資源簡介

(共21張PPT)
14.2　三角形全等的判定(5)
第十四章　全等三角形
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”.(難點)
2.會用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個直角
三角形全等.(重點)
學習目標
SAS：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.
ASA：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等.
AAS：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.
SSS：三邊分別相等的兩個三角形全等.
舊識回顧
目前為止，我們學過幾種判定三角形全等的方法？
本節課我們學習判定三角形全等的最后一個基本事實：HL(斜邊直角邊).
校元旦晚會的舞臺背景是由兩個直角三角形形狀的KT板展板一左一右組成，為了美觀，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都
各有一條直角邊被花盆遮住無法測量.你能幫工作人員想個辦法嗎？
情境導入
用“HL”(斜邊、直角邊)判定三角形全等
思考探究：對于兩個直角三角形，除了直角相等的條件，還要滿足幾個條件，這兩個直角三角形就全等了？
C
B
A
AC
BC
AB
前面學過的四種判定三角形全等的方法，對直角三角形是否適用？
新知探究
如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，直角邊是_____、_____，斜邊是______.
由三角形全等的條件可知，對于兩個直角
三角形，滿足一直角邊及其相對(或相鄰)的
銳角分別相等，或斜邊和一銳角分別相等，或兩直角邊分別相等，這兩個直角三角形
就全等了.
新知探究
用“HL”(斜邊、直角邊)判定三角形全等
C
B
A
如果滿足斜邊和一條直角邊分別相等，這兩個直角三角形
全等嗎？
如圖，若我們已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF嗎？
我們知道，證明三角形全等不存在SSA定理.
A
B
C
D
E
F
但如果這兩個三角形都是直角三角形，
即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，
現在能判定△ABC≌△DEF嗎？
新知探究
A
B
C
A′
N
M
C′
B′
我們任意的在紙上畫一個Rt △ABC，使∠C=90°，再畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把畫好的Rt△A′B′C′剪下來放到Rt△ABC上，你發現了什么？這兩個三角形全等嗎？
新知探究
畫法：
(1)畫∠MC′N=90°；
(2)在射線C′M上取B′C′=BC；
(3)以B′為圓心，AB為半徑畫弧，
交射線C′N于點A′；
(4)連接A′B′.
如圖，由∠C=∠C′=90°可知：
點C與點C'重合，射線C'A'與射線CA重合，那么射線C'B'與射線CB重合.
由B'C'=BC，可知點B'與點B重合.
C'
A'
B'
C
A
B
(C')
(B')
新知探究
為了判斷點A′與點A是否重合，我們討論射線CA上除點C，A外的點與點B的
連線和邊AB的大小關系.
設點M在直角邊AC(不包括端點)上，連接BM，
則∠BMA>∠C，∠BMA是鈍角.
若過點M且垂直于BM的直線與線段AB相交于點M′，
則有AB>BM′>BM.
設點N在線段CA的延長線上，連接BN，同理可得BN>AB.
新知探究
C
A
B
(C')
(B')
M
M'
N
(A')
因此，在射線CA上，與點B的連線長度等于AB的點只有一個.
再由點A′在射線CA上，A′B′=AB，可知點A′與點A重合.
這樣，△A′B′C′的三個頂點與△ABC的三個頂點分別重合，
△A′B′C′與△ABC能夠完全重合，因而△A'B'C'≌△ABC.
在今后的學習中，我們將用勾股定理證明這個判定方法.
新知探究
C
A
B
(C')
(B')
M
M'
N
(A')
“斜邊、直角邊”判定方法
文字語言：
斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).
幾何語言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
A
B
C
A′
B′
C′
∴Rt△AB′C′≌Rt△ABC(HL).
新知探究
1.如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF.
求證： Rt△ABE≌Rt△CBF.
分析：根據AB=CB，∠ABE=∠CBF=90°，AE=CF，
可利用“HL”證明Rt△ABE≌Rt△CBF.
證明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
應用“HL”判定兩個直角三角形全等，書寫時，兩個三角形符號前要加上“Rt”.
典例精析
C
A
B
F
E
2.如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC=BD.
求證：BC=AD.
D
A
B
C
證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C與∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
典例精析
1.如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和
△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE. 求證：BC=BE.
證明：∵AD，AF分別是兩個
鈍角△ABC和△ABE的高，
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).
∴CD=EF.
方法總結：證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多.使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件.
當堂檢驗
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴BD=BF.
∴BD－CD=BF－EF.
即BC=BE.
2.如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發，以相同的速度分別沿
兩條直線行走，并同時到達D，E兩地，DA⊥AB，EB⊥AB.
D，E與路段AB的距離相等嗎？為什么？
A
B
C
D
E
解：D、E與路段AB的距離相等.
理由：∵C是路段AB的中點，
∴AC=BC，
又∵兩人同時同速度出發，并同時到達D，E兩地.
∴CD=CE，
當堂檢驗
又DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ACD與Rt△BCE中，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL).
∴DA=EB，
即D、E與路段AB的距離相等.
當堂檢驗
A
B
C
D
E
3.如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F，CE=BF.求證：AE=DF．
A
B
C
D
E
F
證明：∵CE=BF，
∴CE－EF=BF－EF，
即CF=BE.
又∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC=∠AEB=90°.
注：等邊加(減)等邊，其和(差)還是等邊，
等角加(減)等角，其和(差)還是等角.
在Rt△DFC和Rt△AEB中，
∴Rt△DFC≌Rt△AEB(HL).
∴AE=DF.
當堂檢驗
1.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫
成“斜邊、直角邊”或“HL”).
斜邊、直角邊 (HL) 如圖所示，
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).

課堂總結
2.判定兩個直角三角形全等的思路
已知對應相等 的元素 可選擇的判定 方法 需尋找的條件
一銳角 ASA或AAS 可證直角與已知銳角的夾邊對應相等或銳角(或直角)的對邊對應相等.
斜邊(H) HL或 AAS 可證一條直角邊對應相等或證一銳角
對應相等.
一直角 邊(L) HL或ASA或AAS或 SAS 可證斜邊對應相等或證已知邊相鄰的
銳角對應相等或證已知邊所對的銳角
對應相等或證另一直角邊對應相等.
課堂總結
結
本
束
課

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