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3.4 代數式的值
第三章 代數式
3.4 課時1 求代數式的值
第三章 代數式
1.理解代數式的值的概念，會求代數式的值,提高運算能力.
2.通過求代數式的值，體會代數式實際上是由計算程序
反映的一種數量關系.
如圖所示，由三種圖示方法得到空心方陣的總點數分別為4n-4,4(n-l),2n +2(n- 2).當字母n是一個具體數值的時候，還能算出這個空心方陣總點數嗎?
...
...
...
...
n個點
n個點
4n－4
探究一.代數式的值的概念
活動1.分析下列問題，同桌討論代數式的值的概念.
（1）當n取4, 10, 15,25等值時，分別代入上面的代數式，計算出代數式的值,并思考，對于n的同一個值，同學們得到的結果都一樣嗎？
（2）根據（1）中n的取值，如何計算出4n－4的值呢？
當????=4時，4????－4=4×4?4=12；
當????=10時，4????－4=4×10?4=36；
當????=15時，4????－4=4×15?4=56；
當????=4時，4????－4=4×25?4=96；
?
對代數式中的字母代入不同的值，都可以求出代數式相應的值．一個代數式，可以看做一個計算程序．
活動2.分析下列程序，探究代數式求值的特點.
輸入
????=?2
?
5????2?8????+2
?
5×(?2)2?8×(?2)+2
?
輸出38
?
（1）按照上面程序，計算????=3，????=6時的輸出值；
（2）任取????的兩個值，按照上面的過程求值，并與同桌相互檢查過程和結果是否正確.
?
23，134
?
定 義：像這樣，用數值代替代數式中的字母，按照代數式中給出的運算計算出的結果，叫作代數式的值.這個過程叫作求代數式的值.
注意：1.代數式的值一般不是一個固定的值，它是隨著代數式中字母取值的變化而變化的.
2.代數式里的字母可以用不同的數代入，但是這些數還須符合一定的要求 ，即所取的數值必須使代數式和它表示的實際數量有意義.例如，在上面 5 人及以下家庭一年的水費的例子中，b的值只能取不超過 80 的非負數.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}輸入x
-2
-1/2
0
0.26
1/3
5/2
4.5
機器1的輸出結果
機器2的輸出結果
-15
-6
-3
-1.44
-1
12
24
-30
-21
-18
-16.44
-16
-3
9
觀察下面的過程，完成表格.
探究二.求代數式的值的步驟
活動1.閱讀教材P119的例1，例2，思考下列問題.
思考：1.為什么代數式求值時要寫“當”？
2.在代值求解時需要遵循哪些步驟以及有哪些注意事項？
1.代數式的值一般不是一個固定的值，它是隨著代數式中字母取值的變化而變化的，因此在求解時“當”表示此刻特定條件的的求解
求代數式的值的一般步驟：
（1）代入：用給定的數代替代數式中相應的字母.
（2）計算：按照代數式中指明的運算，計算出代數式的值.
注意事項：
（1）代入時，除按已知給定的數值，將字母換成相應的數值外，其他的運算符號、運算順序、原來的數值都不改變.
（2）代數式中省去的“×”或“·”，代入具體數后應恢復原來的“×”.若字母取值是分數或負數，則應根據實際情況適當添加括號.
1.求下列代數式的值時，代入過程正確的是（ ）
D
A.當 時
B.當 時
C.當 時
D.當 時
2.根據下列a，b的值，分別求代數式????2?????????的值：
?
解：(1)當 a ＝4，b ＝12 時，
????2??????????＝ 42?124?＝13；
?
解：(2)當 ???? ＝?3，????＝6 時，
????2?????????=(?3)2?6?3?＝11.
?
(1)????=4， ????=12； (2)????=?3， ????=2.
?
活動2.觀察代數式的結構求值.
1.這兩個式子目標式?4x + 6y - 7和已知式 2x + 3y 有什么相似之處？小組討論.
2.根據前面的發現，該如何去求目標式的值？
已知?2x + 3y = 5，則4x + 6y - 7的值是 ?.
4????=2×2????，6????=2×3????，目標式前半部分是已知式的?2 倍！
4????+6?????7=2(2????+3????)?7=2×5?7=3.
?
問題3：回顧整個過程，說說上式求解的關鍵是什么？
整體法核心：
1.尋找已知式與目標式的“公共結構”，如相同多項式、倍數關系（例如4x + 6y 是2x + 3y 的兩倍）；
2.將公共結構視為整體，通過代入、變形求解；
3.避免單獨求解未知數，減少計算量.
1.填空.
（1） 若????＋2????－1＝0，則3????＋6????的值是 ?.
（2）已知????2+2????=3，求2????2+4????+5的值是 ?.
?
3　
?
11
?
如果把代數式里的字母用數代入，那么計算后得出的結果叫作這個代數式的一個值.
規范求解步驟
代數式的值
定義
代數式求值運算
整體法求值
1.當x＝1時，代數式4－3x的值是(　 　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若 則x2-y3的值為(　　　)
A.1 B.-1 C. D.2
3.如果2a+3b=5，那么4a+6b-7= .
已知a+b=5,ab=6 ,則ab-（a+b)=___.
A
C
3
1
4.填空：
輸入a的值
輸出結果
?2a+1
?
4
?4
?
0
?23
?
?7
?
9
1
73
?
5.完成下表：
a
－2
－1
0
1
2
3a+2







－3a+2






當a取的值越來越大時，代數式 3a+2的值隨之有怎樣的變化?代數式-3a+2的值隨之有怎樣的變化?
－4
－1
12
?
2
72
?
5
8
8
5
72
?
2
12
?
－1
－4
6.某公園的門票價格是：成人10元/張；學生5元/張.
（1）一個旅游團有成人x人、學生y人，那么該旅游團應付多少門票費？
（2）如果該旅游團有37個成人、15個學生，那么他們應付多少門票費？
解：（1）該旅游團應付的門票費是（10x＋5y）元.
（2）把x＝37，y＝15代入代數式，得10x＋5y =10×37＋5×15 ＝445.
因此，他們應付445元門票費.
3.4 課時2 求實際問題中的代數式的值
第三章 代數式
1.在實際情境中，體會代數式的意義，能通過求代數式的值解決實際問題.
2.在解決實際問題的過程中，提高觀察能力和歸納概括能力，聯系實際生活.
小亮家離學校1280m.他每天步行上學，速度約是80m/min.我們用t (min)表示小亮從離開家開始的步行時間，那么如何表示小亮離開家的路程與距學校的路程呢？
情境1.小亮家離學校1280m.他每天步行上學，速度約是80m/min.我們用t (min)表示小亮從離開家開始的步行時間，S1(m)表示離開家的路程，S2 (m)表示距學校的路程．
(1)寫出用t 分別表示S1和 S2 的代數式：S1= , S2 =____________；
(2)對具體的t值，計算S1和 S2的值，并填寫下表：
80 t
1280－80 t
探究一.用代數式表示實際問題中的數量關系，并求解.
活動1.分析下列情境，討論代數式與代數式的值在實際問題求解過程中的意義.
t/min
0
4
5.5
10
12.5
16
S1/m
S2/m
0
320
440
800
1000
1280
1280
960
840
480
280
0
(3)當t=7時，請你比較小亮離開家的路程與離學校的路程哪個遠？
情境1.小亮家離學校1280m.他每天步行上學，速度約是80m/min.我們用t (min)表示小亮從離開家開始的步行時間，S1(m)表示離開家的路程，S2 (m)表示距學校的路程．
(3)當t=7時，請你比較小亮離開家的路程與離學校的路程哪個遠？
活動1.分析下列情境，討論代數式與代數式的值在實際問題求解過程中的意義.
解:t=7時, S1 =80t=80×7=560, S2 =1280-80t=1280-80×7=720.
因為560<720.
所以當t=7時,小亮距學校的路程遠.
情境1.小亮家離學校1280m.他每天步行上學，速度約是80m/min.我們用t (min)表示小亮從離開家開始的步行時間，S1(m)表示離開家的路程，S2 (m)表示距學校的路程．
活動1.分析下列情境，討論代數式與代數式的值在實際問題求解過程中的意義.
思考：
1.表格中的S1和S2在同時間對應的數量關系有什么特點？
2.通過這個表格，是否可以計算出任何一個時間中小亮的位置情況？
????1+????2=1280
?
可以
情境2.某農場購買了一臺新型拖拉機用來耕地．為了測試耕地時的耗油量，用它試耕了三塊地，其面積分別為0.4公頃，0.6公頃和1公頃．油量表的指針變化情況如圖所示(油表中的一個大格表示10升油)．
耕地面積／公頃
0.4
0.6
1
耗油量／升
(1)根據油量表指針的變化，估算耕地0.4公頃，0.6公頃，1公頃的耗油量(升)，將結果填入表中．
10
15
25
耕地面積／公頃
0.4
0.6
1
耗油量／升
(2)設耕地a (公頃)耗油量為b(升)，列代數式表示a和b之間的關系．
b=25a
10
15
25
(3)根據所列的關系式，求解下列問題：
①耕地面積為0.5公頃，2公頃時，耗油量分別是多少？
②如果兩次耕地耗油量分別是12升和40升，那么所耕地的面積分別是多少公頃？
解：①當a=0.5時，b=0.5×25=12.5（升），當a=2時，b=2×25=50（升）；
②由b=25a得a=????25，當b=12時，a=0.48公頃，當b=40時，a=1.6公頃.
?
情境2.某農場購買了一臺新型拖拉機用來耕地．為了測試耕地時的耗油量，用它試耕了三塊地，其面積分別為0.4公頃，0.6公頃和1公頃．油量表的指針變化情況如圖所示(油表中的一個大格表示10升油)．
思考：1.該情境的核心代數式是什么？
2.列出這個代數式的主要依據是什么？
3.根據所列出的代數式可以解決哪些相關問題？
b=25a
本題圖所給出的數據
如耕多少地耗油多少，根據耗油的數量判斷耕地的數量等
列代數式解決實際問題：
1.通過生活中的數量關系（文字、圖表、圖象等）可以列出代數式，進而解決生活中的數量關系問題.
2.代數式里的字母可取不同的值,但是所取的數值不能使代數式或它表示的實際問題失去意義.
1.樹的高度與樹生長的年數有關，測得某棵樹的數據如下：(樹苗原高100厘米)
（1）用含有字母n的代數式表示生長了n年的樹苗的高度an；
（2）生長了11年的樹的高度是多少？
解：（1）an=100+5n ；
（2）an=100+5n=100+5×11=155（厘米）.
2.某企業去年的年產值為a億元，今年比去年增長了10%.如果明年還能按這個速度增長，請你預測一下，該企業明年的年產值能達到多少億元？如果去年的年產值是2億元，那么預計明年的年產值是多少億元？
解：由題意可得，今年的年產值為 ????(1+10%)億元，
所以明年的年產值為 ????(1+10%)(1+10%)=1.21????（億元）.
若去年的年產值為2億元，則明年的年產值1.21????=1.21×2=2.42（億元）
答：該企業明年的年產值將能達到1.21a億元.由去年的年產值是2億元，可以
預測明年的年產值是2.42億元.

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