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(共23張PPT)
11.3.2 兩數和(差)的平方
1.經歷完全平方公式的探索及推導過程，掌握完全平方公式的結構特征.
2.靈活應用完全平方公式進行計算.
一塊邊長為a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加b米.形成四塊實驗田，以種植不同的新品種(如圖). 用不同的形式表示實驗田的總面積, 并進行比較.
a
a
b
b
直接求：總面積=（a+b)(a+b)
間接求：總面積=a2+ab+ab+b2
你發現了什么？
（a+b)2=a2+2ab+b2
計算下列多項式的積，你能發現什么規律？
1.(p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
2.(m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
3.(p-1)2=(p-1)(p-1)= .
p2-2p+1
4.(m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
探究
前面的幾個運算都是形如(a±b)2的多項式相乘.
(a+b) 2= ( a + b)(a + b )=a2+ab+ab+b2
= a2+2ab+b2
(a-b) 2= ( a - b)(a - b )=a2-ab-ab+b2
= a2-2ab+b2
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a-b) 2=a2-2ab+b2
兩數和（或差）的平方，等于這兩數的平方和加上（或減去）它們的積的2倍.這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式.
簡記：首平方，尾平方，積的2倍中間放
公式特征：
1.積為二次三項式
2.積中兩項為兩數的平方和
3.另一項是兩數積的2倍，且與兩數中間的符號相同
4.公式中的字母a，b可以表示數，單項式和多項式
你能根據圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎
b
a
a
b
b
a
b
a
圖 1
圖2
思考
幾何解釋:
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
b
a
a
b
圖 1
幾何解釋:
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
b
a
b
a
=
-
-
a2
ab
圖2
b2
+
ab
例1 計算：
(1)(2x+3y)2;
解：(2x+3y)2
=(2x)2+2 2x 3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2；
(2)
解：
(3)(3x-2y)3;
解：(3x-2y)2
=(3x)2-2 3x 2y+(2y)2
=9x2-12xy+4y2；
(4)
解：解法1
例1 計算：
解：解法2
(4)
例1 計算：
弄清題目中哪一個相當于公式中的a，哪一個相當于公式中的b，同時還要確定用兩數和的完全平方公式還是兩數差的完全平方公式；
應用完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2計算時，應注意：
(a+b)2與(-a-b)2相等嗎
(a-b)2與(b-a)2相等嗎
(a-b)2與a2-b2相等嗎
為什么
(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2;
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2;
(a-b)2=a2-b2不一定相等.只有當b=0或a=b時，(a-b)2=a2-b2.
思考
(a+b+c)2
解：(a+b+c)2
= [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
把其中兩項看成一個整體，再按照完全平方公式進行計算.
運用完全平方公式計算：
(1) 1022；
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404；
(2) 992.
解：992
= (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801.
例2 運用完全平方公式計算：
運用完全平方公式進行簡便計算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉化為能利用完全平方公式的形式．
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
例3 若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
解題時常用結論：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
1.下列計算正確的是(　　)
A．(x＋y)2＝x2＋y2
B．(x－y)2＝x2－2xy－y2
C．(x＋1)(x－1)＝x2－1
D．(x－1)2＝x2－1
C
2.若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，則a的值為(　　)
A．3
B．±3
C．6
D．±6
C
3.運用完全平方公式計算：
解: (4m+n)2
=16m2+8mn+n2；
(1)(4m+n)2；
=(4m)2+2 (4m) n+n2
=y2
-y
+
=y2
+
-2 y
(2) .
解：
4.利用乘法公式計算：
(1)982－101×99；
＝(2022－2021)2＝1.
解：原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
解：原式＝20222－2×2022×2021＋20212
(2)20222－2022×4042＋20212.
5.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：∵x+y=8,
∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4,
∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②，得
4xy=48，
∴xy=12.
常用結論
內容
兩數和（差）
的平方
兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.
(a±b) 2=a2±2ab+b2
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.

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