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(共18張PPT)
2.1 代數式的概念
1.1 多項式的因式分解
第1章 因式分解
1.理解因式分解的概念；
2.能對多項式進行因式分解；
3.掌握因式分解與整式乘法的關系--互逆關系，并能運用這種關系解決因式分解的相關問題.
2.若有一個多項式 3x2+6x，類似地，能不能像分解數字一樣把它拆分成幾個整式相乘的形式，從而解決一些復雜的代數問題呢？
1.如何快速計算1225？
原式=3×4×25=3×(4×25)=3×100=300
探究一：探索因式分解的概念
活動 閱讀下列材料，填空并回答問題
(1) 因為(x + 1) = ，所以 x + 2x + 1 = (x + 1)( )；
(2) 因為x(x－) = ，所以 x －x = x( ).
(1) (x + 1) = x + 2x + 1
x + 2x + 1= (x + 1)(x + 1)
x －x=x(x－)
(2) x(x－) =x －x
問題1：箭頭左邊的變形是什么運算？變形的結果是和的形式還是積的形式？箭頭右邊變形的結果是什么形式？
一般地，對于多項式 f 與 g，如果有多項式 h 使得 f = gh，那么把 g 叫作 f 的一個因式，此時，h 也是 f 的一個因式.
單項式可看作只有一項的多項式
↗
x + 2x + 1= (x + 1)
x －x=x(x－)
x + 1 是多項式 x + 2x + 1 的因式
x 和 x－ 都是 x －x 的因式.
問題2：f = gh的右邊是什么形式？對照定義，找出下列兩個多項式的因式.
乘積的形式
問題3：對于多項式f，f = gh這一過程是什么變形？小組討論.
多項式的因式分解： 一般地，把一個多項式表示成若干個多項式的乘積的形式，稱為把這個多項式因式分解.
注意:1.分解的對象必須是多項式；2.分解的結果一定是積的形式.
3.結果中的每一個因式都必須是整式.
問題4：多項式的因式分解：多項式=（整式）（整式）（整式），思考這種書寫方式正確嗎？多項式的因式分解過程有什么需要注意的地方？小組討論并回答說明理由
思考 因式分解是一種怎樣的變形？它與方程的變形（如解方程時的移項、去分母等）有什么區別？
因式分解是多項式的恒等變形，變形前后對所有字母取值都相等.
區別：因式分解對象是多項式，目的是變 “和差” 為 “積”，不改變字母取值范圍；
方程變形對象是等式，目的是求未知數，可能因乘除含未知數的式子改變取值范圍.
1.判斷下列變形是否為因式分解，并說明理由.
(1)x2 + 5x = x(x + 5);
(2)x(x - 3) = x2 - 3x;
(3)x2 + 2x + 1 = (2x + 1) + x2
(4)x2 2=x(x )
(5)4x2 - 8x= 2x(2x - 4)
是，積的形式
否，是乘法運算
否，和的形式
否，結果中有因式不是整式
否，分解不徹底
小組討論，發散思維，多項式的因式分解如果分解不徹底會發生什么？
2.下列多項式中，分解因式的結果為-(x+y)(x-y)的是（　　）
A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2
C．x2+y2 D．﹣x2﹣y2
B
活動1 根據要求填空，并回答問題
探究二：掌握因式分解與整式乘法的關系
根據左面算式填空:
(1) 3x2-3x=_________
(2)ma+mb+mc=___________
(3) m2-16=__________
(4) x2-6x+9=________
(5) a3-a=___________
計算下列各式:
(1) 3x(x-1)= ,
(2) m(a+b+c) = ,
(3)(m+4)(m-4)= ,
(4)(x-3)2= ,
(5)a(a+1)(a-1)= ,
3x2 - 3x
ma+mb+mc
m2 -16
x2-6x+90
a3-a
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(x-3)2
a(a+1)(a-1)
問題1：觀察上面的兩組等式，說說它們分別是什么運算？兩者之間有什么聯系？
互為逆過程
左邊為整式乘法，右邊為因式分解
x2 － y2 ( x + y )( x － y )
多項式的因式分解
多項式的乘法
多項式的因式分解與多項式的乘法運算是互逆的變形過程，如
問題2：觀察上面的示意圖，小組討論，如何判斷x2 - 6x + 9 = (x - 2)(x - 3)這個因式分解是否正確？
用多項式的乘法計算右邊：x2 - 5x + 6左邊，因此錯誤.
因式分解的正確性可以通過逆向的整式乘法驗證.
例 若多項式x2+ax+b分解因式的結果為a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值.
解：因為x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)，
而a(x﹣2)(x+3)=ax2+ax-6a.
所以a=1，b=﹣6a=﹣6.
因式分解與整式乘法為互逆運算是此類問題的關鍵，應先把分解因式后的結果乘開，再與多項式的各項系數對應比較即可.
3.檢驗下列因式分解是否正確.
(1)x2 + xy = x(x+y) ；
(2) a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3) ；
(3) 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .
看等式右邊的幾個多項式的乘積與左邊的多項式是否相等.
解：（1）因為x( x + y ) = x2 + xy ，所以正確.
（2）因為(a-2)(a-3) = a2-5a+6，所以正確.
（3）因為(2m-n)(2m+n)= 4m2-n2≠2m2-n2，所以不正確.
一般地，把一個多項式表示成若干個多項式的乘積的形式，稱為把這個多項式因式分解.
多項式的因式分解
定義
與整式乘法的關系
互逆的變形過程
1.選擇:
(1)下列各式由左到右的變形是因式分解的是 ( )
　A.-9+a2=-(3+a)(3-a) B.(x-2)(x-3)=x2-5x+6
　C.a2-2ab+b2+a=(a-b)2+a D.m2+m=m2(1+ )
(2)(m+2n)(m-2n)是下列哪個多項式分解因式的結果( ) 　　
　A.m2+4n2 B.-m2+4n2
　C.m2-4n2 　D.-m2-4n2
A
C
2.判斷下列各式從左到右的變形中，是否為因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
D. ax+by+c=x(a+b)+c
E. 2a3b=a2 2ab
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
√
×
×
×
×
×
3. 若多項式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值.
解：因為 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次數是 4，
所以可設 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b).
則 x4 + mx3 + nx﹣16= x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b.
比較系數得
a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16.
解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20.
所以 mn =﹣5×20 =﹣100．
4. 甲、乙兩個同學分解因式 x2 + ax + b 時，甲看錯了 b，分解結果為 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看錯了 a，分解結果為( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值.
解：分解因式甲看錯了 b，但 a 是正確的，
其分解結果為 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8，所以 a = 6.
同理，乙看錯了 a，但 b 是正確的，
分解結果為 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9，所以 b = 9.
因此 a + b = 15.

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