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(共17張PPT)
第1章 因式分解
1.3 公式法
課時(shí)2 利用完全平方公式進(jìn)行因式分解
1. 掌握運(yùn)用完全平方公式分解因式的方法，靈活運(yùn)用完全平方公式把多項(xiàng)式分解因式.
2. 會(huì)綜合運(yùn)用提公因式法和完全平方公式對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．
分解下列因式：
(1)x2－4y2； (2)(x＋3y)2－(x－3y)2.
解：(1)原式＝(x＋2y)(x－2y)；
(2)原式＝(x＋3y＋x－3y)(x＋3y－x＋3y)＝12xy.
根據(jù)學(xué)方差公式因式分解的經(jīng)驗(yàn)和方法，你能將形如“a2＋2ab＋b2，a2－2ab＋b2”的式子因式分解嗎？
探究：計(jì)算下列各式：
(1)(a－2b)2＝________________；
(2)(7a－b)2＝________________；
(3)(3a－2b)2＝_______________．
a2－4ab＋4b2
49a2－14ab＋b2
9a2－12ab＋4b2
請(qǐng)你根據(jù)上面的算式填空，你發(fā)現(xiàn)了什么？
(1)a2－4ab＋4b2＝______________；
(2)49a2－14ab＋b2＝____________；
(3)9a2－12ab＋4b2＝____________ ．
(a－2b)2
(7a－b)2
(3a－2b)2
兩個(gè)數(shù)的平方和加上 (或減去) 這兩個(gè)數(shù)積的 2 倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和 (或差) 的平方.
整式乘法
(x±y)2=x2±2xy＋y2
因式分解
x2±2xy＋y2=(x±y)2
x ＋4x＋4＝ .
在完全平方公式中，將 y 用 2 代入得到等式：
把這個(gè)等式從右到左使用，就可以把多項(xiàng)式x －25因式分解：
如何把x ＋4x＋4因式分解？
.
這種方法就是利用完全平方公式進(jìn)行因式分解．
例5 把多項(xiàng)式 9x2－6x＋1 因式分解：
分析：9x2 = (3x)2， 1 = 1 ，2·3x·1 = 6x，
因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式右邊的形式，于是從右到左使用完全平方公式 ，就可把 9x2－6x＋1 因式分解.
解： 9x2－6x＋1
= (3x－1)2.
= (3x)2－2 · 3x · 1 + 12
議一議：與同學(xué)交流，具有什么特征的多項(xiàng)式可以運(yùn)用完全平方公式分解因式？
x2±2xy＋y2=(x±y)2
1、必須是三項(xiàng)式（三項(xiàng)）；
2、兩項(xiàng)都能寫成平方的形式（兩個(gè)平方），符號(hào)相同；
3、兩底數(shù)乘積積的2倍放中間，符號(hào)既可以為正也可以為負(fù).
能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn)：
例6 把下列多項(xiàng)式因式分解：
(1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2.
解：(1) －4x2＋12xy－9y2
＝－(4x －12xy＋9y )
＝－[(2x) －2·2x·3y＋(3y) ]
＝－(2x－3y) .
分析：(1)中首項(xiàng)有負(fù)號(hào)，一般先利用添括號(hào)法則，將其變形為
－(4x2－12xy＋9y2)
然后再利用公式因式分解.
例6 把下列多項(xiàng)式因式分解：
(1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2.
解：(2) x5＋2x3y＋xy2
＝x(x4＋2x y＋y )
＝x[(x ) ＋2·x ·y＋y ]
＝x(x ＋y) .
分析：(2) 中有公因式 x，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步因式分解；
例7 把多項(xiàng)式 x4－2x2＋1 因式分解.
解： x4－2x2＋1
＝(x ) －2·x ·1＋1
＝(x －1)
歸納：分解因式前應(yīng)先分析多項(xiàng)式的特點(diǎn)，一般先提公因式，再套用公式，平方項(xiàng)為負(fù)的先提出負(fù)號(hào)．
注意:分解因式必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解因式為止．
到這一步，因式分解完了沒有呢？
＝[(x＋1)(x－1)]
＝(x＋1) (x－1) .
可以利用完全平方公式把多項(xiàng)式 (x＋y) －4(x＋y)＋4 因式分解嗎？試一試.
分析：將 x＋y 看成一個(gè)整體，如 x＋y = m，則原式化為 m2 - 4m + 4.
解：(x＋y) －4(x＋y)＋4
＝(x＋y) －2·(x＋y)·2＋2
＝(x＋y－2) .
歸納：完全平方公式中的x、y無(wú)論表示數(shù)、單項(xiàng)式、還是多項(xiàng)式，只要被分解的多項(xiàng)式能轉(zhuǎn)化成完全平方式的形式，就能用完全平方公式因式分解.
利用完全平方公式因式分解
公式
a2±2ab＋b2 = (a±b)2
特點(diǎn)
(1)要求多項(xiàng)式有三項(xiàng)；
(2)其中兩項(xiàng)是某數(shù)或式的平方和，另一項(xiàng)則是這兩數(shù)或式的乘積的 2 倍，符號(hào)可正可負(fù).
1.下面的多項(xiàng)式能否用完全平方公式分解因式？說(shuō)明理由.
（1） x2 - 12xy + 36y2； （2） x2 - 10x - 25；
（3） 9x2 y2 - 3xy + 1； （4）-2xy - x2 - y2.
解：(1)能用，符合完全平方公式分解因式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).
(2)不能用， x2 與-25不同號(hào).
(3)不能用，- 3xy不是首尾項(xiàng)之積的2倍.
(4)能用，符合完全平方公式分解因式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).
2.因式分解：
（1） ；
解：(1)原式
.
（2） .
(2)
.
3.利用完全平方公式簡(jiǎn)便計(jì)算：
(1) 1002 - 2×100×99 + 99 ； (2) 342 + 34×32 + 162.
解：(1) 原式 = (100 - 99)
(2) 原式 = (34 + 16)2
= 1.
= 2500.
4.已知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29＝0，求 x2y2 + 2xy + 1 的值.
解：由題可知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29
因?yàn)?(x - 2)2 ≥ 0，(y - 5)2 ≥ 0，
所以 x - 2＝0，y - 5＝0，
所以 x＝2，y＝5.
所以 x2y2 + 2xy + 1 ＝ ( xy + 1 )2＝ 112 ＝ 121.
幾個(gè)非負(fù)式的和為 0，則這幾個(gè)非負(fù)式都為 0
＝ x2 - 4x +4+ y2 - 10y + 25
＝ (x - 2)2 + (y - 5)2＝0，

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