資源簡介

13.3.2　三角形的外角
第十三章　三角形
1. 理解并掌握三角形的外角的概念.
2. 能夠在能夠復(fù)雜圖形中找出外角.(難點)
3. 掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和及三角形的內(nèi)角和.(重點)
4. 會利用三角形的外角性質(zhì)解決問題.
學(xué)習(xí)目標
1. 三角形三個內(nèi)角的和等于 .
2. ∠1和∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為
反向延長線(∠1和∠2互補)，具有這種關(guān)系的兩個
角，互為鄰補角.
鄰補角的性質(zhì)： .
C
A
B
O
1
2
180°
∠1+∠2=180°
復(fù)習(xí)導(dǎo)入
在一個三角形花壇的外圍走一圈，在每一個拐彎的地方都
轉(zhuǎn)了一個角度(∠1，∠2，∠3)，那么回到原來位置時(方向與
出發(fā)時相同)，一共轉(zhuǎn)了多少度？
新知探究
如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD.像這樣，三角形
的一邊與另一邊的延長線組成的角是三角形的什么角呢？
請同學(xué)們思考一下.
新知探究
知識點1 三角形的外角的概念
將△ABC的一邊BC延長至D點，得到
∠ACD，∠ACD就稱作是△ABC的一個
外角.
定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，
叫作三角形的外角.
D
B
A
C
1
2
3
4
外角
新知探究
問題1 如圖，延長AC到E，∠BCE是不是△ABC
的一個外角？∠ACD是不是△ABC的一個外角？
∠DCE是不是△ABC的一個外角？
E
C
B
A
D
解：∠BCE是△ABC的一個外角；
∠ACD是△ABC的一個外角；
∠DCE不是△ABC的一個外角.
新知探究
三角形的外角應(yīng)具備的條件：①頂點是三角形的頂點；
②一邊是三角形的一條邊；
③另一邊是三角形某條邊的延長線.
問題2 如圖，畫出△ABC的所有外角，
你一共能畫出幾個呢? ∠ABD與∠CBE是
什么關(guān)系？ 在三角形的每個頂點處有
多少個外角？
新知探究
解：6個；∠ ABD與∠CBE為對頂角，∠ABD =∠CBE ；
在三角形每個頂點處都有兩個外角.
A
B
C
D
E
每一個三角形都有6個外角.每一個頂點相對應(yīng)的
外角都有2個，且這2個角為對頂角.
問題3 ∠BED既是△ 的外角，也是
△ 的內(nèi)角；∠ACD既是△ 的外角，
也是△ 的內(nèi)角；∠EFC既是△ 的
外角，也是△ 的外角.
BED
CDF
DCF
AEF
AEF
ABC
找一個角是哪個三角形外角時，若圖形比較復(fù)雜，這個角可能是多個三角形的外角．
新知探究
A
B
C
D
E
F
問題1 如圖，△ABC的三個內(nèi)角有什么關(guān)系？
解：∠BCD與∠ACB互補，即∠BCD+∠ACB=180°.
問題2 △ABC的外角∠BCD與其
相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關(guān)系？
解：∠A+∠B+∠ACB=180°.
D
B
A
C
相鄰內(nèi)角
外角
知識點2 三角形的外角的性質(zhì)
新知探究
問題3 △ABC的外角∠ACD與其不相鄰
的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關(guān)系？
已知， ∠A+∠B+∠ACB=180°.
∠BCD+∠ACB=180°.
∠A+∠B=∠BCD.
D
B
A
C
不相鄰內(nèi)角
1
2
3
4
相鄰內(nèi)角
外角
新知探究
幾何表達形式：
∵∠ACD是△ABC的一個外角，
∴∠BCD=∠A+∠B.
三角形內(nèi)角和定理的推論：
三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.
新知探究
知識點2 三角形的外角的性質(zhì)
D
B
A
C
不相鄰內(nèi)角
相鄰內(nèi)角
外角
思考：三角形的一個外角和它不相鄰的
一個內(nèi)角有何數(shù)量關(guān)系？
解：由推論可知∠BCD=∠A+∠B，
因此∠BCD>∠A，
∠BCD>∠B.
三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角.
新知探究
D
B
A
C
不相鄰內(nèi)角
相鄰內(nèi)角
外角
現(xiàn)在回到我們最初提出的問題.
在一個三角形花壇的外圍走一圈，在每一個拐彎的地方都轉(zhuǎn)了一個角度(∠1，∠2，∠3)，那么回到原來位置時(方向與出發(fā)時
相同)，一共轉(zhuǎn)了多少度？
新知探究
解：由三角形的一個外角等于與它
不相鄰的兩個內(nèi)角的和，
得∠BAE=∠2+∠3，
∠CBF=∠1+∠3，
∠ACD=∠1+∠2.
又∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你還有其他解法嗎？
首先，我們將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.
如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的
三個外角，它們的和是多少？
新知探究
解法二：如圖，∠BAE+∠1=180° ①，
∠CBF+∠2=180° ②，
∠ACD+∠3=180° ③，
又∵∠1+∠2+∠3=180°，
①+②+③得
∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
新知探究
解法三：過A作AM平行于BC，
即∠3=∠4，∠2=∠BAM，
∠2+∠3=∠4+∠BAM，
所以∠1+∠2+∠3
=∠1+∠4+∠BAM=360°.
B
C
1
2
3
4
A
M
D
E
F
新知探究
注意：三角形的每一個頂點處各有兩個外角，三角形的外角和不是指六個外角的總和，而是說在三角形的每一個頂點處取
一個外角，三個不同頂點處的外角和叫作三角形的外角和.
三角形的外角和等于360°.
新知探究
知識點2 三角形的外角和
1. 說出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)：
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
(1)∠1=40°，∠2=140°；
(2)∠1=18°，∠2=130°.
跟蹤訓(xùn)練
2. 已知圖中∠A，∠B，∠C分別為80°，20°，
30°，求∠1的度數(shù).
B

3
2
1
A
C
D
E
解：∵∠2是△ACD的一個外角，
∴∠2=∠3+∠C=110°，
∵∠1是△BDE的一個外角，
∴∠1=∠B+∠2=130°.
跟蹤訓(xùn)練
3. 把圖中∠1，∠2，∠3按由大到小的順序排列.
解：∵∠2是△ACD的一個外角，
∴∠2=∠3+∠C，
即有∠2>∠3，
∵∠1是△BDE的一個外角，
∴∠1=∠B+∠2，
即有∠1>∠2，
故∠1>∠2>∠3.
跟蹤訓(xùn)練
B

3
2
1
A
C
D
E
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
4. 如圖，試求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).
解：∵∠1是△ABN的外角，
∴∠1=∠A+∠B.
同理∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F.
∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.
∵∠1，∠2，∠3是△PMN的外角，
∴∠1+∠2+∠3=360°.
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F=360°.
跟蹤訓(xùn)練
三角形的外角
定義
性質(zhì)
三角形的外角和
角一邊必須是三角形的一邊，另一邊必須是
三角形另一邊的延長線.
三角形的外角和等于360°.
三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個
內(nèi)角的和.
課堂小結(jié)
結(jié)
本
束
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