資源簡介

1.2 提公因式法
課時1 提單項式公因式
第1章 因式分解
1.了解公因式和提公因式的概念；
2.掌握找多項式中的公因式的方法；
3.掌握提單項式公因式法進行因式分解.
問題：整數 18，42，60 的最大公因數是什么？
18 = 6×3
42 = 6×7
60 = 6×10
6
思考：多項式 z2 + yz 中每一項的因式分別是什么？你發現什么？
每一項中均有因式 z
z2 的因式是 z 和 z
yz 的因式是 y 和 z
說一說
分別說出式子 xy，3xz，xw中次數大于0的因式，其中有相同的因式嗎？
可以看出，xy，3xz，xw 有相同的因式 x.
幾個多項式的相同因式稱為它們的公因式.
xy中次數大于0的因式有x，y；
3xz中次數大于0的因式有x，z；
xw中次數大于0的的因式有x，w.
問題1：如何把多項式xy+xz+xw因式分解？
xy+3xz+xw
提取公因式x
乘法分配律的逆用
=x·y+x·z+x·w
=x(y+z+w)
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，這種把多項式因式分解的方法叫做提公因式法．
找 3 x 2 – 6 x y 的公因式.
系數：不考慮符號，找出最大公因數
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 3x
指數：
相同字母的最低次數
1
問題2 :如何確定一個多項式的公因式？
問題3 :用自己的話概括正確找出多項式的公因式的步驟.
3. 定指數：相同字母的指數取各項中最小的一個，即同字母的最低次數.
1. 定系數：對于整數系數的多項式來說，公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數；
2. 定字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母；
找一找：下列各多項式的公因式是什么？
3
a
a2
3mn
-2xy
(1) 3x + 6y
(2) ab - 2ac
(3) a2 - a3
(4) 9m2n - 6mn
(5) - 6x2y - 8xy2
例1 把 4x2－6x3 因式分解．
分析： 1. 定系數：多項式由 4x? 和 －6x3 這兩項組成，它們的系數分別為 4，－6，不考慮其符號，則 4 與 6 的最大公因數是 2；
2. 定字母：這兩項都含有字母 x，
3. 定指數： x 的最低次數為 2.
因此，可提出公因式 2x?.
解：4x2－6x3 = 2x?(2－3x).
例2 把 8x?y4－12xy?z 因式分解．
解： 8x?y4－12xy?z＝ 4xy? · 2xy?－4xy? · 3z
＝4xy?(2xy?－3z).
三名同學對多項式 2x?＋4x 進行因式分解，結果如下：
(1) 2x? + 4x = 2(x? + 2x)；(2) 2x? + 4x = x(2x + 4)；
(3) 2x? + 4x = 2x(x + 2).
上述結果正確嗎？用提公因式法分解因式時，你認為應注意什么？
注意：公因式要提盡.
(1)錯誤. 理由：公因式沒有提盡，還可以提出公因式 x.
(2)錯誤. 理由：公因式沒有提盡，還可以提出公因式 2.
(3) 正確.
議一議
解：5x?－3xy＋x＝x(5x－3y＋1).
注意：某項提出莫漏 1.
例3 把多項式 5x?－3xy＋x 因式分解.
分析： 1. 定系數：多項式由 5x?，－3xy 和 x 這三項組成，它們的系數分別為 5，－3，1，不考慮其符號，則5，3，1的最大公因數是 1；
2. 定字母：這三項都含有字母 x，
3. 定指數： x 的最低次數為1.
因此，可提出公因式x.
例4 把多項式 －3x?＋6xy－3xz 因式分解.
注意：首項有負常提負.
分析：多項式 －3x?＋6xy－3xz 的首項系數為負數，一般先將負號提取出來，此時括號內各項都要改變符號，然后進行因式分解.
解：－3x?＋6xy－3xz = －(3x?－6xy＋3xz)
=－3x(x－2y＋z).
2. 確定公因式的方法：
一看系數，二看字母，三看指數.
1. 提公因式法分解因式步驟 (分兩步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式.
3. 用提公因式法分解因式應注意的問題：
（1）公因式要提盡；
（2）小心漏項；
（3）多項式的首項取正號.
1.寫出下列多項式各項的公因式
(1)4kx-8y (2)6m4+20m2 (3)a2b-2ab2+ab
ab
4
2m2
2.若對多項式6a-18ax進行因式分解，正確的選項（ ）
　A.6(a-3ax) 　 B.3a(1+3x)
　C.3a(2-6x)　　 D.6a(1-3x)
D
3.-4a3+4a2-16a分解因式是
A.-4a(a2-a+4) B.-a(4a2-4a+16)
C.a(-4a2+4a-16) D.-4(a3-a2+4a)
（ ）
A
4.因式分解：
(1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a?－9ab；(3) －5a? + 25a.
解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3).
(2) 3a?－9ab = 3a(а－3b).
(3) －5a? + 25a = －5a(a－5).
5.已知 2x + y = 4，xy = 3，求代數式 2x2y + xy2 的值.
解：2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12.
1.2 提公因式法
課時2 提多項式公因式
第1章 因式分解
1.能準確找出多項式中的多項式公因式，并利用提公因式法把多項式因式分解.
2.經歷提公因式法分解因式，培養分析、類比的思想，體會因式分解的應用價值.
請在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“－”號，使等式成立:
（1）2－a=___（a－2）； （2）y－x=___（x－y）；
（3）b+a=___（a+b）； （4）-m－n=___（m+n）；
（5）(a-b)3 = (-a+b)3
－
－
+
－
－
做一做 把下列多項式因式分解：
（1）????(?????2)?????(?????2)； （2）????(?????2)?????(2?????).
?
(2)????(?????2)?????(2?????)
=????(?????2)?????[??????2]
=?????????2+????(?????2)
=?????2(????+????)
?
第（2）題各項的公因式是多少呢？你發現式子有什么特點？
解：(1) ????(?????2)?????(?????2)=(?????2)(?????????)
?
?????????=?(?????????)
?
因式分解：
(1) 2a(b＋c)－3(b＋c)； (2) (a＋b)(a－b)－a－b.
(2) 原式＝(a＋b)(a－b)－(a＋b)
＝(a＋b)(a－b－1).
解：(1) 原式＝(2a－3)(b＋c).
例5 把多項式12????????2?????????2?18????2?????????????2因式分解.
?
解： 12????????2?????????2?18????2?????????????2
= 12????????2?????????2?18????2?????????????2
= 6?????????????????2?2?????6?????????????????2?3????
= 6?????????????????2?(2?????3????)
?
?????????2和?????????2有什么關系？
?
?????????????????=??????????????????
?????????????????2=?????????????????2
?????????????????3=??????????????????3
?????????????????4=?????????????????4
??
?????????????????2????=___________________________
?????????????????2????+1=___________________________
?
?????????????????2????
?
??????????????????2????+1
?
常用的恒等變形
例6 把多項式23x3 y - 103xy2因式分解.
?
分析：23=2×3，103=10×3，所以公因式的系數為23 .
?
解：23????3?????103????????2
= 23?????????????2?23?????????5????
= 23????????(????2?5????)
?
提公因式法步驟
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即將多項式化為兩個因式的乘積.
注意：公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式.
整體思想是數學中一種重要且常用的思想方法.
議一議 將多項式 49 x3y2- 23 x2y3 因式分解，對比其他同學的答案，你們的結果一樣嗎？
?
解：49????3????2?23????2????3
=19(4????3????2?6????2????3)
=19????2????2(4?????6????)
?
化分為整：先提出一個分數因式，將各系數化為正整數
提多項式公因式法
注意
1. 分解因式是一種恒等變形；
2. 公因式要提盡；
3. 整項提出莫漏 1；
4. 提負號，要注意變號
公因式為多項式時：
1. 定系數：找多項式各項系數的最大公約數．
2. 定字母：找多項式各項相同的式子．
3. 定指數：相同式子的最低的次數.
1. 把多項式(x+2)(x-2)+(x-2)提取公因式(x-2)后，余下的部分是( )
A．x + 1 B．2x
C．x + 2 D．x + 3
D
2. 若9a2(x-y)2 -3a(y - x)3 ＝M · (3a+x-y)，則M等于___________.
3a( x - y )2
解：(1) a(m - 6) + b(m - 6)
3. 把下列各式因式分解：
(1) a(m - 6) + b(m - 6)； (2) 3(a - b) + a(b - a)；
= (m - 6)(a + b).
(2) 3(a - b) + a(b - a)
= 3(a - b) - a(a - b)
= (a - b)(3 - a).
(3) 4????2????(?????????)?6????????2(?????????)；
(4) 43????3 ???? ? 23????2 ????2；
?
解：原式= 2????????(?????????)·2?????2????????(?????????)·3????
?
= 2????????(?????????)(2?????3????).
?
解：原式=23????2 ????·2?????23????2 ????·????
?
= 23????2 ????(2?????????)
?
4.已知a－b－c=2，求a(a－b－c)+b(c－a+b)+ c(b+c－a)的值.
解：a(a－b－c)+b(c－a+b)+c(b+c－a)
=a(a－b－c)－b(a－b－c)－c(a－b－c)
=(a－b－c)2
因為a－b－c=2，所以原式=22=4.

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