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(共24張PPT)
11.5 課時(shí)2 公式法
1.探索并運(yùn)用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行因式分解，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想．
2.能綜合運(yùn)用提公因式法、平方差公式和完全平方公式對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．
1、什么叫分解因式
2、已學(xué)過哪一種分解因式的方法
把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解.
提公因式法
還記得前面學(xué)過的乘法公式嗎？
平方差公式：
兩數(shù)和（差）的平方公式：
(a+b)(a-b)=a -b
(a±b)2=a2±2ab+b2
多項(xiàng)式a2-b2有什么特點(diǎn)？你能將它分解因式嗎？
這個(gè)多項(xiàng)式是兩個(gè)數(shù)的平方差的形式.
思考
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
b2
a2
-
)
)(
(
b
a
b
a
b2
a2
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積.
平方差公式：
例1 分解因式：
(1)25x2 － 16y2;
解： 25x2 － 16y2
=(5x )2 － (4y )2
= (5x ＋ 4y)(5x － 4y)；
分析：在(1)中，25x2=(5x) 2,16y2=(4y) 2,25x2－16y2=(5x)2－(4y)2，即可用平方差公式分解因式.
分析：在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各看成一個(gè)整體，設(shè)x ＋ p = m， x ＋ q = n ，則原式化為m 2 － n 2.
(2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2.
解：(x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2
= [( x ＋ p) + (x ＋ q)][(x ＋ p ) － (x ＋ q) ]
= (2x ＋ p ＋ q)(p － q).
例1 分解因式：
公式中的a、b無論表示數(shù)、單項(xiàng)式、還是多項(xiàng)式，只要被分解的多項(xiàng)式能轉(zhuǎn)化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
例2 分解因式：
(1) x4－y4;
分析：對于(1)， x4－y4可以寫成(x2) 2 － (y2) 2的形式，這樣就可以利用平方差公式進(jìn)行因式分解了.
解：原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
分解因式后，一定要檢查是否還有能繼續(xù)分解的因式，若有，則需繼續(xù)分解.
(2) a3b － ab.
分析：對于(2)， a3b － ab有公因式ab ，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解.
解：原式＝ab(a2-1)
＝ab(a+1)(a-1).
例2 分解因式：
分解因式前應(yīng)先分析多項(xiàng)式的特點(diǎn)，一般先提公因式，再套用公式
注意：分解因式必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止
多項(xiàng)式a2+2ab+b2與a2-2ab+b2有什么特點(diǎn)？你能將它分解因式嗎？
這兩個(gè)多項(xiàng)式是兩個(gè)數(shù)的平方和加上或減去這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，這恰是兩個(gè)數(shù)的和或差的平方，
思考
我們把a(bǔ) +2ab+b 和a -2ab+b 這樣的式子叫做完全平方式.
歸納
完全平方式的特點(diǎn)：
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
觀察這兩個(gè)式子：
1.必須是三項(xiàng)式（或可以看成三項(xiàng)的）；
2.有兩個(gè)同號(hào)的數(shù)或式的平方；
3.中間有兩底數(shù)之積的±2倍.
凡具備這些特點(diǎn)的三項(xiàng)式，就是完全平方式，將它寫成完全平方形式，便實(shí)現(xiàn)了因式分解.
兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方.
2
a
b
+ b2
±
=(a ± b)2
a2
例3 分解因式：
(1)x2+4xy+4y2；
分析：(1)中， x2=x2, 4y2= (2y)2,4xy=2·x·2y, 所以x2+4xy+4y2是一個(gè)完全平方式，即x2+4xy+4y2=x2+2·x·2y+ (2y)2.
a2
2
a
b
b2
解：x2+4xy+4y2
= (x+2y)2；
= x2 + 2·x·2y + (2y)2
（2）-x2+4xy-4y2.
分析：(2)中首項(xiàng)有負(fù)號(hào)，一般先利用添括號(hào)法則，將其變形為-(x2-4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
解：-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
例3 分解因式：
解題的關(guān)鍵：判斷該多項(xiàng)式是否符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，若符合公式特點(diǎn)再確定公式中的a，b在本題中所代表的是什么式子，分解因式的結(jié)果要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止
例4 把下列各式分解因式：
(1)4x3y-4x2y2+xy3 ；
分析：(1)中有公因式xy，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解因式.
解: 原式=xy（4x2-4xy+y2）
=xy（2x-y）2
(2)3x3-12xy2 ；
分析：(2)中有公因式3x，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解因式.
解: 原式=3xy（4x2-4xy+y2）
=xy(2x-y)2；
例4 把下列各式分解因式：
(3)(a+b)2-12(a+b)+36.
分析：將a+b看成一個(gè)整體，設(shè)a+b=m，則原式化為m2-12m+36.
解：設(shè)a+b=m，則
原式=m2-12m+36
=(m-6)2
=(a+b-2) 2
例4 把下列各式分解因式：
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差、完全平方式等）的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.
分解因式的一般步驟：1.先提公因式；
2.利用公式；
3.分解因式時(shí)要分解到不能分解為止 .
1.分解因式：
（1）16x2+24x+9；
解：16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2；
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
(2) x2－12x+36;
解：原式 =x2－2·x·6+62
=(x－6)2;
(3)3ax2+6axy+3ay2 ；
解: 原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2；
(4)－2xy － x2 －y2 ；
解：原式 =－(2xy+ x2 +y2)
=－(x+y)2.
(5)4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
解：原式=[2(2a+b)] －2·2(2a+b)·1+1
=(4a+2b －1)2;
解：原式=(y+1) －x
=(y+1+x)(y+1－x)
(6) y2+2y+1－x2.
步驟
公式
公式法
a2-b2=(a+b)(a-b)
一提：提公因式；
二套：套公式；
三查：檢查多項(xiàng)式的因式分解有沒有分解到不能再分解為止
a2±2ab+b2=(a±b)2

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