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第2課時　角的平分線的判定
第十四章　14.3　角的平分線
1.探索并證明角的平分線的判定定理.
2.會用角的平分線的判定定理解決問題.(重點、難點)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
課堂引入
1.回憶角平分線的性質(zhì)定理；
2.說出點到直線的距離定義.
一、角的平分線的判定
問題　把角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論進行交換，所得的結(jié)論是否依然成立？你能用以前學(xué)過的知識證明嗎？和同伴交流.
提示　角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，它是成立的.
證明過程如下：
已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D，E，PD=PE.
求證：點P在∠AOB的平分線上.
證明：如圖，作射線OP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).
∴∠AOP=∠BOP，∴點P在∠AOB的平分線上.
知識梳理
1.判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離 的點在角的 上.
2.應(yīng)用所具備的條件：
(1)位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；
(2)數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.
3.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.
4.符號語言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴OP平分∠AOB.
相等
平分線
如圖所示，BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分別為F，E，BD=CD.求證：點D在∠BAC的平分線上.
例1
證明　∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS).
∴DE=DF.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴點D在∠BAC的平分線上.
反思感悟
證明角的平分線的“兩種方法”：
(1)定義法：應(yīng)用角的平分線的定義.
(2)定理法：應(yīng)用“角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”來判定角平分線時需要滿足兩個條件：“垂直”與“相等”.
(1)如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，PC=3 cm，當(dāng)PD=　　　cm時，點P在∠AOB的平分線上
A.1 B.2
C.3 D.4
跟蹤訓(xùn)練1
√
(2)如圖，在正方形網(wǎng)格中，到∠AOB兩邊距離相等的點應(yīng)是
A.C點 B.D點
C.E點 D.F點
√
二、三角形的角平分線
(課本P51例題)如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P.
求證：(1)點P 到三邊AB，BC，CA的距離相等；
例2
證明　如圖，過點P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).
∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF，
∴PD=PE=PF.
即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
(2)△ABC的三條角平分線交于一點.
證明　由(1)得，點P到邊AB，CA的距離相等，
∴點P在∠A的平分線上.
∴△ABC的三條角平分線交于一點.
反思感悟
有關(guān)角平分線的綜合題注意角平分線的性質(zhì)與判定，并結(jié)合證明三角形全等.
(1)關(guān)于三角形的角平分線的說法錯誤的是
A.兩條角平分線的交點在三角形內(nèi)
B.兩條角平分線的交點在第三個角的平分線上
C.兩條角平分線的交點到三邊的距離相等
D.兩條角平分線的交點到三個頂點的距離相等
跟蹤訓(xùn)練2
√
(2)如圖，在△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等.若∠A=40°，則∠BOC的度數(shù)為
A.110° B.120°
C.130° D.140°
√
解析　如圖，過點O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分別是D，E，F(xiàn)，∵點O到△ABC三邊的距離相等，
∴OD=OE=OF，
∴BO，CO都是△ABC的角平分線，
∴∠CBO=∠ABO=∠ABC，
∠BCO=∠ACO=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°，
∴∠CBO+∠BCO=70°，
∴∠BOC=180°-70°=110°.
(3)如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，垂足為E，點F在AC上，BD=FD，BE=FC.
①求證：AD平分∠BAC；
證明　∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，又∵∠C=90°，
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)，
∴DC=DE，且DC⊥AC，DE⊥AB，
∴AD平分∠BAC.
②若AC=4，AB=5，且△ABC的面積等于6，求DE的長.
解　∵∠C=90°，AB⊥DE，AC=4，AB=5，由(1)知DC=DE，
∴S△ABC=S△ACD+S△ABD=AC·CD+AB·DE=6，∴DE=.
1.三角形內(nèi)到三邊的距離相等的點是
A.三條中線的交點
B.三條高的交點
C.三條角平分線的交點
D.以上均不對
√
2.如圖，點P是∠AOB內(nèi)一點，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，且PC=PD，點E在OA上，∠AOB=50°，∠OPE=30°，則∠PEC的度數(shù)是
A.50° B.55°
C.45° D.60°
√
解析　∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD，
∴OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠AOB=25°，
又∵∠OPE=30°，
∴∠PEC=∠AOP+∠OPE=25°+30°=55°.
3.如圖，∠CDA=∠CBA=90°，CD=CB，則點C一定在　　　　的平分線上，點A在　　　　的平分線上.
∠BAD
∠BCD
4.如圖，在△ABC中，P是AD上一點，PE∥AB，交BC于點E，PF∥AC，交BC于點F，點D到PE和PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由.
解　AD平分∠BAC，理由如下：
∵點D到PE和PF的距離相等，
∴點D在∠EPF的平分線上，∴∠1=∠2.
又∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，∴AD平分∠BAC.
本課結(jié)束

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