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13.3.2　三角形的外角
第十三章　13.3　三角形的內角與外角
1.理解三角形的外角的概念.
2.掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.(重點)
學習目標
情境引入
如圖，∠1和∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為反向延長線(∠1和∠2互補)，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角.
你能說說鄰補角的性質嗎？
一、三角形的外角的概念
問題1　用你的語言描述三角形的外角.你最多能畫出幾個三角形的外角？
提示　三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫作三角形的外角.最多能畫出6個三角形的外角.
知識梳理
定義：三角形的一邊與另一邊的 組成的角，叫作三角形的外角.
如圖，∠ACD是△ABC的一個外角，是△ABC的邊AC與另一邊BC的延長線CD組成的角.
延長線
如圖，延長CB到D，延長AB到E，則∠CBE　　　△ABC的一個外角，∠DBE　　　　△ABC的外角.(填“是”或“不是”)
例1
是
不是
反思感悟
外角應具備的條件：①頂點是三角形的頂點；②一邊是三角形的一條邊；③另一邊是三角形某條邊的延長線.
如圖，以∠AOD為外角的三角形是　　 　　.
跟蹤訓練1
△AOB和△COD
二、三角形的外角的性質
問題2　如圖，你能畫出△ABC的所有外角嗎？觀察這些外角，試著說出你的發現？
提示　每一個三角形都有6個外角；每一個頂點相對應的外角都有2個，且這2個角為對頂角.
問題3　如圖，∠A=70°，∠B=40°，請你求出∠ACB與∠ACD的度數，觀察∠ACD與∠A，∠B有什么關系？
提示　∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形的內角和定理)，
∠A=70°，∠B=40°(已知)，
∴∠ACB=70°.
∵∠ACB+∠ACD=180°(平角的定義)，
∴∠ACD=110°.∴∠A+∠B=∠ACD.
知識梳理
1.三角形的外角等于與它 的兩個內角的和.
2.三角形的外角大于與它不相鄰的內角.
不相鄰
(1)如圖，∠A=18°，∠B=42°，∠D=28°，求∠AED的度數.
例2
解　∵∠ACD是△ABC的一個外角，
∴∠ACD=∠A+∠B=18°+42°=60°，
∵∠AED是△CDE的一個外角，
∴∠AED=∠ACD+∠D=88°.
(2)(課本P15例4)如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？
解　由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得
∠BAE=∠2+∠3，
∠CBF=∠1+∠3，
∠ACD=∠1+∠2.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).
由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.
反思感悟
用三角形的外角的性質解決問題的關鍵是找到三角形的外角，知道怎么利用性質解決問題.
(1)如圖，已知∠A=33°，∠B=83°，∠ADC=146°，求∠C的度數.
跟蹤訓練2
解　如圖，延長AD交BC于點E，
∵∠AEC是△ABE的一個外角，
∴∠AEC=∠A+∠B=33°+83°=116°.
∵∠ADC是△DEC的一個外角，
∴∠C=∠ADC-∠AEC=146°-116°=30°.
(2)如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADC的度數.
解　∵∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD=∠BAC=20°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=75°+20°=95°.
(1)如圖，∠ABC的平分線與△ACB外角的平分線相交于D，∠D=40°，則∠A等于
A.50° B.60°
C.70° D.80°
跟蹤訓練3
√
解析　設點E在BC的延長線上，AC與BD交于點F，如圖所示.
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACE=2∠DCE.
又∵∠ACE=∠ABC+∠A，∠DCE=∠DBC+∠D，
∴∠A=2∠D，
又∵∠D=40°，
∴∠A=80°.
(2)如圖所示，∠A，∠1，∠2的大小關系是
A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A
C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1
√
解析　∵∠1是△ACD的一個外角，
∴∠1>∠A，
∵∠2是△CDE的一個外角，
∴∠2>∠1，
∴∠2>∠1>∠A.
1.如圖，∠1，∠2，∠3中是△ABC外角的是
A.∠1，∠2
B.∠2，∠3
C.∠1，∠3
D.∠1，∠2，∠3
√
解析　根據三角形外角的定義可知，
∠1和∠3為三角形的外角.
2.如圖，∠ACD為△ABC的外角，則x=　　　.
40
解析　根據題意得x°+x°=80°，
解得x=40.
3.如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，BE，CD相交于點O.如果∠A=60°，∠ACD=25°，∠ABE=35°，求∠BDC和∠BOC的度數.
解　∵∠A=60°，∠ACD=25°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=85°，
∵∠ABE=35°，
∴∠BOC=∠BDC+∠ABE=120°.
4.已知三角形的三個外角的度數比為2∶3∶4，求它的最大內角的度數.
解　設這三個外角的度數分別為2x°，3x°，4x°，
則三角形的三個內角分別為(180-2x)°，(180-3x)°，(180-4x)°，
∵三角形的內角和等于180°，
∴180-2x+180-3x+180-4x=180，
∴x=40，
這三個外角分別為80°，120°，160°，
∴三角形最大內角的度數為180°-80°=100°.
本課結束

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