 0
?
D
4.如圖，在數軸上點A和點B之間的整數是 ．
【解析】1＜ ＜2，2＜ ＜3， 在 與 之間的整數是2.
A
B
2
5. 實數 a,b 的位置如圖，
化簡 |a + b| – |a – b|.
a
0
b
解:由數軸可知，a+b<0，a－b<0，從而
原式=－(a＋b)－[－（a－b）]
= －a－b＋（a－b）
= －a－b＋a－b
= －2b
實數
有理數和無理數統稱實數
在實數范圍內，相反數、倒數、絕對值的意義和有理數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義完全一樣.
實數與數軸上的點一一對應
課堂小結

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