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14.1　全等三角形及其性質
第十四章　全等三角形
1.理解全等形的概念，并能識別圖形的全等.
2.理解全等三角形及其有關概念.
3.掌握全等三角形的性質，并能進行簡單的推理和計算.(重點、難點)
學習目標
情境引入
1.觀察下面的四組圖片，思考每組圖片的形狀和大小有什么關系？
2.什么是全等形，全等形的特點是什么？
一、全等形的定義及性質
知識梳理
1.全等形的定義：
能夠 的兩個圖形叫作全等形.
2.全等形的性質：
如果兩個圖形全等，它們的形狀和大小一定都相等.
完全重合
下列各組圖形中，屬于全等形的是
例1
√
解析　根據全等形的定義可得選項C中的兩個圖形是全等形.
觀察圖中的各個圖形，其中的全等形為　　　　　　 .
跟蹤訓練1
①和⑥，②和⑤，③和⑧
二、全等三角形的定義及性質
問題　觀察圖中分別經過平移、翻折、旋轉的三角形，回答問題：
(1)變換后各圖三角形的形狀、大小有沒有變化，各圖中兩個三角形有什么關系？
提示　沒有發生變化，全等.
(2)請把各圖中兩個三角形的關系用符號表示出來；
提示　△ABC≌△DEF；△ABC≌△DBC；△ABC≌△ADE.
(3)表示兩個三角形全等時應注意什么？
提示　書寫全等式時要把對應頂點的字母放在對應的位置上.
知識梳理
1.能夠 的兩個三角形叫作全等三角形.
2.把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫作對應頂點，重合的邊叫作 ，重合的角叫作 .
3.一個圖形經過 后， 變化了，但 、 都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形 .
4.全等三角形的性質：
全等三角形的對應邊 ，對應角 .
完全重合
對應邊
對應角
平移、翻折、旋轉
位置
形狀
大小
全等
相等
相等
如圖，若把△ABC繞點A旋轉一定的角度得到△ADE，則圖中全等的三角形記為　　　　　　　，∠BAC的對應角為　　　　，DE的對應邊為　　　.
例2
△ABC≌△ADE
∠DAE
BC
解析　∵把△ABC繞點A旋轉一定的角度得到△ADE，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，DE=BC.
反思感悟
在用符號“≌”表示全等時，對應的頂點一定要寫在對應的位置上.找對應邊的規律是：長對長，短對短，中對中；公共邊一定是對應邊.找對應角的規律是：大角對大角，小角對小角；公共角一定是對應角；對頂角一定是對應角.
如圖，△ABC與△ADC全等，請用數學符號表示出這兩個三角形全等，并寫出相等的邊和角.
跟蹤訓練2
解　△ABC≌△ADC，
相等的邊有AB=AD，AC=AC，BC=DC；
相等的角有∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，∠ACB=∠ACD.
三、全等三角形性質的應用
(課本P30例題)如圖，△ABC≌△BAD，點A和點B，點C和D是對應頂點，∠BAC=65°，∠ABC=26°，AC，BD的延長線相交于點E，求∠CBD，∠E的度數.
例3
解　∵△ABC≌△BAD，
∴∠ABD =∠BAC=65°，
∴∠CBD=∠ABD -∠ABC= 65°-26°=39°，
在△AEB中，∠E+∠BAE+∠ABE=180°，
∴∠E=180°-∠BAE-∠ABE=180°-65°-65°=50°.
反思感悟
運用全等三角形的性質，準確地找出對應邊和對應角，也可以由△ABC≌△BAD的字母順序寫出對應邊與對應角.
如圖，△ABC≌△DEF，∠B=50°，BF=4，EF=7，求∠DEF的度數和CF的長度.
跟蹤訓練3
解　∵△ABC≌△DEF，
∠B=50°，BF=4，EF=7，
∴∠DEF=∠B=50°，BC=EF=7，
∴CF=BC-BF=7-4=3.
1.下列說法錯誤的是
A.能夠完全重合的兩個圖形叫全等形
B.面積相等的兩個圖形是全等形
C.全等形的形狀和大小都一樣
D.平移、旋轉前后的圖形是全等形
√
解析　A選項，能夠完全重合的兩個圖形叫全等形，故該選項正確；
B選項，面積相等的兩個圖形不一定能完全重合，不一定是全等形，故該選項錯誤；
C選項，全等形的形狀和大小都一樣，故該選項正確；
D選項，平移、旋轉前后的圖形是全等形，故該選項正確.
2.如圖，已知△ABO≌△CDO，AO=3，則CO等于
A.3 B.6
C.9 D.12
√
解析　∵△ABO≌△CDO，∴AO=CO，
∵AO=3，∴CO=3.
3.如圖所示，△ABD≌△CDB，下面四個結論中不正確的是
A.△ABD和△CDB的面積相等
B.△ABD和△CDB的周長相等
C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD
D.AD∥BC，且AD=BC
√
4.如圖，△ABC≌△CDE，若∠D=35°，∠ACB=45°，則∠DCE的度數為　　　　.
解析　∵△ABC≌△CDE，
∴∠CED=∠ACB=45°，
∵∠D=35°，
∴∠DCE=180°-∠CED-∠D=180°-45°-35°=100°.
100°
5.如圖，△ABE≌△ACD，∠B=28°，∠CAE=18°.則∠ADC=　　 °.
解析　∵△ABE≌△ACD，
∴∠C=∠B=28°，
∠ADC=∠AEB，
∵∠CAE=18°，
∴∠ADC=∠AEB=∠C+∠CAE=28°+18°=46°.
46
本課結束

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