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2.7 課時1 角的和與差
第二章 幾何圖形的初步認識
1.結合具體圖形，理解兩個角的和與差的意義,并會進行角的和差運算，發展運算能力.
2.理解角平分線的概念及其表示方法，通過折紙活動進一步理解角平分線的意義,積累數學活動經驗,發展推理能力.
????????=????????+????????
????????=????????－????????
????????=????????－????????
?
線段的和、差
線段中點
那么 ????????=????????
????????=????????=12????????
????????=2????????=2????????
?
若點C是線段AB的中點
1.圖中有幾個角？它們之間有什么關系？
2.對于角的關系，如何用數學式表示.
1.圖中有3個角：∠????????????，∠????????????，∠????????????.
它們的關系：∠???????????? 是∠???????????? 與∠????????????的和；∠???????????? 是∠????????????與∠????????????的差；
?
A
B
O
C
探究一.角的和差關系
活動1.觀察下圖，回答問題.
2.∠???????????? = ∠???????????? +∠????????????；
∠???????????? = ∠????????????－∠????????????；
∠???????????? = ∠????????????－∠????????????.
?
1.如果一個角的度數是另兩個角的度數的和，那么這個角就叫作另兩個角的和．
2.如果一個角的度數是另兩個角的度數的差，那么這個角就叫作另兩個角的差.
已知∠1＝103°24′28" ，∠2＝ 30°54"，求∠1+∠2 和∠1－∠2的度數.
解：∠1+∠2 ＝ 103°24′28" ＋30°54" .
?
103°24′ 28"
＋30° 54"
133°24′ 82"
(82" ＝ 1′22" )
所以∠1+∠2 ＝ 133°25′22" .
?
活動2.計算下列角的和與差，并歸納計算技巧.
∠1 － ∠2 ＝ 103°24′28" ?30°54" .
?
103°24′ 28"
－30° 54"
73°23′ 34"
(24′28"＝ 23′88")
所以∠1?∠2 ＝ 73°23′34" .
?
注意：1.角的和差運算要是同單位制的加減；2.度、分、秒是60進制的.
(1) 如圖1，若∠AOC=35°，∠BOC=40°，則 ∠AOB= °；
(2) 如圖2，若∠AOB= 60°，∠BOC=40°，則 ∠AOC= °．
(3)若∠AOB =60°，∠AOC =30°，則∠BOC= ．
75
?
20
?
A
B
O
C
A
B
O
C
圖1 圖2
計算下列角的度數.
90°或30°
?
圖3
B
A
O
C
在紙上畫∠????????????，然后將其剪下來，將其沿經過頂點的線對折，使邊????????與????????重合.將角展開，折痕上任取一點記作點C，以點????為端點，沿折痕畫射線????????.類比線段中點的定義，填空：
∠????????????_____∠????????????；∠????????????=____∠????????????.
?
=
2
探究二.角平分線的概念
活動1.動手完成下面的操作，并填空.
思考：如果把這樣的線稱之為角平分線，那么同學們用自己的話描述下它的概念.
如果從一個角的頂點出發引出的一條射線把這個角分成的兩個角相等，
那么這條射線叫作這個角的角平分線.
O
B
A
C
幾何語言
因為 OC 是∠AOB 的角平分線，
所以 ∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB，
∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
?
注意：角的平分線是以這個角的頂點為端點的一條射線
類似地，還有角的三等分線等.
O
B
A
C
因為 OB，OC 是∠AOD 的三等分線，
所以∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝13∠AOD，
∠AOD＝3∠AOB＝3∠BOC＝3∠COD.
?
D
1.射線 OC 在∠AOB的內部，下列給出的條件不能得出 OC 是∠AOB的平分線的是( )
A. ∠AOC=∠BOC
B. ∠AOC+∠BOC=∠AOB
C. ∠AOB=2∠AOC
D. ∠BOC= 12 ∠AOB
?
B
C
B
A
O
角平分線的判定方法
當 OD 在∠AOB 的內部且滿足下列情況之一時，
就可以判定 OD 是∠AOB的平分線：
① ∠AOD=∠BOD； ② ∠AOD= 12 ∠AOB；
③ ∠BOD= 12 ∠AOB； ④ ∠AOB=2∠AOD；
⑤ ∠AOB=2∠BOD.
?
角的
和與差
角的和與差
如果一個角的度數是另兩個角的度數的和,那么這個角就叫作另兩個角的和．
如果一個角的度數是另兩個角的度數的差，那么這個角就叫作另兩個角的差．
如果從一個角的頂點引出的一條射線把這個角分成的兩個角相等，那么這條射線叫作這個角的角平分線.
角的平分線
角的計算
1.如圖，下列各式中錯誤的是（　　）
A.∠AOC=∠AOB+∠BOC
B.∠AOC=∠AOD-∠COD
C.∠AOC=∠AOB+∠BOD-∠BOC
D.∠AOC=∠AOD-∠BOD+∠BOC
C
2.如圖，OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，那么下列各式中正確的是( )
A
O
A
B
C
D
3.如圖，點O在直線AB上，若∠1＝40°，則∠2的度數是(　　)
A．50° B．60° C．140° D．150°
C
4．如圖，把一張長方形的紙條折疊后，折痕OE是∠BOB′的 ．
5．如圖，OC是∠AOB內的一條射線．
(1)∠AOB＝∠BOC＋ ，∠AOC＝ －∠BOC.
(2)若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，則∠AOC＝____．
平分線
∠AOC
∠AOB
10°
（1） 120°?38°41′；（2）67°31′+48°49′.
?
解：（1）原式 = 119°60′?38°41′= 81°19′ ；
（2）原式 = (67+48)°+(31+49)′= 115°80′
= 116°20′ .
?
6.計算:
7.如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線，∠AOB＝130°．
（1）求∠COE的度數是多少？
（2）如果∠COD＝20°，求∠BOE的度數．
解：（1）因為OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線，所以∠COD=12∠AOD，∠DOE=12∠BOD，
所以∠COE=∠COD+∠DOE=12∠AOD+12∠BOD
=12(∠AOD+∠BOD)=12∠AOB=65°；
?
（2）因為OC是∠AOD的平分線，∠COD=20°，所以∠AOD=2∠COD=2×20° =40°，
因為∠AOB=130°，
所以∠BOD=∠AOB?∠AOD=130°?40°=90°，
因為OE是∠BOD的平分線，
所以∠BOE=12BOD=12×90° =45°.

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