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1.3 公式法
課時2 利用完全平方公式進行因式分解
第1章 因式分解
1. 掌握完全平方公式的結構特征，并能靈活運用完全平方公式把多項式分解因式.
2. 能綜合運用不同的方法分解因式，培養觀察、比較以及運算能力.
1. 我們已學習過什么因式分解的方法？
提公因式法
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
2. 回顧完全平方公式：
(????+????)2=
(?????????)2 =
?
????2+2????????+????2
?
????2?2????????+????2
?
知識點一：用完全平方公式因式分解的多項式
上述公式中的 x，y，可以分別用任何數或任意多項式代入.
你能將x2＋4x＋4進行因式分解嗎？
完全平方公式 (x＋y)2＝x2＋2xy＋y2；
(x－y)2＝x2－2xy＋y2.
解：在完全平方公式中，將y用2代入得到等式：
????+22=????2+4????+4.
?
把這個等式從右到左使用，就可以把多項式????2+4????+4因式分解：
????2+4????+4=????+22.
?
兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或差)的平方.
完全平方公式分解因式:
整式乘法
(x±y)2=x2±2xy＋y2
因式分解
注意：公式中的x和y分別可以用數、單項式或多項式代入
例5 把多項式9x2 - 6x + 1因式分解.
分析：9x2 - 6x + 1符合完全平方公式右邊的形式，于是把這個公式從右到左使用，就可把 9x2 - 6x +1因式分解.
(3????)2
?
12
2·3????·1
?
解： 9x2－6x＋1= (3x)2－2 · 3x · 1 + 12
= (3x－1)2.
議一議 與同學交流，具有什么特征的多項式可以運用完全平方公式分解因式？
可以用完全平方公式分解因式的多項式的特征：
1.必須是三項式(或可以看成三項的)；
2.有兩個同號的數或式的平方；
3.中間有兩底數之積的±2倍.
口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)?
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
例6 把下列多項式因式分解：
(1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2.
知識點二：運用完全平方公式因式分解
這個多項式中的首項的系數是負數，怎么辦？
提取負號時，要注意此時放進括號內各項都要改變符號.
解：(1) －4x2＋12xy－9y2
＝－(4x?－12xy＋9y?)
＝－[(2x)?－2·2x·3y＋(3y)?]
＝－(2x－3y)?.
例6 把下列多項式因式分解：
(1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2.
有公因式 x，應先提出公因式，再進一步因式分解
解：(2) x5＋2x3y＋xy2
＝x(x4＋2x?y＋y?)
＝x[(x?)?＋2·x?·y＋y?]
＝x(x?＋y)?.
例7 把多項式x4 - 2x2 + 1因式分解.
具有平方差公式的特點
解： x4－2x2＋1
＝(x?)?－2·x?·1＋1?
＝(x?－1)?
＝[(x＋1)(x－1)]?
＝(x＋1)?(x－1)?.
注意：因式分解中必須進行到每個因式都不能分解為止.
做一做 可以利用完全平方公式把多項式(????+????)2?4(????+????)+4因式分解嗎？試一試.
?
一個整體
整體思想
解：(????+????)2?4(????+????)+4=(????+????)2?2·(????+????)·2+22
?
=(????+?????2)2
?
因式分解的步驟：
一提：先考慮用提公因式法(公因式可以是單項式或多項式)；
二套：然后考慮用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能連續用公式分解的要繼續分解；
三查：檢查每個因式是否被分解徹底．
分解因式：
(1) - 3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2) ( a2 + 4 )2 - 16a2.
＝( a2 + 4 + 4a )( a2 + 4 - 4a )
解：(1) 原式＝ - 3a2( x2 - 8x + 16 )
＝ - 3a2( x - 4 )2.
(2) 原式＝( a2 + 4 )2 - ( 4a )2
＝( a + 2 )2( a - 2 )2.
完全平方公式分解因式:
1.兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或差)的平方.
?????+2????????+??????(????+????)?
??????2????????+??????(?????????)?
?
2.結構特征：(1)必須是三項式(或可以看成三項的)；
(2)有兩個同號的數或式的平方；
(3)中間有兩底數之積的±2倍.
注意：每個因式要分解到不能繼續分解為止.
1. 下列四個多項式中，能因式分解的是 ( )
A．a2 + 1 B．a2 - 6a + 9
C．x2 + 5y D．x2 - 5y
2. 把多項式 4x2y - 4xy2 - x3 因式分解的結果是 ( )
A．4xy( x - y ) - x3 B． - x( x - 2y )2
C．x( 4xy - 4y2 - x2 ) D． - x( - 4xy + 4y2 + x2 )
B
B
3. 若 m ＝ 2n + 1，則 m2 - 4mn + 4n2 的值是_____．
1
4. 若關于 x 的多項式 x2 - 8x + m2 是完全平方式，則 m 的值為______．
±4
5. 因式分解：(1) 4x2 + 4x + 1； (2)13x2 - 2x + 3.
小聰和小明的解答過程如下：
?
他們做對了嗎？若不對，請你幫忙糾正過來.
(2)原式＝13(x2 - 6x + 9)＝13(x - 3)2.
?
解:(1)原式＝(2x)2 + 2×2x·1 + 1＝(2x + 1)2.
小聰: 小明:
×
×
6. (1) 已知 a - b＝3，求 a(a - 2b) + b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a + b＝5，求 a3b + 2a2b2 + ab3 的值.
解：(1) 原式＝a2 - 2ab + b2＝(a - b)2.
當 a - b＝3 時，原式＝32＝9.
(2) 原式＝ab(a2 + 2ab + b2)＝ab(a + b)2.
當 ab＝2，a + b＝5 時，原式＝2×52＝50.

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