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11.5 課時1 提公因式法
1.理解因式分解的意義和概念及其與整式乘法的區別和聯系.
2.理解并掌握提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式.
反過來：
整式的乘積
多項式
整式的乘積
多項式
運用前面所學的知識填空：
請把下列多項式寫成整式的乘積的形式：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) a2 -b2 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
a+b a-b
a+b
探究
把一個多項式化為幾個整式的積的形式,叫做多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.
可以看出，因式分解與整式乘法是方向相反的變形，即
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
等式的特征：左邊是多項式，右邊是幾個整式的乘積.
下列各式從左到右的變形屬于因式分解的是(　　)
A．a2＋1＝a(a＋ )　　　　　　
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
D
∵ 不是整式，∴a2＋1＝ a(a＋ )不是因式分解
∵(x＋1)(x－1)＝x2－1不是和差化積，∴不是因式分解，而是整式乘法
∵a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1，結果不是積的形式，∴不是因式分解
x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合因式分解的概念，∴是因式分解
因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現形式．
因式分解的右邊是兩個或幾個因式積的形式，整式乘法的右邊是多項式的形式．
pa+pb+pc
公共的因式 p
我們看多項式 pa+pb+pc
它的各項都有一個公共的因式 p，我們把因式 p叫做這個多項式的公因式.
歸納
( a+b+c )
pa+ pb + pc
p
=
一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.
歸納
如何確定一個多項式的最大公因式？
找 2x 2 – 4 xy 的公因式.
系數：最大公約數
2
字母：相同的字母
x
所以公因式是2x
指數：相同字母的最低次數
1
思考
正確找出多項式的最大公因式的步驟：
3.定指數：相同字母的指數取各項中最小的一個，即字母的最低次數.
1.定系數：公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數.
2.定字母：字母取多項式各項中都有的相同的字母.
例1 把下列多項式分解因式：
(2)3a2 - 9ab.
解：3a2 - 9ab
(1)-5a2 + 25a;
= 3a(a-3b)
解：-5a2 + 25a
= -5a(a-5).
第1步:找公因式；
提公因式法分解因式的一般步驟：
第2步:提公因式,即用多項式除以公因式.
注意：如果第一項是負的，一般把負號提前.
例2 把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
分析：先找出8a3b2與12ab3c的公因式，再提出公因式.
這兩項的系數8與12，它們的最大公約數是4；
兩項的字母部分a3b2與ab3c都含有字母a和b，其中a的最低次數是1，b的最低次數是2，
因此選定4ab2為要提出的公因式.
解： 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
另一個因式將是2a2b+3b2c,
它還有公因式是b.
如果提出公因式4ab,另一個因式是否還有公因式？
例2 把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
例3 把2a(b+c) - 3(b+c)分解因式.
分析：b+c是這兩個式子的公因式，可以直接提出.
解：2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
如何檢查因式分解是否正確？
做整式乘法運算.
1.下列式子從左到右變形是因式分解的是(　　)
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
B
C
2.下列各式從左到右的變形不是因式分解的是( )
A.
B. x2-1=(x+1)(x-1)
C.2x+8x-1=2x(x+4)-1
D.a2-2ab+b2=(a-b)2
3.把多項式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（　　）
A．x+1
B．2x
C．x+2
D．x+3
D
4.把下列各式分解因式：
(1)ax ＋ ay; (2)3mx －6my.
解：原式= a(x＋y)；
解：原式=3m(x－2y).
5.簡便計算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)(-2)101+(-2)100;
解：原式=1.99×(1.99+0.01)
=3.98；
解：原式=(-2)100 ×(-2+1)
=2100 ×(-1)
=-2100;
6.已知x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.
解：∵x+y=2，xy=-3
∴ x2y+xy2
= xy(x+y)
= 2×(-3)
=-6
提公
因式法
因式分解
提公因式法
把一個多項式化為幾個整式的積的形式,叫做多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.
提公因式法分解因式的一般步驟：
1.找公因式；2.提公因式.
正確找出多項式的最大公因式的步驟：
1.定系數；2.定字母；3.定指數.

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