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1.3 公式法
課時1 利用平方差公式進行因式分解
第1章 因式分解
1.通過學習探究，掌握并運用平方差公式進行因式分解，體會轉化思想．
2.會綜合運用提公因式法和平方差公式對多項式進行因式分解．
計算：101×99.
你有什么方法能夠快速得到結果嗎？
解：101×99
=(100+1)×(100?1)
=1002?1
=9999
?
平方差公式 (x+y)(x?????)=x2?y2
?
上述公式中的 x，y，可以分別用任何數或任意多項式代入.
你能將?????????????????進行因式分解嗎？
?
平方差公式 (x+y)(x?????)=x2?y2
?
解：在平方差公式中，將y用5代入得到等式：
????+5?????5=????2?52=????2?25.
?
把這個等式從右到左使用，就可以把多項式????2?25因式分解：
?????????????????=(????+????)(?????????).
?
知識點一：用平方差公式進行因式分解
像那樣，把乘法公式從右到左使用，就可以把某些形式的多項式因式分解. 這種因式分解的方法叫作公式法.
???????????=?(????+????)?(?????????)
?
依據：兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積.
整式乘法
(x+y)(x?????)=x2?y2
?
因式分解
(????????)????
?
(????????)????
?
例1 把多項式25x2 - 4y2因式分解.
分析：利用平方差公式可得(5x+2y)(5x-2y)=(5x)2-(2y)2，將其從右到左使用就可以把25x2 - 4y2因式分解.
解：25????2?4????2
=(5????)2?(2????)2
=(5????+2????)(5?????2????)
?
做一做 把多項式(????+????)2?(???? ? ????)2因式分解.
?
于是(????+????)2?(???? ? ????)2=[(????+????)+(?????????)][(????+????)?(?????????)]
=2???? ? 2???? = 4????????.
?
分析：可以將????+????和?????????分別看成一個整體.
?
解：由平方差公式得
????+????+(?????????)????+?????(?????????)=????+????2?(?????????)2
?
議一議 與同學交流，具有什么特征的多項式可用平方差公式分解因式？
可以用平方差公式分解因式的多項式的特征：
1.多項式有兩項；
2.這兩項異號；
3.兩項是平方差.
注意：公式中的字母 ????，???? 可以表示數、單項式或多項式.
?
口訣：首平方減尾平方，等于首加尾乘首減尾.
x2?y2=(x+y)(x?????)
?
√
×
×
√
√
下列多項式能否用平方差公式來因式分解？為什么？
（1）a2 + b2
（2） - a2 - b2
- ( a2 + b2 )
y2 - x2
（3） - x2 + y2
（4）x2 - 25y2
( x + 5y )( x - 5y )
（5）m2 - 1
( m + 1 )( m - 1 )
例2 把多項式x4 - y4因式分解.
解： ????4?????4
= ????22?????22
=????2+????2????2?????2
= ????2+????2????+?????????????
?
因式分解后，一定要檢查是否還有能繼續分解的因式，若有，則需繼續分解.
知識點二：平方差公式、提公因式法的綜合應用
例3 把多項式x5 - x3 y2因式分解.
分析：多項式 x5－x3y? 的各項有公因式 x3，故應先提公因式，然后運用公式法進行因式分解.
解：x5－x3y?＝x3(x2－y?)
＝x3( x＋y )(x－y).
方法總結：因式分解前應先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．注意因式分解必須進行到每一個多項式都不能再分解為止.
因式分解：
(1) 5m2a4 － 5m2b4； (2) a2 － 4b2 － a － 2b.
＝ ( a＋2b )( a－2b－1 ).
＝ 5m2( a2＋b2)( a＋b )( a－b ).
解：(1) 原式＝ 5m2( a4－b4 )
＝ 5m2( a2＋b2)( a2－b2 )
(2) 原式＝ ( a2－4b2 )－( a＋2b )
＝ ( a＋2b )( a－2b )－( a＋2b )
例4 把多項式 x4 － 9 因式分解.
在進行因式分解時，必須進行到每一個因式都不能分解為止.
解： x4－9＝( x2 )2－32
＝( x2＋3 )( x2－3 )
＝( x2＋3 )[ x2－(3 )2 ]
?
＝( x2＋3 )( x＋3 )( x－3 ).
?
做一做 用簡便方法計算：
(1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882.
解：(1) 原式＝( 6.1＋3.9 )( 6.1－3.9 )
＝10×2.2＝22.
(2) 原式＝( 0.12＋0.88 )( 0.12－0.88 )
＝1×(－0.76 )＝－0.76.
方法總結：較為復雜的有理數運算，可以運用因式分解對其進行變形，使運算得以簡化.
公式法定義：把乘法公式從右到左使用，就可以把某些形式的多項式因式分解. 這種因式分解的方法叫作公式法.
平方差公式因式分解：
???????????=?(????+????)?(?????????)
步驟：
(1)若多項式中有公因式，應先提取公因式，再進一步分解因式；
(2)剩余因式若有兩項，異號，兩項是平方差，則用平方差公式繼續分解因式.
?
注意：每個因式要分解到不能繼續分解為止.
1. 下列多項式中能用平方差公式因式分解的是（　　）
A．a2 ＋ ( - b)2 B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2 D． - x2 ＋ 9
D
2. 因式分解 ( 2x + 3 )2 - x2 的結果是（　　）
A．3( x2 + 4x + 3 ) B．3( x2 + 2x + 3 )
C．( 3x + 3 )( x + 3 ) D．3( x + 1 )( x + 3 )
D
3. 若 a + b = 3，a - b = 7，則 b2 - a2 的值為（　　）
A．- 21 B．21 C．- 10 D．10
A
4.用簡便方法計算：
（1） 49. 62 - 50. 42； （2） 13. 32 - 11. 72； （3） 0. 152 - 0. 352.
解：(1)原式=(49.6+50.4)(49.6-50.4)=100×(-0.8)=-80
(2)原式=(13.3 + 11.7)(13.3 - 11.7)=25×1.6=40
(3)原式=(0.15 + 0.35)(0.15 - 0.35)=-0.5×0.2=-0.1
5. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5，求 (m + 2n)2 - (3m - n)2的值．
原式 = -40×5 = -200.
解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n)
= (4m + n)(3n - 2m)
= -(4m + n)(2m - 3n).
當 4m + n = 40，2m - 3n = 5 時，
6. (1) 992 - 1 能被 100 整除嗎？
解：(1) 因為 992 - 1 = ( 99 + 1)( 99 - 1 ) = 100×98，
所以 ( 2n + 1)2 - 25 能被 4 整除.
(2) n 為整數，( 2n + 1)2 - 25 能否被 4 整除？
所以 992 - 1 能被 100 整除.
(2) 原式 = ( 2n + 1 + 5 )( 2n + 1 - 5 )
= ( 2n + 6 )( 2n - 4 )
= 2( n + 3) × 2( n - 2 ) = 4( n + 3 )( n - 2 ).

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