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第1課時　角的平分線的性質(zhì)
第十四章　14.3　角的平分線
1.會用尺規(guī)作一個角的平分線，知道作法的合理性.
2.探索并證明角的平分線的性質(zhì).(重點)
3.能用角的平分線的性質(zhì)解決簡單問題.(難點)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
課堂引入
1.判定兩個三角形全等的方法有哪些？
2.什么是點到直線的距離？
一、用尺規(guī)作已知角的平分線
問題1　如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的任意一點，M，N分別是OA，OB上的點，當(dāng)OM與ON滿足什么關(guān)系時，PM=PN？
提示　OM=ON，其依據(jù)是SAS，兩個全等三角形的對應(yīng)邊相等.
問題2　如圖，M，N分別是∠AOB的邊OA，OB上的點，OM=ON，點P在∠AOB的內(nèi)部，如果PM=PN，連接OP，則點P是否在∠AOB的平分線上？
提示　點P在∠AOB的平分線上.其依據(jù)是SSS，兩個全等三角形的對應(yīng)角相等.
知識梳理
已知：∠AOB(如圖).
求作：∠AOB的平分線.
作法：(1)以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交OA于點M，交OB于點N.
(2)分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C.
(3)作射線OC.射線OC即為∠AOB的平分線(如圖所示).
如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=26°，洋洋按下列步驟作圖：①以點A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)；②分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；③作射線AG，交BC邊于點D，則∠ADC的度數(shù)為
A.50° B.52°
C.58° D.64°
例1
√
解析　由作圖可知，AD平分∠BAC，
∵∠C=90°，∠B=26°，
∴∠BAC=64°，∴∠DAC=∠BAC=32°，
∴∠ADC=90°-32°=58°.
用尺規(guī)作圖法作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是
A.SSS B.ASA
C.AAS D.SAS
跟蹤訓(xùn)練1
√
解析　理清作角平分線的步驟，知道它的依據(jù)是SSS.
二、角的平分線的性質(zhì)及應(yīng)用
問題3　如圖，猜想角平分線上的點到角兩邊的距離是什么關(guān)系？并證明.
提示　猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.
求證：PD=PE.
證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD=PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等).
知識梳理
1.性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角兩邊的距離 .
2.應(yīng)用所具備的條件：
(1)角的平分線；
(2)點在該平分線上；
(3)垂直距離.
3.符號語言：
∵OP是∠AOB的平分線，
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ .
相等
PD=PE
如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于點E，CF⊥AD，交AD的延長線于點F，且BC=CD.
(1)求證：BE=DF；
例2
證明　∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于點E，CF⊥AD，交AD的延長線于點F，
∴CE=CF，
∵在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)，
∴BE=DF.
(2)若AB=21，AD=9，求DF的長.
解　由(1)得BE=DF，設(shè)BE=DF=x，
∵在Rt△CAF和Rt△CAE中，
∴Rt△CAF≌Rt△CAE(HL)，
∴AF=AE，即AD+DF=AB-BE，
又∵AB=21，AD=9，
∴9+x=21-x，解得x=6，∴DF=6.
反思感悟
(1)利用角平分線的性質(zhì)可直接推導(dǎo)出與角平分線有關(guān)的兩條線段相等，但在推導(dǎo)過程中不要漏掉垂直關(guān)系的書寫.(2)以后涉及角平分線上的點到角的兩邊的垂線段時，可直接得到其相等，不必再證兩個三角形全等.
如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC的長是
A.6 B.5
C.4 D.3
跟蹤訓(xùn)練2
√
解析　如圖，過點D作DF⊥AC，垂足為F，
∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，
∴DF=DE=2，
S△ABC=×4×2+×2AC=7，
解得AC=3.
1.觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，下列說法錯誤的是
A.OE是∠AOB的平分線
B.OC=OD
C.點C，D到OE的距離不相等
D.∠AOE=∠BOE
√
2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，則點D到AB的距離是　　　.
3
3.如圖，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，BD，CE相交于點O，點O在∠BAC的平分線上.求證：OB=OC.
證明　∵點O在∠BAC的平分線上，OD⊥AC，OE⊥AB，
∴OE=OD，∠BEO=∠CDO=90°，
在△BOE和△COD中，
∴△BOE≌△COD(ASA)，
∴OB=OC.
4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足為E，點F在AC上，DB=DF，求證：∠B=∠CFD.
證明　∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC，
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)，
∴∠B=∠CFD.
本課結(jié)束

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