資源簡(jiǎn)介

3　勾股定理的應(yīng)用
第一章　勾股定理
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.應(yīng)用“勾股定理”解決實(shí)際問題，體會(huì)把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，解決“最短路徑”的問題；(重點(diǎn))
2.會(huì)根據(jù)“勾股定理的逆定理”解決實(shí)際問題；(重點(diǎn))
3.利用數(shù)學(xué)中的“建模思想”構(gòu)造直角三角形解決實(shí)際問題.(難點(diǎn))
溫故知新
1.勾股定理：
直角三角形兩 的平方和等于 的平方.
如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，
那么 .
直角邊
斜邊
a2+b2=c2
a
A
B
C
b
c
溫故知新
2.勾股定理的逆定理：
如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
3.勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個(gè) ，稱為勾股數(shù).
幾何語言：
在△ABC中，∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
a2+b2=c2
正整數(shù)
a
A
B
C
b
c
新課導(dǎo)入
如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長(zhǎng)為18cm，在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到圓柱上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？
新課講授
議一議：(1)自己做一個(gè)圓柱，嘗試從點(diǎn)A到點(diǎn)B沿圓柱側(cè)面
畫幾條路線，你覺得哪條路線最短？
探究一：確定立體圖形中兩點(diǎn)之間的最短距離
(2)如圖，將圓柱側(cè)面剪開展成一個(gè)長(zhǎng)方形，點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路線
是什么？你畫對(duì)了嗎？
A
B
A
B
A
B
新課講授
最短
路線
依據(jù)是什么？
(3)螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，想吃到B點(diǎn)上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？
新課講授
12 cm
9 cm
∵由勾股定理得AB2=122+92=225，
∴AB=15(厘米)
∴螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，
想吃到B點(diǎn)上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是15 cm.
知識(shí)歸納
立體圖形中求兩點(diǎn)間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線.
確定立體圖形中兩點(diǎn)之間的最短距離：
1.有一個(gè)圓柱形油罐，要以A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子，正好建在A點(diǎn)的正上方點(diǎn)B處，問梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半徑是2 m，高AB是5 m，π取3)
A
B
小牛試刀
A
B
A'
B'
解：油罐的展開圖如圖，
則AB'為梯子的最短距離.
∵AA'=2×3×2=12，A'B'=5，
∴AB'=13.即梯子最短需13米.
展開
做一做：李叔叔想要檢測(cè)雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺.
(1)你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？
新課講授
解：連接對(duì)角線AC，只要分別量AB.BC.AC的長(zhǎng)度即可.
若：AB2+BC2=AC2，則△ABC為直角三角形，
同理可判斷△ABD是否為直角三角形.
探究二：應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題
新課講授
(2)李叔叔量得邊AD長(zhǎng)是30 cm，邊AB長(zhǎng)是40 cm，點(diǎn)B，D之間的距離是50 cm.邊AD垂直于邊AB嗎？
解：邊AD垂直于邊AB.
∵在△ABD中，AD2+AB2=302+402=900+1600=2500=BD2，
∴△ABD是直角三角形，∠A是直角.
∴AD⊥AB.
30 cm
40 cm
50 cm
新課講授
(3)小明隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為20 cm的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？
解：在AD上取點(diǎn)M，使AM=9 cm，在AB上取點(diǎn)N使AN=12 cm，
9 cm
12 cm
M
N
只要測(cè)量MN是否是15 cm，就可以判斷是否垂直，
如果MN是15 cm，AD邊垂直于AB邊；
如果MN不是15 cm，AD邊不垂直于AB邊.
知識(shí)歸納
利用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟：
(1)讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；
(2)構(gòu)造直角三角形；
(3)利用勾股定理等列方程；
(4)解決實(shí)際問題.
數(shù)學(xué)問題
直角三角形
勾股定理
實(shí)際問題
轉(zhuǎn)化
利用
解決
構(gòu)造
2.如圖是一個(gè)滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長(zhǎng).已知滑梯的高度CE=3 m，CD=1 m，試求滑道AC的長(zhǎng).
小牛試刀
故滑道AC的長(zhǎng)度為5 m.
解：設(shè)滑道AC的長(zhǎng)度為x m，則AB的長(zhǎng)也為x m，AE的長(zhǎng)度為(x-1)m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即(x-1)2+32=x2，解得x=5.
例1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)中有這樣一道數(shù)學(xué)題：有一棵枯樹直立在地上，樹高2丈，粗3尺，有一根藤條從樹根處纏繞而上，纏繞7周到達(dá)樹頂，請(qǐng)問這根藤條有多長(zhǎng)？(注：枯樹可以看成圓柱；數(shù)粗3尺指的是：圓柱底面周長(zhǎng)為3尺，1丈=10尺)
典例分析
解：∵樹可以近似看作圓柱，藤條繞樹纏繞7周，
可得到AC=3×7(尺)=21(尺)，樹高BC=20尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB?=BC?+AC?，
∴AB?=20?+21?=841，∴AB=29，∴這根藤條有29尺．
A
B
D
C
O
例2.如圖，一架2.6 m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO為
2.4 m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎?
典例分析
解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1∴OB=1，
在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15，
∴????????=3.15≈1.77，
∴BD=OD-OB≈1.77-1≈0.77，
∴梯子的頂端沿墻下滑0.5m時(shí)，梯子底端并不是
也外移0.5m，而是外移約0.77m.
?
學(xué)以致用
1.校園內(nèi)有兩棵樹，相距8米，一棵樹高為13米，另一棵樹高7米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛(　　)
A.10米 B.11米 C.12米 D.13米
A
2.如圖，王大伯家屋后有一塊長(zhǎng)12 m，寬8 m的矩形空地，他在以長(zhǎng)邊BC為直徑的半圓內(nèi)種菜，他家養(yǎng)的一只羊平時(shí)拴A處的一棵樹上，為了不讓羊吃到菜，拴羊的繩長(zhǎng)可以選用(　　)
A.3 m B.5 m C.7 m D.9 m
學(xué)以致用
A
4.如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它爬的最短距離為 .
3.如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2 cm和4 cm，高為5 cm.如果一根細(xì)線從點(diǎn)P開始經(jīng)過四個(gè)側(cè)面繞一圈到達(dá)點(diǎn)Q，那么所用細(xì)線最短需要 cm.
學(xué)以致用
13
25
5.如圖，在一次夏令營(yíng)中，小明從營(yíng)地A出發(fā)，沿北偏東53°方向走了400 m到達(dá)點(diǎn)B，然后再沿北偏西37°方向走了300 m到達(dá)目的地C.
求A、C兩點(diǎn)之間的距離．
學(xué)以致用
解：如圖，過點(diǎn)B作BE∥AD.
∴∠DAB＝∠ABE＝53°.
∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，
∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，
∴AC＝500 m，即A、C兩點(diǎn)間的距離為500 m.
E
課堂小結(jié)
勾股定理的應(yīng)用
應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題
(1)讀懂題意，分析已知.未知間的關(guān)系；
(2)構(gòu)造直角三角形；
(3)利用勾股定理等列方程；
(4)解決實(shí)際問題.
確定立體圖形中兩點(diǎn)之間的最短距離
立體圖形中求兩點(diǎn)間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線.
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