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13.2.2　三角形的中線、角平分線、高
第十三章　三角形
學習目標：
1. 通過畫圖與觀察的實踐過程，認識三角形的中線、角平分線與高.
2. 會畫出任意三角形的中線、角平分線與高.
重點：
理解三角形的中線、角平分線與高的概念.
難點：
會畫出任意三角形的中線、角平分線與高.
學習目標
A
C
B
觀察與思考
問題1：如圖，如果點C是線段AB的中點，你能得到什么結論？
問題2：如圖，如果點D是線段BC的中點，那么線段AD就稱為△ABC的中線.類比三角形的高的概念，試說明什么叫三角形的中線？
結論：AC=BC=AB.
A
B
C
D
三角形的中線
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
∴BD=CD=BC.
三角形中線的幾何語言：
定義：
如圖，連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D，所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的中線.
若D是BC邊中點，△ABD和△ADC的面積相等嗎？
E
A
B
C
D
解：∵D是BC的中點，
∴BD=DC，
而△ABD的面積=BD×AE，
△ADC的面積=DC×AE，
故△ABD和△ADC的面積相等.
觀察與思考
三角形的任意一條中線把這個三角形分成了兩個面積相等的三角形.
三角形的重心
畫一畫：如圖，分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并觀察它們中線的交點有什么規律？
三角形的三條中線交于三角形內部一點.這一點我們稱為三角形的重心.
畫圖發現
準備一個三角形紙片ABC，按圖所示的方法折疊，展開后，折痕BD 把∠ABC分成∠1和∠2兩個角.∠1和∠2有什么關系？
A
B
C
D
B
C
A
A
B
C
D
1
2
理解三角形的角平分線的概念
觀察與思考
在三角形中，一個內角的角平分線與它對邊相交，這個角的頂點和交點的連線，叫作三角形角平分線.
A
B
C
D
︶
︶
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC(角平分線的定義).
三角形角平分線的幾何語言：
三角形的平分線
三角形的角平分線與角的平分線有什么區別？
解：1. 三角形的角平分線是一條線段 ；
2. 角的平分線是一條射線；
3. 它們的聯系是都是平分角.
觀察與思考
三角形的三條角平分線相交于一點，交點在三角形的內部.
觀察與思考
畫一畫：任意畫一個三角形，然后利用量角器畫出這個三角形三個角的角平分線，你發現了什么？
畫圖發現
運動會上，小明參加了立定跳遠比賽，你會測量小明的成績嗎？
觀察與思考
你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
O
分析：即過點p做已知直線l的垂線.
p
l
觀察與思考
過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎
分析：即過點A做已知對邊BC的垂線.
A
C
B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
O
觀察與思考
定義：過三角形的一個頂點做它對邊的垂線，頂點和垂足所連接的線段，叫作三角形這邊的高線，簡稱三角形的高.
B
A
C
三角形高的幾何語言：
∵AO是△ABC的高，
∴AO⊥BC，
∠AOC=∠AOB=90°(高的定義).
O
三角形的高
分別畫一個銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，你能分別畫出這三個三角形的三條高嗎？
A
B
C
A
B
C
A
B
C
動手與操作
畫銳角三角形三邊的高.
O
A
B
C
D
E
F
問題一：這三條高之間有怎樣的位置關系？
解:在三角形內相交于一點.
解：對折.
動手與操作
問題二：剪一個銳角三角形，你能通過其他方法做出三角形的高嗎？
畫直角三角形三邊的高.
A
B
C
D
●
問題三：你能說出直角三角形的三條邊有什么特點嗎？
動手與操作
解：直角三角形的三條高交于直角頂點.
D
A
B
C
E
F
●
O
解：三條高不相交，三條高所在的延長線相交.
而且有兩條高在三角形外.
畫鈍角三角形三邊的高.
問題四：鈍角三角形三條邊的高有什么特點？
動手與操作
銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形
高在三角形內部的數量
高之間是否相交
高所在的直線 是否相交
三條高所在直線的交點的位置
3
1
1
相交
相交
相交
相交
不相交
相交
三角形內部
直角頂點
三角形外部
三角形的三條高的特性：
小結
課堂檢測
A
B
C
D
E
F
1. 如圖所示，已知△ABC，按下列要求作圖：
(1) 作△ABC角平分線AD；
(2) 作△ABC的中線BE；
(3) 作△ABC中AC邊上的高BF.
解：(1) 如圖所示；
(2) 如圖所示；
(3) 如圖所示.
2. 如圖，已知△ABC的周長為21cm，AB=6cm，
BC邊上的中線AD=5cm，△ABD的周長為15cm.
求AC的長.
解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD的周長為15cm，
∴BD=15－6－5=4cm.
∵AD是BC邊上的中線，
∴BC=2BD=8cm.
∵△ABC的周長為21cm，
∴AC =21－6－8=7cm.
課堂檢測
3. 如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC=13，AC=10，AD=8.
求BE的長.
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴S△ABC=BC AD=AC BE.
∵AD=8，AC=10，BC=13，
∴13×8=10BE.
∴BE=10.4.
課堂檢測
1. 在三角形中，連接一個_____和它所對的邊的________，所得________叫作
三角形的中線；三角形的一條中線把原三角形分成________相等的兩部分；
三角形的三條中線________于一點，這個點叫作三角形的________.
頂點
中點
線段
面積
相交
重心
歸納與總結
2. 三角形的角平分線是三角形一個角的平分線與對邊相交，這個角的頂點
與交點之間的_______.它區別于角的平分線在于它是________，而角的平分線
是_______.
線段
線段
射線
3. 從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線畫________，頂點和_______
間的線段叫作三角形的高.銳角三角形的三條高在三角形的_______；直角三角形
的高，有兩條在___________，另一條在_______________；鈍角三角形的高，有
兩條在_______________，另一條在________________.三角形三條高___________________
都交于一點.
垂線
垂足
內部
直角邊上
三角形內部
三角形外部
三角形內部
所在直線
歸納與總結
本
課
結
束

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