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13.2.2　三角形的中線、角平分線、高
第十三章　13.2　與三角形有關(guān)的線段
1.理解三角形的高、中線與角平分線的概念并會運用.(重點)
2.了解三角形的重心的概念.
學(xué)習(xí)目標
情境引入
1.如何找線段AB的中點？
2.怎樣畫∠ACB的平分線？
3.“過一點畫已知直線的垂線”，能畫幾條？怎樣去畫？
一、三角形的中線
知識梳理
1.定義：如圖，連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D，所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的 .
符號語言：∵BD=CD，
∴AD是△ABC的邊BC上的中線.
2.三角形的三條中線相交于一點，三角形三條中線的交點叫作三角形的
.
3.三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形.三角形的中線能將三角形分成面積相等的兩部分.
中線
重心
如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條中線，則
(1)AB=2　　　=2　　　，BD=　　　，AE=　　??；
例1
AF
BF
BC
CE
解析　∵AD，BE，CF是△ABC的三條中線，
∴AB=2AF=2BF，BD=BC，AE=CE.
(2)若S△ABC=3，則S△ABD=　　　.
1.5
解析　∵AD是△ABC的中線，S△ABC=3，
∴S△ABD=S△ABC=1.5.
如圖所示，AD是△ABC的邊BC上的中線，已知△ABD的周長為25 cm，AB比AC長6 cm，則△ACD的周長為
A.19 cm B.22 cm
C.25 cm D.31 cm
跟蹤訓(xùn)練1
√
解析　∵AD是邊BC上的中線，∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD周長的差=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.
∵△ABD的周長為25 cm，AB比AC長6 cm，
∴△ACD的周長為25-6=19(cm).
二、三角形的角平分線
知識梳理
定義：如圖，畫△ABC的∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點D，所得線段AD叫作△ABC的 .
符號語言：∵∠BAD=∠CAD，
∴AD是△ABC的角平分線.
注意點：(1)三角形共有三條角平分線，它們相交于三角形內(nèi)一點.(2)角平分線是在角的內(nèi)部將角分成相等兩部分的射線，三角形的角平分線是線段.
角平分線
如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，DF∥AB，EF交BD于點O.DO是△DEF的角平分線嗎？請說明理由.
例2
解　DO是△DEF的角平分線，理由如下：
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠EBD=∠FBD，
∵DE∥BC，DF∥AB，
∴∠FBD=∠EDB，∠EBD=∠FDB，
∴∠EDB=∠FDB，
∴DO是△DEF的角平分線.
反思感悟
(1)角平分線是在角的內(nèi)部將角分成相等兩部分的射線.
(2)角的平分線是射線，三角形的角平分線是線段.
(課本P9練習(xí)第2題)如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條角平分線，則∠1=　　 ；∠3=　 　；∠ACB=2　　　.
跟蹤訓(xùn)練2
∠2
∠ABC
∠4
三、三角形的高
問題　你還能畫出銳角三角形其他的高嗎？還能畫出幾條高？這幾條高有什么特征？
提示　可以，還可畫出2條；3條高交于一點.
知識梳理
1.定義：如圖，從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫 ，垂足為D，所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的高線.三角形的高線簡稱三角形的 .
符號語言：∵AD⊥BC，
∴AD是△ABC的邊BC上的高.
2.銳角三角形的三條高都在三角形的 ；
直角三角形的兩條高分別與兩條直角邊重合；
鈍角三角形有兩條高在三角形的 .
垂線
高
內(nèi)部
外部
作出三角形的三條高.
例3
解　如圖，AD，BE，CF即為所求.
反思感悟
三角形任意一邊上的高必須滿足：
(1)過三角形的一個頂點.
(2)為頂點到其對邊所在直線的垂線段.
下面四個圖形中，作△ABC的邊AB上的高，正確的是
跟蹤訓(xùn)練3
√
解析　根據(jù)三角形高線作法逐項分析判斷如下：
邊AC上的高，A不符合題意；
邊AB上的高，B符合題意；
不是△ABC的高，C不符合題意；
邊BC上的高，D不符合題意.
四、三角形的高、中線、角平分線的綜合應(yīng)用
如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線.
(1)△ABC，△ADC有沒有共同的高線？如果有，畫出這條高線；
例4
解　有，如圖，
∵△ABC，△ADC有公共頂點A，過點A畫AE⊥BC，
則AE⊥CD，
∴AE是△ABC，△ADC共同的高線.
(2)△ABD與△ADC的面積相等嗎？請說明理由.
解　相等，理由如下：
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=CD，
∴S△ADC=CD·AE=BD·AE=S△ABD，
即△ABD與△ADC的面積相等.
(課本P10習(xí)題13.2第7題)如圖，在△ABC中，若AB=2，BC=4，則△ABC的高AD與CE的比是多少？(提示：利用三角形的面積公式)
跟蹤訓(xùn)練4
解　S△ABC=AB·CE=BC·AD，
∵AB=2，BC=4，
∴×2·CE=×4·AD，
∴=.
三角形的高、中線與角平分線的比較
名稱 基本圖形 畫法 性質(zhì)
高 用直角三角板過點A畫BC的垂線 三條高線相交于三角形內(nèi)部、外部或邊上一點
中線 用直尺連接點A和BC的中點D 三條中線相交于三角形內(nèi)一點，且把三角形分成面積相等的兩部分
角平分線 利用量角器畫角的平分線的一部分 三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點
1.下列說法正確的是
A.三角形的三條高都在三角形內(nèi)部
B.三角形的三條中線相交于一點
C.三角形的三條角平分線可能在三角形內(nèi)部，也可能在三角形外部
D.三角形的角平分線是射線
√
2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，圖中線段可以作為△ABC的高的有
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
√
3.下列是真命題的是
A.過三角形的頂點和它對邊中點的直線，是三角形的中線
B.三角形的角平分線其實就是角的平分線
C.三角形的高就是頂點到對邊的垂線
D.三角形的三條中線的交點叫作重心，重心一定在三角形內(nèi)部
√
解析　連接三角形的頂點和它對邊中點的線段，是三角形的中線，故本選項命題是假命題，A不符合題意；
三角形的角平分線是線段，角的平分線是射線，三角形的角平分線是頂點與角的平分線與對邊交點之間的線段，故本選項命題是假命題，B不符合題意；
三角形的高就是頂點到對邊的垂線段，故本選項命題是假命題，C不符合題意；
三角形的三條中線的交點叫作重心，重心一定在三角形內(nèi)部，故本選項命題是真命題，符合題意.
4.如圖，在△ABC中，AB=BC，中線AD將這個三角形的周長分成15和12兩部分，求這個三角形三邊的長.
解　∵AD為中線，
∴BD=DC，
∵AB=BC，
∴AB=2BD=2DC，
設(shè)BD=x，AC=y，
當AB+BD=15，即3x=15時，則AC+CD=12，即x+y=12，
∴x=5時，y=7；
當AB+BD=12即3x=12時，則AC+CD=15，即x+y=15.
∴x=4時，y=11.
∴AB=10，BC=10，AC=7或AB=8，BC=8，AC=11.
10+7=17>10，10-7=3<10，則能構(gòu)成三角形；
8+8=16>11，11-8=3<8，則能構(gòu)成三角形，
∴這個三角形的三邊的長分別為10，10，7或8，8，11.
本課結(jié)束

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