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第1章 因式分解
1.3 公式法
課時1 利用平方差公式進行因式分解
1.理解平方差公式的結構特征，能夠準確識別可以使用平方差公式進行因式分解的多項式．
2.會綜合運用提公因式法和平方差公式對多項式進行因式分解，培養觀察、歸納、類比、概括能力．
如圖，在邊長為 a 米的正方形上剪掉一個邊長為 b 米的小正方形，將剩余部分拼成一個長方形，根據此圖形變換，你能得到什么等式？
a米
b米
b米
a米
(a-b)米
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
探究：計算下列各式：
(1)(a＋2)(a－2)＝_________；
(2)(a＋b)(a－b)＝________；
(3)(3a＋2b)(3a－2b)＝_________．
a2－4
a2－b2
9a2－4b2
請你根據上面的算式填空，你發現了什么？
(1)a2－4＝_________________；
(2)a2－b2＝________________；
(3)9a2－4b2＝_________________ ．
(a＋2)(a－2)
(a＋b)(a－b)
(3a＋2b)(3a－2b)
兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積.
整式乘法
(x+y)(x?????)=x2?y2
?
因式分解
x2?y2=(x+y)(x?????)
?
像上面那樣，把乘法公式從右到左使用，就可以把某些形式的多項式因式分解，這種因式分解的方法叫作公式法.
x?－25＝ ＝ .
在平方差公式中，將 y 用 5 代入得到等式：
把這個等式從右到左使用，就可以把多項式x?－25因式分解：
x?－5?
(x＋5)(x－5)
如何把x2-25因式分解？
????+5?????5=????2?52=????2?25.
?
5x
例1 把多項式 25x?－4y? 因式分解.
分析 25x?＝(5x)? 和 4y?＝(2y)? ，有平方差公式的逆用可知，
x2 ? y2 = (x+y)(x?????)
?
2y
解：25????2?4????2=(5????)2?(2????)2
=(5????+2????)(5?????2????)
?
方法總結：公式中的 x、y 無論表示數、單項式、還是多項式，只要被分解的多項式能轉化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
做一做：把多項式(????+????)2?(?????????)2因式分解？
?
作為整體
(????+????)是公式中的????
(?????????)是公式中的????
?
于是(????+????)2?(???? ? ????)2=[(????+????)+(?????????)][(????+????)?(?????????)]
=2???? ? 2???? = 4????????.
?
解：由平方差公式得
????+????+(?????????)????+?????(?????????)=????+????2?(?????????)2
?
議一議：與同學交流，具有什么特征的多項式可用平方差公式分解因式？
1、必須是二項式（兩項）；
2、兩項都能寫成平方的形式（兩個平方）
3、兩項符號相反（一正一負）
能運用平方差公式分解因式的多項式的特點：
x2?y2=(x+y)(x?????)
?
例2 把多項式 x4－y4 因式分解.
解： x4－y4＝( x2 )2－( y2 )2
＝( x2＋y2 )(x2－y2 )
＝( x2＋y2 )( x＋y )(x－y ).
因式分解必須進行到每個因式都不能再分解為止.
到這一步，因式分解完了沒有呢？
分解因式：
(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b).
(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n )
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
例3 把多項式 x5－x3y? 因式分解.
分析：多項式 x5－x3y? 的各項有公因式 x3，故應先提公因式，然后運用公式法進行因式分解.
解：x5－x3y?＝x3(x2－y?)
＝x3( x＋y )(x－y).
思考：這個多項式有沒有公因式？如果有，你覺得應該怎樣進行因式分解？
例4 把多項式 x4 － 9 因式分解.
解： x4－9＝( x2 )2－32
＝( x2＋3 )( x2－3 )
＝( x2＋3 )[ x2－(3 )2 ]
?
＝( x2＋3 )( x＋3 )( x－3 ).
?
????=????2(????≥0)
?
做一做：用簡便方法計算：
(1) 6.12?3.92; (2) 0.122?0.882.
?
解：(1)?6.12?3.92
=6.1+3.96.1?3.9
=10×2.2
=22
?
(2) 0.122?0.882
=0.12+0.880.12?0.88
=1×0.76
=0.76
?
公式
平方差公式分解因式
a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
步驟
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多項式的因式分解有沒有分解到不能再分解
1.下列多項式中，能用平方差公式進行因式分解的是（??? ）
A．?????2?????2 B．????2+????2 C．????2?????2 D．????2?????2?1
2.因式分解“16????2?Δ”得4????+5????4?????5????，則“Δ”是（? ??）
A．16 B．?16????2 C．25????2 D．?25????2
3.若????2?????2=6，且?????????=3，則????+????的值為（ ?? ?）
A．1 B．2 C．2或-2 D．4
?
C
C
B
4. 如圖，在邊長為 6.8 cm 的正方形鋼板上，挖去 4 個邊長為 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面積．
解：根據題意，得剩余部分面積為：
6.82 - 4×1.62
＝ 6.82 - (2×1.6)2
＝ 6.82 - 3.22
＝ (6.8 + 3.2)(6.8 - 3.2)
＝ 10×3.6
＝ 36 (cm2).
答：剩余部分的面積為 36 cm2.
5.試說明：當 n 為整數時，多項式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除．
即多項式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除．
解：原式 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n ? 2 = 8n.
因為 n 為整數，
所以8n 一定能被 8 整除，
方法總結：整除問題的基本思路，是將代數式化為整式的乘積的形式，然后分析能被哪些數或式子整除．

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