資源簡介

(共24張PPT)
13.3.1　三角形的內角(1)
第十三章　三角形
1. 會用平行線的性質與平角的定義證明三角形內角和等于180°.(重點)
2. 會運用三角形內角和定理解決問題.(難點)
學習目標
一天，三類三角形通過對自身的特點，講出了自己對三角形內角和的理解，同學們它們說的對嗎？
我有一個鈍角，所以我的內角和才是最大的.
我的形狀最大，那我的內角和最大.
我的形狀最小，那我的內角和最小.
探究新知
我們在小學已經知道，任意一個三角形的內角和等于180°.
與三角形的形狀、大小無關.
【思考】你有什么辦法可以驗證三角形的內角和為180°呢？
知識點
三角形的內角和
學生活動 【一起探究】
探究新知
【思考】你有什么辦法可以驗證三角形的內角和為180°呢？
折疊
還可以用拼接的方法，你知道怎樣操作嗎？
探究新知
剪拼
A
B
C
2
1
探究新知
測量
48°
72°
60°
60°+48°+72°＝180°.
銳角三角形
探究新知
三角形的三個內角拼到一起恰好構成一個平角.
在紙上任意畫一個三角形，將它的內角剪下拼合在一起.
還有其他的拼接方法嗎？
探究新知
觀測的結果不一定可靠，還需要通過數學知識來說明.
探究新知
從上面的操作過程，你能發現證明的思路嗎？
三角形三個內角的和等于180°.
求證：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
證法1：過點A作l∥BC，
∴∠B=∠1.(兩直線平行，內錯角相等)
∠C=∠2.(兩直線平行，內錯角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
探究新知
A
B
C
證法2：延長BC到D，過點C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1.(兩直線平行，內錯角相等)
∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
探究新知
三角形三個內角的和等于180°.
C
B
A
E
D
F
證法3：過D作DE∥AC，作DF∥AB.
∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.
(兩直線平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°，
∠AED+∠EDF=180°，
(兩直線平行，同旁內角相補)
∴∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
探究新知
【思考】多種方法證明三角形內角和等于180°的核心是什么？
借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉化成一個平角.
同學們還有其他的方法嗎？
1
2
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
探究新知
C
2
4
A
B
3
E
Q
D
F
P
G
H
1
B
G
C
2
4
A
3
E
D
F
H
1
同學們按照上圖中的輔助線，給出證明步驟.
試一試
探究新知
1. 為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫作輔助線.
2. 在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.
思路總結
為了證明三個角的和為180°，通過作平行線，利用平行線的性質，把所證問題轉化為一個平角或同旁內角互補等，這種轉化思想是數學中的常用方法.
作輔助線
探究新知
小結
三角形的內角和定理：
即∠A+∠B+∠C=180°.
三角形內角和等于180°.
C
B
A
帕斯卡：(1623—1662)是法國著名的數學家、物理學家.
早在300多年前，他12歲時，就獨立發現了任何三角形的內角和都是180°.
利用三角形的內角和定理求角的度數
素養考點 1
例1. 如圖，在△ABC中， ∠BAC=40°， ∠B=75°，
AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數.
A
B
C
D
例題講解
解：由∠BAC=40°， AD是△ABC的角平分線，
得
∠BAD=∠BAC=20°.
在△ABD中，
∠ADB=180°–∠B –∠BAD
=180°–75°–20°
=85°.
例2. 如圖，是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，
B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看
A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB是
多少度？
北
A
D
北
C
B
.
東
E
例題講解
利用三角形的內角和定理求實際問題
素養考點 2
解：由題意得∠CAB=∠BAD–∠CAD=80°–50°=30°.
由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°.
所以∠ABE=180°–∠BAD=180°–80°=100°，
∠ABC=∠ABE–∠EBC=100°–40°=60°.
在△ABC中，
∠ACB=180°–∠ABC–∠CAB=180°–60°–30° =90°.
答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.
例題講解
北
A
北
C
B
.
東
E
分析： A，B，C三島的連線構成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個內角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.
D
例3. 在△ABC中，∠A的度數是∠B的度數的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度數.
方程的思想與三角形內角和定理的綜合應用
素養考點 3
例題講解
解: 設∠B度數為x，則∠A度數為3x，∠C度數為(x+15)，
從而有3x+x+(x+15)=180°.
解得x=33°.
所以3x=99°，x+15=48°.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度數分別為99°， 33°，48°.
方法點撥：三角形中求角的度數問題，當角之間存在數量關系時，一般根據三角形內角和為180°，列方程求解.
1. 在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，則∠A的度數為( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
D
2. 如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，
交BC于點D，DE∥AB，交AC于點E，則∠ADE的大小是( )
A. 45° B. 54° C. 40° D. 50°
C
鞏固練習
A
B
D
C
E
3. 如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，
交AC于F.已知∠A=30° ，∠FCD=80° ，求∠D.
A
B
C
D
A
B
C
E
F
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA=90°.
∵在△AEF中，∠FEA=90° ，∠A=30° ，
∴∠AFE=180°–∠FEA–∠A=60°.
又∵∠CFD=∠AFE，
∴∠CFD=60°.
∴在△CDF中，∠CFD=60° ，∠FCD=80° ，
∠D=180°–∠CFD–∠FCD=40°.
鞏固練習
課堂總結
三角形內角
和定理
三角形三個內角的和等于180°
命題證明步驟
1. 寫出已知求證(畫出圖形)
2. 寫出證明過程
數學方法
輔助線(虛線)
數學思想
轉化
把未知轉化為已知
把生疏問題轉化為熟悉問題
把復雜問題轉化為簡單問題
三角形的內角和
本課結束

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