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3.3 數量之間的關系
第三章 代數式
1.會用代數式表示數與圖形中的規律.會從不同角度分析和解決
問題，體會同一量可以用不同代數式來表示；
2.能發現特例中的變與不變，發現共性，尋找一般規律解決問
題，體會從特殊到一般、轉化、數形結合等數學思想方法.
仔細觀察，按你發現的規律填空：
(1) 1,2,3,4, ， ，...， （第n個數）；
(2) 2,4,6,8, ， ，...， （第n個數）；
(3)2,4,8,16, ， ，...， （第n個數）；
(4)1,4,9,16, ， ，...， （第n個數）；
(5)1,2,3,6,10， ， ，...， （第n個數）.
5
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n
10
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2n
32
64
2n
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36
n2
15
21
?????（????＋1?）2
?
像這種有明顯規律的問題，我們如何用代數式表示？
情境1.這是一個由1~120 的連續整數排成的“數陣”如果用方框圍住9個數，那么這9個數的和隨方框位置的變化而變化.
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(1)如果設方框左上角的數為a，用含a的代數式表示這9個數的和;
(2)當a為1，8，15時，求這9個數的和.
(3)如果設方框正中間的數為m，用含m的代數式表示這9個數的和;
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探究一.利用代數式表示規律問題中的數量關系.
活動1.分析下列情境中的規律，并用代數式表示.
思考：在這個數陣中，前后、上下兩數分別有什么規律？
前后相差1，上下相差6.
情境1.這是一個由1~120 的連續整數排成的“數陣”如果用方框圍住9個數，那么這9個數的和隨方框位置的變化而變化.
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(1)如果設方框左上角的數為a，用含a的代數式表示這9個數的和;
解:(1)其他8個數分別為????+1,????+2,????+6,
????+7,????+8,????+12,????+13,????+14,
這9個數的和????+????+1+????+2+????+6+????+7+????+8+????+12+????+13+????+14=9????+63.
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探究一.利用代數式表示規律問題中的數量關系.
活動1.分析下列情境中的規律，并用代數式表示.
情境1.這是一個由1~120 的連續整數排成的“數陣”如果用方框圍住9個數，那么這9個數的和隨方框位置的變化而變化.
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(2)當a為1，8，15時，分別求這9個數的和.
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探究一.利用代數式表示規律問題中的數量關系.
活動1.分析下列情境中的規律，并用代數式表示.
解：由(1)可知，
當a為1時，這9個數的和為9????+63=9×1+63=72；
當a為8時，這9個數的和為9????+63=9×8+63=135；
當a為15時，這9個數的和為9????+63=9×15+63
=198；
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情境1.這是一個由1~120 的連續整數排成的“數陣”如果用方框圍住9個數，那么這9個數的和隨方框位置的變化而變化.
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(3)如果設方框正中間的數為m，用含m的代數式表示這9個數的和;
探究一.利用代數式表示規律問題中的數量關系.
活動1.分析下列情境中的規律，并用代數式表示.
解：設方框正中間的數為m,則其他8個數分別
為????－7,????－6,????－5,????－1,????+1,????+5,????+6,????+7,
所以S為????－7+????－6+????－5+????－1+????+????+1+
????+5+????+6+????+7=9????.即????=9????.
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思考：如果將方框由左向右平行移動一列，那么9個數的和會有怎樣的變化?
如果方框由上向下平行移動一行，那么9個數的和又有怎樣的變化?
將方框由左向右平行移動一列,和增加9；
方框由上向下平行移動一行,和增加54.
情境1.這是一個由1~120 的連續整數排成的“數陣”如果用方框圍住9個數，那么這9個數的和隨方框位置的變化而變化.
情境2.圖1是由點組成的n行n列的方陣，圖2是由每條邊上n個點圍成的空心方陣.
圖1
圖2
1.圖1中方陣的總點數為多少？
2.圖2中方陣的總點數是多少？你還有其他的計算方法嗎？
n2
????2 －(????－2)2
?
如圖，由三種圖示方法得到空心方陣的總點數分別為4?????4，4(?????1)，2????+2(?????2).同桌討論是如何得到的.還有什么其他的想法？
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4?????4：空心方陣4邊都是n個點因此是4n，邊與邊之間共用了1個點，因此減4.
4(?????1)：空心方陣4邊按n-1個點來算；
2????+2(?????2)：空心方陣上下兩都是n個點因此是2n，左右兩邊是?????2個點，因此2(?????2)
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數字方面的變化規律
(1)若數字為整數的一列數,可考慮相鄰兩數的和、差、積、商等
方面是否存在規律,也可以是奇、偶、平方等方面的規律.
(2)若是數字方面的等式(或表格),可將每個等式對應寫好,然后比
較每一行、每一列數字之間的關系,從而找出規律.
(3)若數字為分數,可分別觀察分子、分母的變化規律及它們之間的聯系.
情境3.完成教材P115中“做一做”填空，并思考下列問題.
思考：如果沒有（1）（2）問，直接問（3），大家覺得自己容易做的出來嗎？由此思考為什么教材“做一做”中要先問（1）（2），然后再問（3）？
（1）：14；（2）116；（3）14????.
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特殊到一般的思想：
通過對某些個體的認識與研究，發現特點，掌握規律，逐漸形成對這類事物的總體認識，
1.一組按規律排列的數： 請你推斷
第7個數是________；第n（n為正整數）個數是_____________.
2.如圖所示，用火柴擺圖形
填寫下表：
三角形的數量/個
1
2
3
4
5
...
n
火柴的數量/根






3
5
7
9
11
2n+1
用代數式表示圖形的變化規律：
1.通過列表，將每個圖形所研究的量利用表格的反映出來，然后根據數字變化獲取規律；
2.直接觀察出圖形之間的位置變化或數量變化，獲取規律.
1.如圖所示的圖形都是由同樣大小的“星星”按一定的規律組成的,其中第一個圖形有4個“星星”,第二個圖形有7個“星星”,第三個圖形有10個“星星”,……,則第8個圖形中星星的個數是?(　????)
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A.20　????B.23　????C.25　????D.26
C
2.觀察下列等式:
32-12=4×2；
42-22=4×3；
52-32=4×4；
（1）第4個等式為 ；
（2）第n（n為正整數）個等式為__________________.
62-42=4×5
(n+2)2-n2=4(n+1)
3.如圖，第一排有 1 個三角形；第二排有 3 個三角形；
第三排有 5 個三角形；第四排有 個三角形；
第n排有 個三角形.
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(2n+1)
4.如圖，按下列方式用火柴棒搭建正方形：
1個正方形用4根火柴棒；2個正方形用 根火柴棒；
3個正方形用 根火柴棒；10個正方形用 根
火柴棒；n 個正方形用 根火柴棒.
7
(3n+1)
…
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本節課探究了代數式的哪些問題？
在探尋用代數式表達規律的過程，你經歷了什么？積累了哪些活動經驗？
3.接下來會研究代數式的什么內容？
特殊到一般的思想：
通過對某些個體的認識與研究，發現特點，掌握規律，逐漸形成對這類事物的總體認識，

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