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第1課時　三角形內角和定理
第十三章　13.3　13.3.1　三角形的內角
1.探索并證明三角形內角和定理.(重點)
2.能運用三角形內角和定理解決簡單問題.(難點)
學習目標
情境引入
1.我們在小學已經知道，任意一個三角形的三個內角的和等于180°，你是如何得出這一結論的？請你用手中的三角形紙片進行探究.
2.通過量角器度量求和的方法與三角形三個角剪拼的方法驗證三角形的內角和等于180°，這兩種方法哪種更準確？
一、探索并證明三角形內角和定理
問題1　在紙上任意畫一個三角形，將它的內角剪下拼合在一起，就得到一個平角.從這個操作過程中，你能發現證明的思路嗎？
提示　可以作平行線進行證明.
知識梳理
三角形的內角和等于 .
180°
已知：△ABC(如圖).
(1)求證：∠A+∠B+∠C=180°；
例1
證明　如圖，過點A作直線l，使l∥BC.
∵l∥BC，
∴∠2=∠4(兩直線平行，內錯角相等).
同理∠3=∠5.
∵∠1，∠4，∠5組成平角，
∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定義).
∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代換).
(2)模仿(1)的證明過程，還可以怎樣證明三角形內角和定理？
解　如圖，過點C作AB的平行線l.
證明：∵AB∥l.
∴∠1=∠4，∠2=∠5，
∵∠3，∠4，∠5組成平角，
∴∠3+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°.
反思感悟
本定理證明方法很多，但其基本思想都是將三個角拼合在一起，組成一個平角.
二、運用三角形內角和定理
(課本P12例1)如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線.求∠ADB的度數.
例2
解　由∠BAC=40°，
AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°.
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.
反思感悟
(1)在有關三角形角的計算中，常把內角和定理與直角三角形、角平分線、平行線結合起來，有時還要用到方程知識.
(2)以下基本圖形
如圖1，由三角形內角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
如圖2，由三角形內角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
如圖，在△ABC中，點D在BC的延長線上，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F.已知∠A=30°，∠FCD=80°，求∠D的度數.
跟蹤訓練1
解　∵DE⊥AB，
∴∠FEA=90°.
∵在△AEF中，∠FEA=90°，∠A=30°，
∴∠AFE=180°-∠FEA-∠A=60°.
又∵∠CFD=∠AFE，∴∠CFD=60°.
∵在△CDF中，∠FCD=80°，
∴∠D=180°-∠CFD-∠FCD=40°.
如圖，∠1+∠2+∠3+∠4=　　　.
跟蹤訓練2
280°
三、三角形內角和定理的實際應用
問題2　方位角其實就是表示方向的角，這種角以　　　、　　　方向為基準，向東或向西旋轉一定角度來描述物體運動的方向.如圖，射線OA表示　　　　　，射線OB表示　　　 　.
正北
正南
北偏西50°
南偏東30°
(課本P12例2)如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB呢？
例3
解　∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.
由AD∥BE，
得∠BAD+∠ABE=180°.
所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°，
∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC -∠CAB=180°-60°-30°=90°，
故從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，
從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.
如圖，B島在A島的南偏西40°方向，C島在A島的南偏東15°方向，C島在B島的北偏東80°方向，求從C島看A，B兩島的視角∠ACB的度數.
跟蹤訓練3
解　由題意得，BE∥AD，∠BAD=40°，
∠CAD=15°，∠EBC=80°，
∴∠EBA=∠BAD=40°，
∠BAC=40°+15°=55°，
∴∠ABC=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-40°=85°.
三角形內角和定理
1.根據圖中的數據，可得x+y的值為
A.180 B.110
C.100 D.70
√
解析　由題圖可知，
x+y=180-70=110.
2.一個三角形的三個內角度數之比為2∶7∶3，那么這個三角形是
A.直角三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.等邊三角形
√
3.在探究證明“三角形的內角和等于180°”時，綜合實踐小組的同學作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形內角和等于180°”的是
A. 過點C作EF∥AB
B. 過AB上一點D作DE∥BC，DF∥AC
C. 延長AC到點F，過點C作CE∥AB
D. 作CD⊥AB于點D
√
解析　A項，由EF∥AB，得∠ECA=∠A，∠FCB=∠B，由∠ECA+∠ACB+∠FCB
=180°，得∠A+∠ACB+∠B=180°，故A不符合題意；
B項，由ED∥BC，得∠ADE=∠B，∠C=∠AED，由DF∥AC，得∠A=∠FDB，∠EDF=∠AED，那么∠C=∠EDF，由∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°，得∠B+∠C+∠A=180°，故B不符合題意；
C項，由CE∥AB，得∠A=∠FCE，∠B=∠BCE，由∠FCE+∠ECB+∠ACB=
180°，得∠A+∠B+∠ACB=180°，故C不符合題意；
D項，由CD⊥AB于點D，得∠ADC=∠CDB=90°，無法證得三角形內角和是180°，故D符合題意.
4.(課本P13練習第1題改編)如圖，從A處觀測C 處的仰角∠CAD=30°，從B處觀測C處的仰角∠CBD=45°.從C處觀測A，B兩處的視角∠ACB=　　　.
15°
解析　∵∠CBD=45°，
∴∠ABC=135°，
∵∠ACB+∠CAD+∠ABC=180°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-135°-30°=15°.
本課結束

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