資源簡介

(共21張PPT)
1　探索勾股定理(2)
第一章　勾股定理
1.學會用幾種方法驗證勾股定理.(重點)
2.能夠運用勾股定理解決簡單問題.(重點，難點)
學習目標
活動：請你利用自己準備的四個全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長的正方形.
有不同的拼法嗎？
引入新課
一、勾股定理的驗證
據不完全統計，驗證的方法有400多種，你有自己的方法嗎？
問題：上節課我們認識了勾股定理，你還記得它的內容嗎？那么如何驗證勾股定理呢？
講授新課
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
方法小結：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數的問題結合起來，再進行整式運算，從理論上驗證了勾股定理.
驗證方法一：畢達哥拉斯證法
大正方形的面積可以表示為 ；也可以表示為 .
(a+b)2
c2+4 ab
∵(a+b)2=c2+4 ab，
即a2+2ab+b2=c2+2ab，
∴a2+b2=c2.
講授新課
一、勾股定理的驗證
c
a
c
a
驗證方法二：趙爽弦圖
b
c
a
b
c
大正方形的面積可以表示為 ；也可以表示為 .
∵c2=4 ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2，
∴a2+b2=c2.
c2
4 ab+(b-a)2
講授新課
b
a
b
一、勾股定理的驗證
b
c
a
b
c
a
A
B
C
D
如圖，梯形由三個直角三角形組合而成，
利用面積公式，列出代數關系式，
得
化簡，得
驗證方法三：美國總統證法
講授新課
一、勾股定理的驗證
青入
青方
青出
青出
青入
朱入
朱方
朱出
青朱出入圖
課外鏈接
如圖，過A點畫一直線AL使其垂直
于DE，并交DE于L，交BC于M.
通過證明△BCF≌△BDA，利用三角
形面積與長方形面積的關系，得到
正方形ABFG與矩形BDLM等積，同
理正方形ACKH與矩形MLEC也等積，
于是推得
歐幾里得證明勾股定理：
講授新課
觀察下圖，用數格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a2+b2=c2.
講授新課
二、勾股定理的簡單應用
例1.我方偵查員小王在距離東西向公路400 m處偵查，發現一輛敵方汽車在公路上疾駛.他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400 m，10 s后，汽車與他相距500 m，你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎
公路
B
C
A
400 m
500 m
解：由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，即5002=BC2+4002，
所以BC=300.敵方汽車10 s行駛了300 m，
那么它1 h行駛的距離為300×6×60=108000(m)
即它行駛的速度為108 km/h.
典例精析
1.湖的兩端有A、B兩點，從與BA方向成直角的BC方向上的點C測得CA=130米，CB=120米，則AB為(　　)
A
B
C
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
130
120

A
小牛試刀
A
B
C
2.如圖，太陽能熱水器的支架AB長為90 cm，與AB垂直的BC長為120 cm.
太陽能真空管AC有多長
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，
得AC2=AB2+BC2，
AC2=902+1202，
AC=150(cm).
答：太陽能真空管AC長150 cm.
小牛試刀
例2.如圖，高速公路的同側有A，B兩個村莊，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km.現要在高速公路上A1、B1之間設一個出口P，使A，B兩個村莊到P的距離之和最短，求這個最短距離和.
典例精析
解：作點B關于MN的對稱點B′，連接AB′，交A1B1于P點，連BP.
則AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，
易知P點即為到點A，B距離之和最短的點.
過點A作AE⊥BB′于點E，
則AE＝A1B1＝8 km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km).
由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，∴AB′＝10(km).即AP＋BP＝AB′＝10 km，
故出口P到A，B兩村莊的最短距離和是10 km.
變式：如圖，在一條公路上有A、B兩站相距25 km，C、D為兩個小鎮，已知DA⊥AB，CB⊥AB，DA=15 km，CB=10 km，現在要在公路邊上建設一個加油站E，使得它到兩鎮的距離相等，請問E站應建在距A站多遠處
D
A
E
B
C
15
10
25-x
典例精析
解：設AE長為x千米，則EB長為千米，
由題意得：，
解得：.
答：E站應建在距A站10千米處.
當堂練習
1.在直角三角形中，滿足條件的三邊長可以是 .(寫出一組即可)
【解析】答案不唯一，只要滿足式子a2+b2=c2即可.
答案：3，4，5(滿足題意的均可)
2.如圖，王大爺準備建一個蔬菜大棚，
棚寬8 m，高6 m，長20 m，棚的斜面用
塑料薄膜遮蓋，不計墻的厚度，陽光透
過的最大面積是_________.
200 m2
3，4，5
3.如圖，一根旗桿在離地面9 m處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12 m處.旗桿原來有多高
12 m
9 m
解：設旗桿頂部到折斷處的距離為x m，
根據勾股定理得 ，
解得x=15，15+9=24(m).
答：旗桿原來高24 m.
當堂練習
4.如圖，某住宅小區在施工過程中留下了一塊空地
(圖中的四邊形ABCD)，經測量，在四邊形ABCD中，
AB=3m，BC=4m，AD=13m，∠B=∠ACD=90°.小區
為美化環境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米
100元，試問鋪滿這塊空地共需花費多少元？
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，∴AC=5m，
在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2=AD2－AC2，∴CD=12m，
S草坪=SRt△ABC+SRt△ACD=AB BC+AC DC=(3×4+5×12)=36 m2.
故需要的費用為36×100=3600元.
當堂練習
5.如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的F點處，
若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.
D
A
B
C
E
F
解：在Rt△ABF中，由勾股定理，
得BF2=AF2－AB2=102－82，BF=6(cm).
∴CF=BC－BF=4.
設EC=x，則EF=DE=8－x，
在Rt△ECF中，根據勾股定理，
得x2+42=(8－x)2.解得x=3.
所以EC的長為3 cm.
當堂練習
探索勾股定理
勾股定理的驗證
勾股定理的簡單運用
課堂小結
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