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(共18張PPT)
11.3.1 兩數和乘以這兩數的差
1.經歷平方差公式的探索及推導過程，掌握平方差公式的結構特征.
2.靈活應用平方差公式進行計算和解決實際問題.
你還記得多項式與多項式是如何相乘的？
(a + b)( m + n)
=am
+an
+bm
+bn
（1）(x ＋1)( x－1)= ；
（2）(m ＋2)( m－2)= ；
（3）(2m＋1)(2m－1)= ；
（4）(5y ＋z)(5y－z)= .
計算下列多項式的積，你能發現什么規律？
x2 － 12
m2－22
(2m)2 － 12
(5y)2 － z2
探究
這幾個運算都是形如a+b的多項式與形如a-b的多項式相乘.
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2= a2-b2
(a+b) (a-b) =a2-b2
兩數和與這兩數差的積，等于這兩數的平方差，這個公式叫做平方差公式.
公式變形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
=
－
(a+b)(a－b)
a2
b2
b2
a
a
b
b
(a-b)(a+b)
a2
觀察圖形，再用等式表示圖中圖形面積的運算：
探究
例1 計算:
(1)(a+3)(a-3); (2)(2a+3b)(2a-3b);
解: (1) (a+3)(a-3)
=a2-32
=a2-9.
解：(2)(2a+3b)(2a-3b)
=(2a)2-(3b)2
=4a2-9b2.
解：(3) (1+2c)(1-2c)
=12-(2c)2
=1-4c2.
解：(4)(-2x-y)(2x-y)
=(-y-2x)(-y+2x)
=(-y)2-(2x)2
=y2-4x2.
(3)(1+2c)(1-2c); (4)(-2x-y)(2x-y).
例1 計算:
應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：
1.左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；
2.右邊是相同項的平方減去相反項的平方；
3.公式中的a和b可以是具體數，也可以是單項式或多項式．
解：原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10
不符合平方差公式運算條件的乘法，按乘法法則進行運算.
(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
計算：
例2 計算:1998×2002.
解：1998×2002
=(2000-2)(2000+2)
=4000000-4
=3999996.
=2000 -2
例3 街心花園有一塊邊長為a米的正方形草坪，經統一規劃后，南北向要加長2米，而東西向要縮短2米，問改造后的長方形草坪的面積是多少？
解:(a+2)(a-2)=a2-4
答：改造后的長方形草坪的面積是(a2-4)平方米.
1.下列運算中，可用平方差公式計算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)
D．(x＋y)(－x－y)
C
(1)(a+3b)(a- 3b)；
=4x4－y2.
=a2－9b2 ；
解：原式=(-2x2 )2－y2
解：原式=a2－(3b)2
(2)(－2x2－y)(－2x2+y).
2.利用平方差公式計算：
3.計算：
(1) 51×49; (2)102 × 98.
解: 原式=(50＋1)(50－1)
= 502-12
=2500 – 1
=2499
解: 102×98
= 1002-22
=10000 – 4
=(100＋2)(100－2)
=9996
4.先化簡，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3
=2x2－1.
將x＝2代入，得
原式=2×22-1=7.
5.如圖，有一個狡猾的地主，把一塊邊長為am的正方形土地租給馬老漢栽種.過了一年，他對馬老漢說∶"我把你這塊地的一邊減少5 m，另一邊增加5 m，繼續租給你，你也沒吃虧，你看如何 "馬老漢一聽，覺得好像沒吃虧，就答應了.同學們，你們覺得馬老漢有沒有吃虧 請說明理由.
解∶馬老漢吃虧了.理由如下∶
∵a -(a＋5)(a-5)=a -(a -25)=25,
∴與原來相比，馬老漢的土地面積減少了25 m ，即馬老漢吃虧了.
注意
內容
兩數和乘以
這兩數的差
在應用時，只有兩個二項式的積才有可能應用平方差公式；對于不能直接應用公式的，可能要經過變形才可以應用
兩個數的和與這兩個數的差的積,等于這兩個數的平方差.
(a+b)(a-b)=a2-b2

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