資源簡介

2.1 代數式的概念
1.2 提公因式法
第1章 因式分解
課時1 提單項式公因式
1.了解公因式和提公因式的概念；
2.掌握找多項式中的公因式的方法；
3.掌握提單項式公因式法進行因式分解.
什么是因式？什么是因式分解？?
因式：如果一個整式能整除另一個整式，那么這個整式就是另一個整式的因式.
因式分解：把一個多項式表示成若干個多項式的乘積的形式.
?2.m(a+b)=ma+mb這一變形屬于什么運算？運用了什么定律？那么反過來ma+mb=m(a+b)屬于什么運算？
多項式的乘法，運用了乘法分配律；
多項式的因式分解.
運用這樣的方法來因式分解，有什么特殊之處？
探究一：探索提公因式的概念
活動1 觀察下列代數式，并回答問題
xy，3xz，xw
問題1：說出上式中次數大于0的因式，并思考其中有相同的因式嗎？
xy中次數大于0的因式有x，y；
3xz中次數大于0的因式有x，z；
xw中次數大于0的的因式有x，w.
有相同的因式 x.
問題2：類比于幾個數的公因式，代數式中有相同的因式稱為什么？
幾個多項式的相同因式稱為它們的公因式.
活動2 計算x(y+3z)，并回答問題
問題1：????(????+3????)=????????+3????????這一過程用了什么運算定律？已知????????+3????????，能否寫成????(????+3????)的形式？這兩個過程有什么聯系？?
?
????(????+3????)=????????+3????????
?
逆用乘法分配律，核心公式：ma+mb+mc=m(a+b+c)
整式乘法
問題2：第二個等式中x的位置發生怎樣的變化？嘗試用自己的話解釋這一因式分解的過程，小組討論這種方法的本質是什么？
????????+3????????=????(????+3????)
?
公因式x提到括號外面來
因式分解
問題3：如何確定一個多項式 3 x 2 – 6 x y 的公因式？多項式的公因式僅指 “相同字母” 嗎？
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，這種把多項式因式分解的方法叫做提公因式法．
系數：不考慮符號，找出最大公因數
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 3x
指數：
相同字母的最低次數
1
問題4 :用自己的話概括正確找出多項式的公因式的步驟有哪些？
3. 定指數：相同字母的指數取各項中最小的一個，即同字母的最低次數.
1. 定系數：對于整數系數的多項式來說，公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數；
2. 定字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母；
1.寫出下列多項式各項的公因式
(1)4kx-8y (2)6m4+20m2
(3)a2b-2ab2+ab
ab
4
2m2
活動1 用提公因式法因式分解下列多項式，并回答問題
探究二：掌握多項式因式分解
(1)4x2－6x3
(2) 8x?y4－12xy?z
(1)4x2－6x3
= 2x?· 2x-2x?· 3x
= 2x?(2－3x).
(2)8x?y4－12xy?z
＝ 4xy? · 2xy?－4xy? · 3z
＝4xy?(2xy?－3z).
問題 ：提公因式法的步驟有哪些？以及該如何檢驗這一過程是正確的？
1.找出公因式；2.提取公因式.用整式的乘法檢驗結果是否正確.
活動2 判斷下列多項式的因式分解是否正確，如果錯誤，請說明理由.
(1)5x?－3xy＋x＝x(5x－3y);
(2)－3x?＋6xy－3xz = －(3x?－6xy＋3xz)=－3x(x－2y＋z);
(3)3x2?6x+3y3=3x(x-2)+3y3;
×，項x提出漏了 1
×，結果不是乘積的形式
√
(4)x2y + xy2+ x3y2 = xy(x+y+xy) .
×，分解結果錯誤
(5)2x? + 4x = x(2x + 4)；
×，公因式沒有提盡
問題1 ：為什么說 “提公因式必須提盡”？提不盡可能導致什么問題？
“提公因式必須提盡” 的核心是確保分解的徹底性，這是因式分解的基本要求.提不盡可能導致分解不徹底、后續運算出錯、結果不規范等問題.
問題3 ：通過解題過程，歸納出提公因式法的注意事項.
問題2 ：當多項式首項系數為負數時，如何處理符號？一定這樣做嗎？這樣做的理由是什么？小組討論并嘗試不同做法.
－3x?＋6xy－3xz = －(3x?－6xy＋3xz)=－3x(x－2y＋z);
先提取“-1”，將括號內首項化為正數，同時括號內各項符號需反向;規范形式、簡化計算、避免錯誤.
公因式提取（提全、提盡、符號正確）；形式規范（結果必須是 “整式的積”）；分解徹底；不要漏項；檢驗驗證（整式乘法反向驗證結果正確）.
2.因式分解：
(1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a?－9ab；(3) －5a? + 25a.
解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3).
(2) 3a?－9ab = 3a(а－3b).
(3) －5a? + 25a = －5a(a－5).
活動3 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值.
問題1：根據已知條件，如何求出?a和?b的值嗎？嘗試計算一下，過程是否復雜？?用求出的?a、?b代入方便嗎？小組討論更簡便的方法.
復雜；將 a2b＋ab2因式分解成用a+b和ab表示的形式，再整體代入.
問題2：a2b＋ab2 如何通過因式分解將其轉化為含?a+b和?ab的式子？
提公因式法，原式＝ab(a ＋ b)＝4×7＝28.
方法總結：含 a±b，ab 的求值題，通常將所求代數式進行因式分解，將其變形為能用 a±b 和 ab表示的式子，然后將 a±b，ab 的值整體代入即可.
經過這一過程，有什么啟示？
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面
提單項式公因式
定義
步驟
1.定系數
2.定字母
3.定指數
找公因式
提公因式
1. 多項式 15m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是（　　）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
2. 下列多項式的因式分解，正確的是（　　）
A．12xyz - 9x2y2 = 3xyz（4 - 3xyz）
B．3a2y - 3ay + 6y = 3y（a2 - a + 2）
C．- x2 + xy - xz = - x（x2 + y - z）
D．a2b + 5ab - b = b（a2 + 5a）
B
C
3. 把下列各式分解因式：
(1) 8m2n + 2mn = _____________；
(2) 12xyz - 9x2y2 = _____________；
(3) - x3y3 - x2y2 - xy = _________________.
2mn ( 4m + 1)
3xy ( 4z - 3xy)
- xy ( x2y2 + xy + 1)
4. 把 - 24x3 - 12x2 + 28x 分解因式.
解：原式=?(24x3+12x2?28x)=?4x(6x2+3x?7)
?
5. 把下列多項式因式分解：
y(3x-5y+1)
（1）3xy-5y2+y；　
(4)-6m3n2-4m2n3+10m2n2.
-2m2n2(3m+2n-5)
(2) 8a 2c+ 2bc
(3)3x3 -3x2 –9x
(5)-4a 3b3 +6 a2 b-2ab
(6)-2x2 –12xy2 +8xy3
2c(4a2+b)
3x(x2-x-3)
2ab(-2a2b2+3a-1)
2x(-x-6y2+4y3)
或-2ab(2a2b2-3a+1)
或-2x(x+6y2-4y3)
6.已知 2x + y = 4，xy = 3，求代數式 2x2y + xy2 的值.
解：2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12.

展開更多......

收起↑