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(共25張PPT)
1　探索勾股定理(1)
第一章　勾股定理
學習目標
1.用數格子的辦法體驗勾股定理的探索過程.
2.理解勾股定理，會初步運用勾股定理進行簡單的計算和實際運用.
思考1：《周髀算經》
引入新課
引入新課
思考2：我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.右圖稱為“弦圖”，最早是由三國時期的數學家趙爽在為《周髀算經》作法時給出的.
勾
股
弦
A
C
B
引入新課
思考3：相傳2500年前，一次畢達哥拉斯去朋友家作客，發現朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數量關系，同學們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發現什么？
(1)觀察圖1-1
正方形A中含有 個小方格，
即A的面積是 個單位面積；
正方形B中含有 個小方格，
即B的面積是 個單位面積；
正方形C中含有 個小方格，
即C的面積是 個單位面積；
你是怎樣得到上面的結果的？與同學交流.
9
9
9
9
18
18
講授新課
A
B
C
A
B
C
(圖中每個小方格代表一個單位面積)
圖1-1
圖1-2
(2)在圖1-2中，正方形A，B，C中各含有多少個小方格？它們的面積各是多少？
(3)你能發現兩圖中三個正方形A，B，C的面積之間有什么關系嗎？
SA+SB=SC.
4，4，8.
9，9，18；4，4，8.
講授新課
A
B
C
A
B
C
(圖中每個小方格代表一個單位面積)
圖1-1
圖1-2
A
B
C
A
B
C
在這幅圖中，邊長的平方如何刻畫？
用正方形A，B，C的面積刻畫，就是證SA+SB=SC.
我們的猜想如何驗證？
c
b
a
講授新課
請想辦法計算左邊圖形中A，B，C的面積.
你用什么辦法計算C的面積呢？
數格子.
講授新課
A
B
C
A
B
C
SA=9，
SB=9，
SC=18.
驗證法1
方法：可把正方形
C分成兩個全等的
等腰直角三角形，
可求得正方形C的
面積為18.
割
C
B
A
還可以用什么辦法計算C的面積呢？
講授新課
驗證法2
方法：可把正方形
C分成四個全等的
等腰直角三角形，
可求得正方形C的
面積為18.
割
C
B
A
還可以用什么辦法計算C的面積呢？
講授新課
驗證法3
方法：可在正方形C
外邊圈一個大正方形
用大正方形的面積減
去4個直角三角形的
面積，即可求得正方
形C的面積為18.
補
C
B
A
還可以用什么辦法計算C的面積呢？
講授新課
C
B
A
由以上計算A，B，C三
個圖形的面積，我們能
得到什么結論？
SA+SB=SC
c
a
結論：以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積.
SA=9
SB=9
SC=18
講授新課
a2+b2=c2.
幾何語言：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2(勾股定理).
a
A
B
C
b
c
∟
定理揭示了直角三角形三邊之間的關系.
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2.
講授新課
練一練：求下列直角三角形中未知邊的長：
8
x
17
12
5
x
解：由勾股定理可得：
82+x2=172，
即：x2=172-82，
x=15.
解：由勾股定理可得：
52+122=x2，
即：x2=52+122，
x=13.
講授新課
例1.已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求CD的長.
解：由勾股定理可得，
AB2=AC2+BC2=25，
即AB=5.
根據三角形面積公式，
∴AC×BC=AB×CD.
∴CD=.
A
D
B
C
3
4
典例精析
由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，這個規律也稱“弦高公式”，它常與勾股定理聯合使用.
方法總結
例2.如圖，已知AD是△ABC的中線.
求證：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2).
證明：如圖，過點A作AE⊥BC于點E.
在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，
AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，
∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)
＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB).
又∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，
∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2).
E
典例精析
構造直角三角形，利用勾股定理把需要證明的線段聯系起來.一般地，涉及線段之間的平方關系問題時，通常沿著這個思路去分析問題.
方法總結
解：當高AD在△ABC內部時，如圖①.
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；
在Rt△ACD中，由勾股定理，
得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.
∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周長為25＋20＋15＝60.
例3.在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長.
典例精析
當高AD在△ABC外部時，如圖②.
同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，
∴△ABC的周長為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長為42或60.
方法總結
題中未給出圖形，作高構造直角三角形時，易漏掉鈍角三角形的情況.如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內的情形，忽視高AD在△ABC外的情形.
【解析】因為AE＝BE，所以S△ABE＝AE·BE＝AE2.又因為AE2＋BE2＝AB2，
所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝AB2＝；
同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.
又因為AC2＋BC2＝AB2，所以陰影部分的面積為AB2＝.
例4.如圖，以Rt△ABC的三邊長為斜邊分別向外作等腰直角三角形.若斜邊AB＝3，則圖中△ABE的面積為________，陰影部分的面積為________.
典例精析
方法總結
求解與直角三角形三邊有關的圖形面積時，要結合圖形想辦法把圖形的面積與直角三角形三邊的平方聯系起來，再利用勾股定理找到圖形面積之間的等量關系.
知識：
如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，
那么
方法：
1.觀察—探索—猜想—驗證—歸納—應用；
2.“割、補、拼、接”法.
思想：
1.特殊—一般—特殊；
2.數形結合思想.
課堂小結
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